2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安市高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則（）A.－4 B.－2 C. D.2【正確答案】D解析：，故，解得.故選：D2.若直線與平行，則（）A. B. C. D.2【正確答案】A解析：由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述.故選：A.3.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】C解析：因，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；故選：C.4.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為10，公差為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為（）A. B.30 C.80 D.不存在【正確答案】B解析：由題意可知：，且數(shù)列an為遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以數(shù)列an的前項(xiàng)和的最大項(xiàng)數(shù)為5或6，最大值為.故選：B.5.已知雙曲線的離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A B. C. D.3【正確答案】A解析：由題意可知：拋物線的準(zhǔn)線為，則為雙曲線的焦點(diǎn)，即，又因?yàn)殡x心率為，可得，且，解得，取漸近線為，即，取頂點(diǎn)為，所以的頂點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A.6.如圖，是某心形二次曲線，則的方程可能為（）A. B.C. D.【正確答案】A解析：顯然圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即把x換成方程不變，可知CD錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，可得，解得或，不合題意；故選：A.7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，的面積是20，則（）A.5 B. C. D.10【正確答案】D解析：由題意得，故，故，因?yàn)榈拿娣e為20，所以面積為10，設(shè)，則，解得，將代入中得，故，則.故選：D8.已知是圓的一條弦，，是的中點(diǎn).當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上總存在兩點(diǎn)，使得為鈍角，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】B解析：由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，因?yàn)?，則，可知點(diǎn)的軌跡是以O(shè)0,0為圓心，半徑的圓C，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)闉殁g角，可知以為直徑的圓與圓C相交，且O0,0到直線的距離，可知，以外切為臨界，可得，可得，若使得存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，所以AB的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.斜率之積為的兩直線相互垂直C.在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線斜率為D.直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線【正確答案】BD解析：對(duì)于A：直線的傾斜角的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：斜率之積為的兩直線相互垂直，故B正確；對(duì)于C：例如直線，此時(shí)在兩坐標(biāo)軸上截距均0，相等，但斜率不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線的一般式方程可以表示平面上任意一條直線，故D正確；故選：BD.10.下列四個(gè)命題中，正確的是（）A.要唯一確定圓，只需給出圓上三點(diǎn)B.要唯一確定拋物線，只需給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線C.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的橢圓，只需給出橢圓上兩點(diǎn)D.要唯一確定以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的雙曲線，只需給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)【正確答案】ABD解析：對(duì)于A：根據(jù)三角形的外接圓的唯一性可知：A正確；對(duì)于B：根據(jù)拋物線的定義可知：給出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線即可確定拋物線，故B正確；對(duì)于C：給出兩點(diǎn)不能確定橢圓，例如給定長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)橢圓有無(wú)數(shù)個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)橹行臑樽鴺?biāo)原點(diǎn)，若給出一條漸近線和一個(gè)焦點(diǎn)，可以求出a,b,c，且可以確定焦點(diǎn)位置，即可得雙曲線方程，可以確定雙曲線，故D正確；故選：ABD.11.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列為常數(shù)列（各項(xiàng)均為同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列）的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.，【正確答案】ACD解析：A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故an的通項(xiàng)公式為，為常數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)，，，不妨設(shè)，則此時(shí)an不為常數(shù)列，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，兩者相減得，故，即，故an為常數(shù)列，故C正確；D選項(xiàng)，時(shí)，，即，又，故在上恒成立，an為常數(shù)列，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫(xiě)出一個(gè)半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：_______________.【正確答案】（答案不唯一，符合題意即可）解析：因?yàn)閳A的圓心為，半徑，設(shè)所求圓的圓心為，則，且或，若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；若，，無(wú)解，不合題意；若，，解得或，可得圓心為或，所求圓的方程為或；若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；故（答案不唯一，符合題意即可）.13.定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)加上它的前一項(xiàng)所得的和都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，，，則公和為_(kāi)______________.【正確答案】7解析：由題意可知：（公和），則，可得，可知數(shù)列是以2為周期的周期數(shù)列，可得，，所以公和.故7.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則__________；若為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【正確答案】①.##0.5②.5解析：由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線為，設(shè)，圓，即為，則；因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述：，當(dāng)且僅當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為0,3時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為5.故；5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于點(diǎn)，.（1）若直線的斜率為1，求；（2）求證.【正確答案】（1）（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析【小問(wèn)1解析】直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則；【小問(wèn)2解析】當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，設(shè)Ax1,則，故，故.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，若，，成等差數(shù)列，求并證明為等差數(shù)列.【正確答案】（1）（2）,證明見(jiàn)解析【小問(wèn)1解析】已知，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得.又因?yàn)?，根?jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，即.聯(lián)立方程組，可得，即.將代入，可得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2解析】由，，可得.所以.因?yàn)?，，成等差?shù)列，則....故.解得.當(dāng)時(shí)，.，為常數(shù).故bn為等差數(shù)列.17.已知為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線（與軸不重合）與相交于點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，，求的方程.【正確答案】（1）（2）【小問(wèn)1解析】由題意可知：的圓心為，半徑為4，且，則，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，則，所以的方程為.【小問(wèn)2解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，設(shè)直線，，則，聯(lián)立方程，消去x可得，則，又因?yàn)椋?，則，即，可得，解得，所以的方程為，即.18.已知等軸雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，且焦距為，分別是在第二象限和第一象限上的一點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）若直線斜率為，求直線的斜率；（3）若四邊形的面積為，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）3（3）【小問(wèn)1解析】由題意可知：，解得，所以雙曲線的方程為.【小問(wèn)2解析】由（1）可知：，設(shè)直線，Ax1聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，因?yàn)?，若，則，即，整理可得，又因?yàn)?，可得，解得，此時(shí)即為，解得或（舍去），此時(shí)，即，所以直線的斜率.【小問(wèn)3解析】設(shè)Ax則，即，可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，可得，解得，同理可得，此時(shí)梯形的高為，可知梯形的面積，整理可得，解得或（舍去），可知或，則直線的斜率，所以直線的方程，即.19.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為.（1）證明：是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；（2）等差數(shù)列的公差為，且.①求的通項(xiàng)公式；②記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①或；②存在，【小問(wèn)1解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為由題意可得：，則二次項(xiàng)系數(shù)，