2025屆江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（二）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（二）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.某運動員在一次訓(xùn)練中共射擊次，射擊成績（單位：環(huán)）如下：，，，，，10．則下列說法正確的是（）A.成績的極差為 B.成績的第50百分位數(shù)等于成績的平均數(shù)C.成績的中位數(shù)為和 D.若增加一個成績，則成績的方差不變【答案】B【解析】A．，極差為，故錯誤，不符合題意；B．第50百分位數(shù)，平均數(shù)，故正確，符合題意；C．成績的中位數(shù)為，故錯誤，不符合題意；D．若增加一個成績，則成績的方差會變小，故錯誤，不符合題意；故選：B．2.已知集合，若，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故選：A.3.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點數(shù)分別為m，n．設(shè)平面向量，則向量不能作為平面內(nèi)的一組基底的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且不能作為基底，則，即，當時，；當時，；當時，；兩次投擲得到點數(shù)的總可能性為種，所以所求的概率.故選：A．4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選：C．5.已知x，y為正實數(shù)，則可成為“”的充要條件的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，已知x，y為正實數(shù)，若，，則，故A錯誤；對于B，由可得：，令，，令，解得：，則Fx在0,1若，則，故B錯誤；對于C，已知x，y為正實數(shù)，若，取，則，故C錯誤；對于D，由，則，令，則，即在定義域上遞增，故，反之也有成立，滿足要求，故D正確.故選：D.6.位于如皋市定慧寺內(nèi)的觀音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七層、八角彩繪的外觀．觀音塔除去塔尖部分可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個除去塔尖的觀音塔模型，塔底寬20cm，塔頂寬10cm，側(cè)面面積為，據(jù)此計算該觀音塔模型體積為（）．A.31500 B.30000 C.10500 D.10000【答案】C【解析】每個側(cè)面面積，側(cè)面的高，則側(cè)棱長，正四棱臺的高，故選：C．7.已知動點在拋物線上，定點．圓上兩個動點滿足，則的最小值為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由題意知圓心與拋物線的焦點重合為F0,1，拋物線的準線為，過作拋物線準線的垂線，垂足為，則，由，則為中點，故，，又圓的半徑為，則可得，又，當三點共線時，取得最小值為，則可得，故選：D．8.已知函數(shù)的定義域為，對內(nèi)的任意兩個不相等的數(shù)，都有且．若實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（）A. B. C.20 D.19【答案】B【解析】，令，和原式比較，，都有在上單調(diào)遞增，，.故選：B．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A選項，對于，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，A選項正確.B選項，對于，由，得，不符合題意.C選項，由，得，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，C選項正確.D選項，對于，由，得，不符合題意.故選：AC10.隨機事件A，B滿足，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.事件A與相互獨立 C. D.【答案】ABC【解析】因為與一定互斥，所以A對；獨立，B對．對．錯，故選：ABC.11.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于A，B兩點（其中點A在軸上方），連接．現(xiàn)將平面沿軸向上折疊，使得面面，則下列說法正確的是（）A.當直線的傾斜角為時，B.當直線的傾斜角為時，三棱錐的外接球的表面積為C.三棱錐的體積最大值為D.當折疊后的周長為時，直線的斜率為【答案】ABD【解析】對于A，當傾斜角為時，方程為此時位于橢圓短軸的一個端點，，又平面平面平面正確．對于B，當傾斜角為時，為等邊三角形，邊長為2，外接圓半徑假設(shè),則所以外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為B正確．對于C，設(shè)直線AB方程為,聯(lián)立得，，所以，平面面，錯．對于D，如圖建系，翻折前原先，翻折后，，由①②，聯(lián)立①②正確，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【解析】由，得，即，則，所以.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的長度l（單位：cm）服從正態(tài)分布，按長度l分為5級：為一級，為二級，為三級，為四級，為廢品．將一級與二級產(chǎn)品稱為優(yōu)品．對該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進行隨機抽查，每次抽取1個，則抽到優(yōu)品的概率______（精確到0.1）．若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率為______．附：，【答案】0.20.36【解析】由，所以，優(yōu)品滿足，所以（第一空）；抽查次數(shù)不超過兩次的概率為（第二空）.14.在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且的平行線OQ與的角平分線交于，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)的角平分線交軸于點，延長OQ與交于，則為中點，，∵，∴，∵，∴，，即，又，在中，由余弦定理得，即，，即橢圓的離心率.四、解答題（本大題共5小題，共計77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為a，b，c，點在邊上且，．（1）求證：；（2）若，求的最大值．解：（1）方法一：，，因為中，，所以上式，又因為，所以，由正弦定理：得，所以．方法二：因為，由正余弦定理可得，整理得，所以.（2）方法一：因為，即，又，所以，所以BD為的角平分線，設(shè)，則，所以，所以，所以，又在中，由余弦定理得，即，故，即，當且僅當時等號成立，故．方法二：設(shè)，在中，①，在中，②，由①②得，，下同法一.方法三：設(shè)，因為，所以，兩邊同時平方得，即，所以，所以，下同法一．16.為調(diào)查某地區(qū)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中錯題訂正整理情況與考試成績的關(guān)系．首先對該地區(qū)所有高中學(xué)生錯題訂正整理情況進行分值評價，給出得分；再組織考試．從這些學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績作為樣本，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個樣本錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，計算得．（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷考試成績和錯題訂正整理情況得分的相關(guān)程度；（2）已知20個樣本中有8個樣本的考試成績低于樣本平均數(shù)．利用頻率估計概率，從該地區(qū)所有高中學(xué)生中隨機抽取4個學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，記抽到考試成績低于的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．附：相關(guān)系數(shù)．解：（1），接近考試成績和錯題訂正整理情況得分高度相關(guān)．（2）考試成績低于樣本平均數(shù)的概率記為，則x01234p17.在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，分別為線段AD，CD的中點，，平面平面．（1）求證：；（2）若與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．（1）證明：取BD中點，連接，為正三角形，，為BD中點，，面，面面，面面平面，又面，，面，所以面，又面（2）解：方法一：由（1）可知面，以為原點，邊上的高為軸，邊所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖，，設(shè)，則，記平面的一個法向量為，令，則，為平面的一個法向量，，與平面所成角余弦值為正弦值為．，或，又．設(shè)面的一個法向量為n1，取，則，∴為平面的一個法向量，設(shè)面的一個法向量為，，取，為平面的一個法向量，由圖可知二面角的平面為銳角，二面角的余弦值為．方法二：由（1）面過作，則，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)所以，設(shè)平面的法向量為，令得，，所以為平面的一個法向量，與平面所成角余弦值為，與平面所成角正弦值為．，或又因為平面的法向量設(shè)平面的法向量為，令得，，∴為平面的一個法向量，，下同法一方法三：由（1）可知面，平面，，又，，平面，所以面，平面，面面，與平面所成角為，設(shè)，，又為AD的中點，在中，，或，又．過作交BD于，過作于，連接，為二面角的平面角．因為，所以．由圖可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．18.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．（1）求函數(shù)在點處切線方程；（2）若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）求導(dǎo)得，令，則，，即：．（2）方法一，，①當時，左邊右邊，不等式顯然成立．②當時，令當時，在上單調(diào)遞減③當時，令，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．綜上：的取值范圍為．法二，令，，令，所以恒成立，在上遞增．①若，即對在單調(diào)遞減，，與矛盾，無解，舍去．②若，即，在上遞增.故．③若即：時，使得，，即：即：，故綜上．19.已知雙曲線過點，其漸近線方程為．圓過點、，與軸交于、．記直線與雙曲線的另一個交點為，直線與雙曲線的另一個交點為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）求證：直線和直線的斜率之積為定值；（3）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．（1）解：由題意可得，所以，雙曲線的標準方程為．（2）證明：方法一：設(shè)，圓的半徑為，則、，其中，而，所以，，即直線、的斜率之積為定值；方法二：設(shè)、，設(shè)圓的半徑為，則，，則圓的方程為，將點的坐標代入圓的方程得，所以，，則（3）解：直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，所以，所以，所以點，同理可得點，所以所以直線的方程為，即，所以直線恒過定點，由（2）圓的方程為，即，代入，得，所以，點在圓內(nèi)，故直線與圓相交．江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（二）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.某運動員在一次訓(xùn)練中共射擊次，射擊成績（單位：環(huán)）如下：，，，，，10．則下列說法正確的是（）A.成績的極差為 B.成績的第50百分位數(shù)等于成績的平均數(shù)C.成績的中位數(shù)為和 D.若增加一個成績，則成績的方差不變【答案】B【解析】A．，極差為，故錯誤，不符合題意；B．第50百分位數(shù)，平均數(shù)，故正確，符合題意；C．成績的中位數(shù)為，故錯誤，不符合題意；D．若增加一個成績，則成績的方差會變小，故錯誤，不符合題意；故選：B．2.已知集合，若，則實數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故選：A.3.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點數(shù)分別為m，n．設(shè)平面向量，則向量不能作為平面內(nèi)的一組基底的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且不能作為基底，則，即，當時，；當時，；當時，；兩次投擲得到點數(shù)的總可能性為種，所以所求的概率.故選：A．4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選：C．5.已知x，y為正實數(shù)，則可成為“”的充要條件的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，已知x，y為正實數(shù)，若，，則，故A錯誤；對于B，由可得：，令，，令，解得：，則Fx在0,1若，則，故B錯誤；對于C，已知x，y為正實數(shù)，若，取，則，故C錯誤；對于D，由，則，令，則，即在定義域上遞增，故，反之也有成立，滿足要求，故D正確.故選：D.6.位于如皋市定慧寺內(nèi)的觀音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七層、八角彩繪的外觀．觀音塔除去塔尖部分可近似視為一個正四棱臺，現(xiàn)有一個除去塔尖的觀音塔模型，塔底寬20cm，塔頂寬10cm，側(cè)面面積為，據(jù)此計算該觀音塔模型體積為（）．A.31500 B.30000 C.10500 D.10000【答案】C【解析】每個側(cè)面面積，側(cè)面的高，則側(cè)棱長，正四棱臺的高，故選：C．7.已知動點在拋物線上，定點．圓上兩個動點滿足，則的最小值為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由題意知圓心與拋物線的焦點重合為F0,1，拋物線的準線為，過作拋物線準線的垂線，垂足為，則，由，則為中點，故，，又圓的半徑為，則可得，又，當三點共線時，取得最小值為，則可得，故選：D．8.已知函數(shù)的定義域為，對內(nèi)的任意兩個不相等的數(shù)，都有且．若實數(shù)m，n滿足，則的最小值為（）A. B. C.20 D.19【答案】B【解析】，令，和原式比較，，都有在上單調(diào)遞增，，.故選：B．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A選項，對于，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，A選項正確.B選項，對于，由，得，不符合題意.C選項，由，得，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，C選項正確.D選項，對于，由，得，不符合題意.故選：AC10.隨機事件A，B滿足，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.事件A與相互獨立 C. D.【答案】ABC【解析】因為與一定互斥，所以A對；獨立，B對．對．錯，故選：ABC.11.在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為，經(jīng)過點的直線與橢圓交于A，B兩點（其中點A在軸上方），連接．現(xiàn)將平面沿軸向上折疊，使得面面，則下列說法正確的是（）A.當直線的傾斜角為時，B.當直線的傾斜角為時，三棱錐的外接球的表面積為C.三棱錐的體積最大值為D.當折疊后的周長為時，直線的斜率為【答案】ABD【解析】對于A，當傾斜角為時，方程為此時位于橢圓短軸的一個端點，，又平面平面平面正確．對于B，當傾斜角為時，為等邊三角形，邊長為2，外接圓半徑假設(shè),則所以外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為B正確．對于C，設(shè)直線AB方程為,聯(lián)立得，，所以，平面面，錯．對于D，如圖建系，翻折前原先，翻折后，，由①②，聯(lián)立①②正確，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【解析】由，得，即，則，所以.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的長度l（單位：cm）服從正態(tài)分布，按長度l分為5級：為一級，為二級，為三級，為四級，為廢品．將一級與二級產(chǎn)品稱為優(yōu)品．對該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進行隨機抽查，每次抽取1個，則抽到優(yōu)品的概率______（精確到0.1）．若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率為______．附：，【答案】0.20.36【解析】由，所以，優(yōu)品滿足，所以（第一空）；抽查次數(shù)不超過兩次的概率為（第二空）.14.在平面直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且的平行線OQ與的角平分線交于，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)的角平分線交軸于點，延長OQ與交于，則為中點，，∵，∴，∵，∴，，即，又，在中，由余弦定理得，即，，即橢圓的離心率.四、解答題（本大題共5小題，共計77分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為a，b，c，點在邊上且，．（1）求證：；（2）若，求的最大值．解：（1）方法一：，，因為中，，所以上式，又因為，所以，由正弦定理：得，所以．方法二：因為，由正余弦定理可得，整理得，所以.（2）方法一：因為，即，又，所以，所以BD為的角平分線，設(shè)，則，所以，所以，所以，又在中，由余弦定理得，即，故，即，當且僅當時等號成立，故．方法二：設(shè)，在中，①，在中，②，由①②得，，下同法一.方法三：設(shè)，因為，所以，兩邊同時平方得，即，所以，所以，下同法一．16.為調(diào)查某地區(qū)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中錯題訂正整理情況與考試成績的關(guān)系．首先對該地區(qū)所有高中學(xué)生錯題訂正整理情況進行分值評價，給出得分；再組織考試．從這些學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績作為樣本，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個樣本錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，計算得．（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷考試成績和錯題訂正整理情況得分的相關(guān)程度；（2）已知20個樣本中有8個樣本的考試成績低于樣本平均數(shù)．利用頻率估計概率，從該地區(qū)所有高中學(xué)生中隨機抽取4個學(xué)生的錯題訂正整理情況得分和對應(yīng)的考試成績，記抽到考試成績低于的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列．附：相關(guān)系數(shù)．解：（1），接近考試成績和錯題訂正整理情況得分高度相關(guān)．（2）考試成績低于樣本平均數(shù)的概率記為，則x01234p17.在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，分別為線段AD，CD的中點，，平面平面．（1）求證：；（2）若與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．（1）證明：取BD中點，連接，為正三角形，，為BD中點，，面，面面，面面平面，又面，，面，所以面，又面（2）解：方法一：由（1）可知面，以為原點，邊上的高為軸，邊所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖，，設(shè)，則，記平面的一個法向量為，令，則，為平面的一個法向量，，與平面所成角余弦值為正弦值為．，或，又．設(shè)面的一個法向量為n1，取，則，∴為平面的一個法向量，設(shè)面的一個法向量為，，取