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函數(shù)培訓(xùn)教材演講人:日期:函數(shù)基本概念與性質(zhì)初等函數(shù)介紹函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析函數(shù)的微積分應(yīng)用函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用函數(shù)學(xué)習(xí)的誤區(qū)與難點(diǎn)解析目錄CONTENTS01函數(shù)基本概念與性質(zhì)CHAPTER函數(shù)的表示方法解析法,用數(shù)學(xué)公式或等式表示函數(shù)關(guān)系;列表法,通過列出有序數(shù)對(duì)來表示函數(shù)關(guān)系;圖像法,用平面坐標(biāo)系中的曲線來表示函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的傳統(tǒng)定義從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā),描述一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的依賴關(guān)系。函數(shù)的近代定義從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā),通過對(duì)應(yīng)法則將定義域中的元素映射到值域中。函數(shù)的定義及表示方法函數(shù)的性質(zhì)與分類01在定義域內(nèi),當(dāng)x增大時(shí),y也隨之增大(或減少),則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)。如果對(duì)于函數(shù)f(x),滿足f(-x)=f(x),則稱函數(shù)為偶函數(shù);如果滿足f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)為奇函數(shù)。根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,可將其分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等類型。0203函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的奇偶性函數(shù)的分類二次函數(shù)形如y=ax^2+bx+c(a、b、c為常數(shù)),圖像為拋物線,表示變量之間的二次關(guān)系。對(duì)數(shù)函數(shù)形如y=log_a(x)(a為常數(shù)且a>0,a≠1),圖像為曲線,表示變量之間的對(duì)數(shù)關(guān)系。指數(shù)函數(shù)形如y=a^x(a為常數(shù)且a>0,a≠1),圖像為曲線,表示變量之間的指數(shù)關(guān)系。一次函數(shù)形如y=kx+b(k、b為常數(shù)),圖像為直線,表示變量之間的線性關(guān)系。常見函數(shù)類型及其特點(diǎn)函數(shù)的加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算以及乘方開方運(yùn)算等。函數(shù)的四則運(yùn)算將一個(gè)函數(shù)的輸出作為另一個(gè)函數(shù)的輸入,形成的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù),如f(g(x))。函數(shù)的復(fù)合由復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性共同決定,遵循“同增異減”原則。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的運(yùn)算與復(fù)合01020302初等函數(shù)介紹CHAPTER形如f(x)=an·x^n+an-1·x^(n-1)+…+a2·x^2+a1·x+a0的函數(shù),其中an,a(n-1),...,a1,a0為常數(shù),且an≠0。多項(xiàng)式函數(shù)通過多項(xiàng)式的加減乘除得到的函數(shù),即形如P(x)/Q(x)的函數(shù),其中P(x)和Q(x)都是多項(xiàng)式函數(shù),且Q(x)≠0。有理函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)和有理函數(shù)指數(shù)函數(shù)形如y=a^x的函數(shù),其中a為常數(shù)且a>0,a≠1。指數(shù)函數(shù)具有快速增長(zhǎng)或衰減的特性。對(duì)數(shù)函數(shù)形如y=log_a(x)的函數(shù),其中a為常數(shù)且a>0,a≠1。對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),具有緩慢增長(zhǎng)或衰減的特性。指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù),包括反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)等。反三角函數(shù)在數(shù)學(xué)和工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等,是以角度為自變量,角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。冪函數(shù)形如y=x^a的函數(shù),其中a為常數(shù)。冪函數(shù)在x>0和x<0時(shí)表現(xiàn)出不同的特性,如當(dāng)a為正整數(shù)時(shí),函數(shù)為多項(xiàng)式函數(shù);當(dāng)a為負(fù)整數(shù)時(shí),函數(shù)為分式函數(shù)。根式函數(shù)冪函數(shù)與根式函數(shù)形如y=√x或y=x^(1/n)的函數(shù),其中n為正整數(shù)。根式函數(shù)是冪函數(shù)的特例,具有獨(dú)特的性質(zhì)和圖像特征。010203函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析CHAPTER選取函數(shù)的一些關(guān)鍵點(diǎn),如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等,描點(diǎn)后連線得到函數(shù)圖像。描點(diǎn)法通過代數(shù)運(yùn)算和變形,將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為易于繪制的圖像形式。代數(shù)法根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像,通過平移、伸縮、反射等變換得到復(fù)雜函數(shù)的圖像。圖像變換法函數(shù)圖像的繪制方法010203單調(diào)性通過觀察函數(shù)圖像或利用導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)是否單調(diào)遞增或遞減。奇偶性根據(jù)函數(shù)定義,判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)、偶函數(shù)或既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。周期性通過觀察函數(shù)圖像或利用函數(shù)運(yùn)算性質(zhì),判斷函數(shù)是否具有周期性。單調(diào)性、奇偶性與周期性判斷極限根據(jù)函數(shù)在某一點(diǎn)處的左右極限是否相等且等于函數(shù)值,判斷函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)。連續(xù)性可導(dǎo)性通過求導(dǎo)運(yùn)算,分析函數(shù)在某一點(diǎn)或某一區(qū)間內(nèi)是否可導(dǎo),并求出導(dǎo)函數(shù)。通過極限概念和運(yùn)算,分析函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值及其性質(zhì)。極限、連續(xù)與可導(dǎo)性分析極值通過求一階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,確定函數(shù)的極值點(diǎn)。最值在函數(shù)的定義域內(nèi),通過比較極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)的函數(shù)值,確定函數(shù)的最大值和最小值。函數(shù)的極值與最值求解04函數(shù)的微積分應(yīng)用CHAPTER導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率,是函數(shù)在該點(diǎn)附近線性逼近的斜率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義在幾何上,函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)即為該點(diǎn)處切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算使用導(dǎo)數(shù)的定義、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(如乘法法則、鏈?zhǔn)椒▌t)等計(jì)算導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在幾何、物理和工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用,如求速度、加速度、曲線的切線等。微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,是研究函數(shù)的重要工具。泰勒公式泰勒公式是一種用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的方法,可以計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)的近似值,并估計(jì)誤差。泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式在近似計(jì)算、誤差估計(jì)、函數(shù)的性質(zhì)研究等方面有重要應(yīng)用。泰勒公式的拓展泰勒公式可以推廣到多元函數(shù)和復(fù)變函數(shù),形成更廣泛的泰勒級(jí)數(shù)理論。微分中值定理與泰勒公式應(yīng)用不定積分是反導(dǎo)數(shù)的一個(gè)集合,表示一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)。使用基本的積分公式、積分法則(如換元積分法、分部積分法)以及積分表進(jìn)行計(jì)算。定積分是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的積分,表示該區(qū)間上函數(shù)圖像與x軸圍成的面積。使用定積分的性質(zhì)、積分中值定理、微積分基本定理以及積分表進(jìn)行計(jì)算。不定積分與定積分的計(jì)算方法不定積分的概念不定積分的計(jì)算定積分的概念定積分的計(jì)算微分方程的定義微分方程是含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程,描述函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。微分方程的基本概念與解法01微分方程的階數(shù)微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。02微分方程的解滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解,求解微分方程就是找出這些函數(shù)。03微分方程的解法包括分離變量法、齊次方程法、一階線性微分方程解法、高階微分方程解法等。0405函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用CHAPTER最優(yōu)化問題中的函數(shù)模型建立與求解線性規(guī)劃問題通過建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件,求解線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。非線性規(guī)劃問題對(duì)于無法轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題,采用非線性規(guī)劃方法求解。多目標(biāo)規(guī)劃問題通過引入多目標(biāo)函數(shù)和約束條件,求解多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決多階段決策問題,求解最優(yōu)策略。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)應(yīng)用舉例描述商品價(jià)格和需求量之間的關(guān)系,用于分析市場(chǎng)供求變化。供求函數(shù)表示生產(chǎn)成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系,幫助企業(yè)進(jìn)行成本控制和優(yōu)化。描述消費(fèi)者在不同商品組合下的滿足程度,用于分析消費(fèi)者行為。成本函數(shù)反映銷售收入與銷售量之間的關(guān)系,協(xié)助企業(yè)制定銷售策略。收益函數(shù)01020403效用函數(shù)物理學(xué)中的函數(shù)應(yīng)用舉例運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)描述物體的位移、速度和加速度之間的關(guān)系,用于分析物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。力學(xué)函數(shù)表示力、質(zhì)量和加速度等物理量之間的關(guān)系,解決力學(xué)問題。波動(dòng)函數(shù)描述波動(dòng)現(xiàn)象中物理量隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律,如振動(dòng)和聲波。場(chǎng)論函數(shù)用于描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)等物理場(chǎng)的分布和變化,解決場(chǎng)論問題。工程設(shè)計(jì)函數(shù)用于描述工程設(shè)計(jì)參數(shù)與性能之間的關(guān)系,協(xié)助工程師進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化。可靠性函數(shù)評(píng)估系統(tǒng)或設(shè)備的可靠性,預(yù)測(cè)故障概率和使用壽命??刂坪瘮?shù)在自動(dòng)控制系統(tǒng)中,用于描述系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制。信號(hào)處理函數(shù)用于信號(hào)處理領(lǐng)域,如濾波、變換和編碼等,提高信號(hào)質(zhì)量和傳輸效率。工程學(xué)中的函數(shù)應(yīng)用舉例06函數(shù)學(xué)習(xí)的誤區(qū)與難點(diǎn)解析CHAPTER忽略函數(shù)基礎(chǔ)概念過于關(guān)注函數(shù)的應(yīng)用,忽略對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)概念的理解和掌握,導(dǎo)致后續(xù)學(xué)習(xí)出現(xiàn)困難。忽視函數(shù)圖像的重要性沒有認(rèn)識(shí)到函數(shù)圖像在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用,無法通過圖像直觀理解函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)。盲目套用公式在沒有理解函數(shù)本質(zhì)的情況下,盲目套用公式進(jìn)行計(jì)算,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤?;煜瘮?shù)和方程誤將函數(shù)看作方程,認(rèn)為函數(shù)就是求解未知數(shù)的工具,缺乏對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解。常見誤區(qū)及錯(cuò)誤類型分析01020304難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)剖析與突破方法函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握判斷方法,并通過練習(xí)加深理解。02040301函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用將函數(shù)與實(shí)際問題相結(jié)合,理解函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,提高函數(shù)的應(yīng)用能力。函數(shù)的復(fù)合與分解理解函數(shù)復(fù)合與分解的概念,掌握復(fù)合函數(shù)和分解函數(shù)的求解方法,提高函數(shù)的運(yùn)算能力。函數(shù)的圖像變換掌握函數(shù)圖像平移、伸縮、翻轉(zhuǎn)等變換規(guī)律,通過圖像變換理解函數(shù)性質(zhì)的變化。例題2求復(fù)合函數(shù)的解析式。思路:根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求解方法,從內(nèi)到外逐步求解。例題4判斷函數(shù)單調(diào)性并求最值。思路:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值。例題3利用函數(shù)圖像解決實(shí)際問題。思路:根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型,通過圖像分析解決問題。例題1判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由。思路:根據(jù)奇偶性定義,代入

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