2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（北師大版）附解析

2024-2025學(xué)年江西省高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（北師大版）一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，的夾角為，，，則（

）A．3 B．7 C． D．3．“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)向量，，不共面，則下列集合可以作為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．5．已知，，定義為，兩點(diǎn)的“鏡像距離”.若點(diǎn)和點(diǎn)在圓上，則，兩點(diǎn)的“鏡像距離”是（

）A．或 B．2或 C．2或4 D．或46．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．7．若對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)，對于直線，下列說法中正確的是（

）A．的斜率為B．在軸上的截距為－1C．不可能平行于軸D．與直線的距離是10．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，圓，則（

）A．圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn)B．圓與圓內(nèi)切C．直線與圓相離D．圓的圓心在單位圓上運(yùn)動(dòng)11．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，且，則（

）A．的準(zhǔn)線方程是B．點(diǎn)的坐標(biāo)為或C．直線的方程是D．三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為.13．現(xiàn)有10名巴黎奧運(yùn)會(huì)志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機(jī)地接連抽取3名（每次取一個(gè)），派往參與高臺跳水項(xiàng)目的志愿者服務(wù).則“恰有一名女志愿者”的概率是.14．過點(diǎn)引直線，分別交，軸的負(fù)半軸于、兩點(diǎn)，則面積的最小值是，此時(shí)直線的方程是.四、解答題（本大題共5小題）15．阿波羅尼斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他的姓名命名的阿波羅尼斯圓，是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)所在的阿波羅尼斯圓的方程；(2)若點(diǎn)，求的最小值和最大值.16．記內(nèi)角、、的對邊分別為，，，已知，.(1)求角的大??；(2)若角為銳角，且的面積為，求的邊長.17．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.(1)試確定的值；(2)若直線與橢圓有公共點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線與此橢圓的一個(gè)交點(diǎn)是，求的取值范圍.18．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為右支上一點(diǎn)，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過點(diǎn)，求的面積.19．法國數(shù)學(xué)家蒙日在研究橢圓時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上.這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓，此結(jié)論一般稱為蒙日圓定理.(1)求橢圓的蒙日圓方程；(2)對于橢圓，是橢圓的中心，點(diǎn)是橢圓的蒙日圓上一點(diǎn)，，分別切橢圓于點(diǎn)，，且切點(diǎn)弦所在的直線方程是.（i）證明：平分切點(diǎn)弦；（ii）若延長，，分別交橢圓的蒙日圓于點(diǎn)S，，證明.

答案1．【正確答案】A【詳解】由得，.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選:A.2．【正確答案】D【詳解】，.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，直線與直線中，，它們互相垂直，當(dāng)直線與直線互相垂直時(shí)，，，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件.故選：A4．【正確答案】D【詳解】選項(xiàng)A：，三個(gè)向量共面，故不能作為空間的一個(gè)基底，故A不符合題意；選項(xiàng)B：，三個(gè)向量共面，故不能作為空間的一個(gè)基底，故B不符合題意；選項(xiàng)C：，三個(gè)向量共面，故不能作為空間的一個(gè)基底，故C不符合題意；選項(xiàng)D：假設(shè)不能作為空間的一個(gè)基底，則共面，存在，使得，則向量共面，與題意矛盾，故不共面，因此可以作為空間的一個(gè)基底，故D符合題意.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】由題意得，，有四種情形：，，；，，；，，；，，.故選：C.6．【正確答案】D【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D.7．【正確答案】B【詳解】由原不等式得，，（1）時(shí)，，不等式成立，，（2）當(dāng)時(shí)，，則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，令，則，其中，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，因此，綜合（1）、（2）可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】，又是偶函數(shù)，則，可得，令為，則，因此，所以周期為4.因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?于是，.故選：C.9．【正確答案】BD【詳解】時(shí)，的斜率為，時(shí)，直線的斜率不存在，A錯(cuò).在中，令，則.B對.當(dāng)時(shí)，直線，平行于軸，C錯(cuò).與直線的距離是.D對.故選：BD.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，滿足，所以A對.對于B，兩圓的圓心距是1，，所以B對.對于C，圓的圓心到直線的距離，所以C錯(cuò).對于D，圓的圓心的坐標(biāo)滿足方程.所以D對.故選:ABD.11．【正確答案】BD【詳解】由拋物線，則，即，所以，準(zhǔn)線方程是，故A錯(cuò)誤；設(shè)，則，而，則，，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故B正確；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的的斜率為，此時(shí)直線的方程是，即；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，直線的的斜率為，此時(shí)直線的方程是，即，故C錯(cuò)誤；對于D，可以使用結(jié)論，下面進(jìn)行結(jié)論說明：設(shè)拋物線，焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，則，，所以.所以，故D正確.故選：BD.12．【正確答案】【詳解】由得，.即.而，所以.故.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)，，分別為第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，則；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率為.故答案為.14．【正確答案】48【詳解】設(shè)Aa,0，，其中，，則直線的方程為.在直線上，.又，即，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，再結(jié)合解得，，，所以面積的最小值為48，此時(shí)直線的方程為，即.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)最小值是，最大值是.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則就是，即，整理得，.故動(dòng)點(diǎn)所在的阿波羅尼斯圓的方程為.（2）就是，其半徑是4，圓心是，.

顯然在圓外，故的最小值是，最大值是.16．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為，由，得，于是，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，故?（2）由題意可知，，因?yàn)?，且，所以，解得，?17．【正確答案】(1)1(2)【詳解】（1）設(shè)，則，由，得，則，所以，解得.（2）由（1）知拋物線，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€C的準(zhǔn)線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)是，所以，代入橢圓方程，得，解得，所以橢圓方程為.又直線l與橢圓有公共點(diǎn)，由，得，，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意知，將代入方程，得，即，由雙曲線的定義知，，所以，所以，即證；（2），則，，由（1）知，，由雙曲線定義可知：，由角平分線性質(zhì)定理可得：，即，整理得，由解得，.

19．【正確答案】(1);(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【詳解】（1）考慮邊與橢圓長軸和短軸分別平行的矩形知，其對角線之半就是蒙日圓的半徑，即，因