2025屆上海市黃浦區(qū)高三年級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2025屆高三年級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．其中第1～6題每題滿分4分，第7～12題每題滿分5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．1.若集合，，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，故答案?.2.不等式的解集為___________【答案】【解析】因?yàn)?，所以不等式的解集為：，故答案為?3.橢圓的焦距是_________.【答案】2【解析】∵橢圓∴.即答案為2．4.若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為________．【答案】【解析】由題意，圓柱的側(cè)面積為：.故答案為：5.的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為_______【答案】20【解析】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為．令得．所以的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為．6.若正數(shù)x、y滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】因正數(shù)x、y滿足，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，最大值為，故答案為：.7.從A校高一年級(jí)學(xué)生中抽取66名學(xué)生測(cè)量他們的身高，其中最大值為184cm，最小值152cm，繪制身高頻率分布直方圖，若組距為3，且第一組下限為151.5，則組數(shù)為________．【答案】11【解析】第一組下限為151.5，組距為3，所以，故第11組的下限為181.5，因此組數(shù)為11，故答案為：118.在正四面體中，點(diǎn)N是的中心，若，則________．【答案】##【解析】因?yàn)樵谡拿骟w中，，正四面體的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線上，設(shè)，，，由兩兩垂直，得，所以，即，所以是正三棱錐，設(shè)該正四面體的棱長為2，則，于是A1,0,0，，又點(diǎn)N是的中心，所以，所以因?yàn)椋?，可得，得，可?故答案為：.9.若，則不等式的解集為________．【答案】【解析】時(shí)，，時(shí)，，，∴由得，，①或②不等式組①無解；不等式組②的解集為綜上，不等式的解集為.故答案為：.10.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)，，則，由，得，即，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓面（包括邊界）內(nèi)，設(shè)，，則，由，得，整理得，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，又，所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.11.一個(gè)機(jī)器零件的形狀是有缺口的圓形鐵片，如圖中實(shí)線部分為裁剪后的形狀．已知這個(gè)圓的半徑是13cm，，，且，則圓心到點(diǎn)B的距離約為________cm．（結(jié)果精確到0.1cm）【答案】【解析】如圖所示，設(shè)圓心為D，的中點(diǎn)為E，則，由題意易知，則，所以，由余弦定理知，所以.故答案為：.12.設(shè)常數(shù)b為整數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若（，）的最小值為-7，則b＝________．【答案】【解析】由題意知，當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為，故，可得，化簡得，因?yàn)?，所以方程無解，故不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的最小值為，故，即，解得；綜上所述，.故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分．其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分．13.擲一顆質(zhì)地均勻骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（）A.與 B.與 C.與 D.與【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)朝上面的點(diǎn)數(shù)為時(shí)，與同時(shí)發(fā)生，即與不是互斥事件，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.14.若從正方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)分別記為A、B、C、D，則直線AB與CD所成角的大小不可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】①由題意作圖如下：由圖易知為等腰直角三角形，則直線與的夾角為；②由題意作圖如下：由圖易知為等邊三角形，則直線與的夾角為；③由題意作圖如下：由圖易知，因?yàn)?，則直線與的夾角為.而不管怎么找頂點(diǎn)，都無法得到直線AB與CD所成角為.故選：A.15.設(shè)，滿足的x的個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】由可得，即，其中，所以原方程化為，即，不妨令，因?yàn)椋裕字獣r(shí)，成立，即滿足題意；又的周期為，且，所以在區(qū)間上還有一個(gè)根，如圖所示，故選：C16.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對(duì)任意的，有．對(duì)于各項(xiàng)均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列與均是嚴(yán)格增數(shù)列B.數(shù)列與均是嚴(yán)格減數(shù)列C.數(shù)列與中的一個(gè)是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個(gè)是嚴(yán)格減數(shù)列D.數(shù)列與均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列【答案】C【解析】依題意，因f'x<0在區(qū)間I上恒成立，則函數(shù)y=f由，，因數(shù)列的各項(xiàng)均不相同，且，若，則，即，即此時(shí)數(shù)列嚴(yán)格遞增，數(shù)列嚴(yán)格遞減；若，則，即，即此時(shí)數(shù)列嚴(yán)格遞減，數(shù)列嚴(yán)格遞增綜上所述，數(shù)列與中的一個(gè)是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個(gè)是嚴(yán)格減數(shù)列.故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線DE與平面ABCD所成角的大?。猓海?）證明：連接，在正方體中，E是的中點(diǎn)，所以E是的中點(diǎn)，且，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平?所以平面.（2）過作，交于，連接，在正方體中，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是直線與平面所成的角.由題意，設(shè)，則，，所以，所以在，，故直線與平面所成角的大小是.18.已知．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間．解：（1）由，得，則函數(shù)，故最小正周期為.（2）由，得，；由，得，令，解得；故單調(diào)減區(qū)間為.19.A校高一年級(jí)共有學(xué)生330名，為了解該校高一年級(jí)學(xué)生的身高情況，學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取66名學(xué)生，其中女生32名，男生34名，測(cè)量他們的身高．（1）該校高一學(xué)生中男、女生各有多少名？（2）若從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名都是男生的概率；（3）在32名女生身高的數(shù)據(jù)中，其中一個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，錯(cuò)將165cm記錄為156cm，由錯(cuò)誤數(shù)據(jù)求得這32個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為161cm，方差為23.6875，求原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差．（平均數(shù)結(jié)果保留精確值，方差結(jié)果精確到0.01）解：（1）根據(jù)題意可知，抽樣比為，所以該校高一學(xué)生中男生有名，女生有名；（2）從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名共有種，兩名都是男生的抽法共有種，所以這兩名都是男生的概率為（3）根據(jù)題意可設(shè)正確的31個(gè)數(shù)據(jù)為，易知，可得；所以原始數(shù)據(jù)平均值為；由方差定義可得，因此，可得；原始數(shù)據(jù)的方差為即原始數(shù)據(jù)的方差為.20.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、（），過點(diǎn)的直線與右支在軸上方交于點(diǎn)．（1）若，點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；（2）若，且是等比數(shù)列，求證：直線的斜率為定值；（3）設(shè)直線與左支的交點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)滿足什么條件時(shí)，存在直線，使得成立．解：（1）依題意，將，代入中，解得，則；（2）依題意知，可設(shè)直線，代入中，整理得：（*），如圖，因，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為恰是方程（*）的解，則，整理得：，即，因是等比數(shù)列，則，代入此式，可得，即得，因過點(diǎn)的直線與右支在軸上方交于點(diǎn)，故得，即直線的斜率為定值；（3）如圖，因點(diǎn)在雙曲線右支上，則，即，故由可得,又因點(diǎn)直線與左支的交點(diǎn),故，則，在中，設(shè)，由余弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，故?dāng)且僅當(dāng)滿足時(shí)，存在直線，使得成立.21.函數(shù)的定義域?yàn)椋谏蟽H有一個(gè)極值點(diǎn)，方程在上僅有兩解，分別為、，且．若，則稱函數(shù)在上的極值點(diǎn)左偏移；若，則稱函數(shù)在上的極值點(diǎn)右偏移．（1）設(shè)，，判斷函數(shù)在上的極值點(diǎn)是否左偏移或右偏移？（2）設(shè)且，，，求證：函數(shù)在上的極值點(diǎn)右偏移；（3）設(shè)，，，求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的極值點(diǎn)左偏移．解：（1）由，得到，所以，又，由，得到，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)極值點(diǎn)，且極值點(diǎn)為，此時(shí)，所以函數(shù)在上的極值點(diǎn)不偏移.（2）因?yàn)?，且，，由，得到或，則，又，，則有兩根，不妨設(shè)為，且，又，所以，又時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上只有一個(gè)極值點(diǎn)，且，又，所以，故函數(shù)在上的極值點(diǎn)右偏移.（3）由題知，，令，得到，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極值點(diǎn)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，時(shí)，，時(shí)，，，則有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，且，所以，，令，則在恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故，又，故，得到，即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的極值點(diǎn)左偏移．上海市黃浦區(qū)2025屆高三年級(jí)期終調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分．其中第1～6題每題滿分4分，第7～12題每題滿分5分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果．1.若集合，，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，故答案?.2.不等式的解集為___________【答案】【解析】因?yàn)?，所以不等式的解集為：，故答案為?3.橢圓的焦距是_________.【答案】2【解析】∵橢圓∴.即答案為2．4.若圓柱的底面半徑與高均為1，則其側(cè)面積為________．【答案】【解析】由題意，圓柱的側(cè)面積為：.故答案為：5.的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為_______【答案】20【解析】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為．令得．所以的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)為．6.若正數(shù)x、y滿足，則的最大值為________．【答案】【解析】因正數(shù)x、y滿足，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，最大值為，故答案為：.7.從A校高一年級(jí)學(xué)生中抽取66名學(xué)生測(cè)量他們的身高，其中最大值為184cm，最小值152cm，繪制身高頻率分布直方圖，若組距為3，且第一組下限為151.5，則組數(shù)為________．【答案】11【解析】第一組下限為151.5，組距為3，所以，故第11組的下限為181.5，因此組數(shù)為11，故答案為：118.在正四面體中，點(diǎn)N是的中心，若，則________．【答案】##【解析】因?yàn)樵谡拿骟w中，，正四面體的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線上，設(shè)，，，由兩兩垂直，得，所以，即，所以是正三棱錐，設(shè)該正四面體的棱長為2，則，于是A1,0,0，，又點(diǎn)N是的中心，所以，所以因?yàn)?，所以，可得，得，可?故答案為：.9.若，則不等式的解集為________．【答案】【解析】時(shí)，，時(shí)，，，∴由得，，①或②不等式組①無解；不等式組②的解集為綜上，不等式的解集為.故答案為：.10.i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】設(shè)，，則，由，得，即，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓面（包括邊界）內(nèi)，設(shè)，，則，由，得，整理得，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，又，所以表示點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.11.一個(gè)機(jī)器零件的形狀是有缺口的圓形鐵片，如圖中實(shí)線部分為裁剪后的形狀．已知這個(gè)圓的半徑是13cm，，，且，則圓心到點(diǎn)B的距離約為________cm．（結(jié)果精確到0.1cm）【答案】【解析】如圖所示，設(shè)圓心為D，的中點(diǎn)為E，則，由題意易知，則，所以，由余弦定理知，所以.故答案為：.12.設(shè)常數(shù)b為整數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若（，）的最小值為-7，則b＝________．【答案】【解析】由題意知，當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，數(shù)列在上單調(diào)遞增，此時(shí)的最小值為，故，可得，化簡得，因?yàn)?，所以方程無解，故不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的最小值為，故，即，解得；綜上所述，.故答案為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分．其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分．13.擲一顆質(zhì)地均勻骰子，觀察朝上面的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件：點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)，事件：點(diǎn)數(shù)是4．下列每對(duì)事件中，不是互斥事件的為（）A.與 B.與 C.與 D.與【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)朝上面的點(diǎn)數(shù)為時(shí)，與同時(shí)發(fā)生，即與不是互斥事件，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槭录褪录荒芡瑫r(shí)發(fā)生，所以與互斥，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.14.若從正方體八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)分別記為A、B、C、D，則直線AB與CD所成角的大小不可能為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】①由題意作圖如下：由圖易知為等腰直角三角形，則直線與的夾角為；②由題意作圖如下：由圖易知為等邊三角形，則直線與的夾角為；③由題意作圖如下：由圖易知，因?yàn)?，則直線與的夾角為.而不管怎么找頂點(diǎn)，都無法得到直線AB與CD所成角為.故選：A.15.設(shè)，滿足的x的個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無數(shù)個(gè)【答案】C【解析】由可得，即，其中，所以原方程化為，即，不妨令，因?yàn)?，所以，易知時(shí)，成立，即滿足題意；又的周期為，且，所以在區(qū)間上還有一個(gè)根，如圖所示，故選：C16.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對(duì)任意的，有．對(duì)于各項(xiàng)均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列與均是嚴(yán)格增數(shù)列B.數(shù)列與均是嚴(yán)格減數(shù)列C.數(shù)列與中的一個(gè)是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個(gè)是嚴(yán)格減數(shù)列D.數(shù)列與均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列【答案】C【解析】依題意，因f'x<0在區(qū)間I上恒成立，則函數(shù)y=f由，，因數(shù)列的各項(xiàng)均不相同，且，若，則，即，即此時(shí)數(shù)列嚴(yán)格遞增，數(shù)列嚴(yán)格遞減；若，則，即，即此時(shí)數(shù)列嚴(yán)格遞減，數(shù)列嚴(yán)格遞增綜上所述，數(shù)列與中的一個(gè)是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個(gè)是嚴(yán)格減數(shù)列.故選：C.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖，在正方體中，E是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線DE與平面ABCD所成角的大?。猓海?）證明：連接，在正方體中，E是的中點(diǎn)，所以E是的中點(diǎn)，且，即，因?yàn)槠矫妫矫妫裕?，平?所以平面.（2）過作，交于，連接，在正方體中，平面，，所以平面，又平面，所以，所以是直線與平面所成的角.由題意，設(shè)，則，，所以，所以在，，故直線與平面所成角的大小是.18.已知．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)，的單調(diào)減區(qū)間．解：（1）由，得，則函數(shù)，故最小正周期為.（2）由，得，；由，得，令，解得；故單調(diào)減區(qū)間為.19.A校高一年級(jí)共有學(xué)生330名，為了解該校高一年級(jí)學(xué)生的身高情況，學(xué)校采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取66名學(xué)生，其中女生32名，男生34名，測(cè)量他們的身高．（1）該校高一學(xué)生中男、女生各有多少名？（2）若從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名都是男生的概率；（3）在32名女生身高的數(shù)據(jù)中，其中一個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，錯(cuò)將165cm記錄為156cm，由錯(cuò)誤數(shù)據(jù)求得這32個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為161cm，方差為23.6875，求原始數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差．（平均數(shù)結(jié)果保留精確值，方差結(jié)果精確到0.01）解：（1）根據(jù)題意可知，抽樣比為，所以該校高一學(xué)生中男生有名，女生有名；（2）從這66名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名共有種，兩名都是男生的抽法共有種，所以這兩名都是男生的概率為（3）根據(jù)題意可設(shè)正確的31個(gè)數(shù)據(jù)為，易知，可得；所以原始數(shù)據(jù)平均值為；由方差定義可得，因此，可得；原始數(shù)據(jù)的方差為即原始數(shù)據(jù)的方差為