七年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（蘇科版）專題08 三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型（解析版）

專題08三角形中的倒角模型之高分線模型、雙（三）垂直模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠DAE＝（

）A．5° B．4° C．8° D．6°【答案】A【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C，利用直角三角形兩個銳角互余求出∠DAC，利用角平分線的定義求出∠EAC，∠EAC減去∠DAC即可求出∠DAE．【詳解】解：△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，AD是BC邊上的高，，，AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，，．故選A．【點睛】此題考查三角形內(nèi)的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線、高及三角形的內(nèi)角和定理的性質(zhì)．例2．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，平分交于點E，過點A作，垂足為D，過點E作，垂足為F．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，再利用角平分線的定義得出，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義（從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線），熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．例3．（2023·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是Rt△ABC的高和中線，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，試求：（1）AD的長度；（2）△ACE和△ABE的周長的差．【答案】（1）AD的長度為cm；（2）△ACE和△ABE的周長的差是3cm．【分析】（1）利用直角三角形的面積法來求線段AD的長度；（2）由于AE是中線，那么BE＝CE，再表示△ACE的周長和△ABE的周長，化簡可得△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC﹣AB即可．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，∴S△ACB=AB?AC＝BC?AD，∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的長度為cm；（2）∵AE為BC邊上的中線，∴BE＝CE，∴△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是3cm．【點睛】此題主要考查了三角形的面積，關(guān)鍵是掌握直角三角形的面積求法．例4．（2023·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，分別是的高和角平分線，若，．(1)求的度數(shù)．(2)試寫出與關(guān)系式，并證明．(3)如圖，F(xiàn)為AE的延長線上的一點，于D，這時與的關(guān)系式是否變化，說明理由．

【答案】(1)(2)(3)不變，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)高線的性質(zhì)得到，從而求出，繼而根據(jù)角的和差得到結(jié)果；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，根據(jù)角的和差得到結(jié)果；（3）過作于，結(jié)合（2）知，證明，得到，即可證明．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵是高，∴，∵，∴，∴；（2），證明如下：∵平分，∴，∵，∴，∴；（3）不變，理由是：如圖，過作于，由（2）可知：，

，，，，，，，．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·河北保定·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，都是的高，則與一定相等的角是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等量代換、三角形的高的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【詳解】∵，都是的高，∴．∴．A、當時，可得，該選項不符合題意；B、當時，可得，該選項不符合題意；C、根據(jù)題意可知，該選項符合題意；D、當時，可得，該選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查三角形的高的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，牢記三角形的高的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽宿州·八年級校考期中）如圖，在中，和分別是邊上的高，若，，則的值為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高的性質(zhì)，利用等積法求解即可．【詳解】∵，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查與三角形的高有關(guān)的計算問題．根據(jù)三角形的面積公式得出是解題關(guān)鍵．例3．（2023春·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點F，于點，與交于點，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長．

【答案】(1)(2)【分析】（1）數(shù)形結(jié)合，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面積法，由代值求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【點睛】本題考查三角形綜合，數(shù)形結(jié)合，利用等面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·江西鷹潭·七年級階段練習(xí)）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．求證：∠ACD＝∠B．【答案】見解析【分析】根據(jù)同角的余角相等即可解答．證明：在中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理．例2．（2023·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AD，BF分別是△ABC的高線與角平分線，BF，AD交于點E，∠1＝∠2．求證：△ABC是直角三角形．【答案】見解析【分析】根據(jù)AD是△ABC的高線，可得∠BED+∠EBD＝90°，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABE＝∠EBD，觀察∠BED與∠AEF的位置，可知是一組對頂角，進而進行等量代換可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此結(jié)合已知不難得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解題．【詳解】證明：由題意得：AD⊥BC，BF平分∠ABC，∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，∴∠BED+∠ABE＝90°，又∵∠AEF＝∠BED，∴∠AEF+∠ABE＝90°，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE+∠ABE＝90°，∴∠BAF＝90°，即△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查了三角形高線、角平分線的定義，對頂角相等，熟記角平分線的定義與直角三角形的定義是關(guān)鍵．例3．（2023·北京通州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB，再利用三角形面積求出BD即可．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故選擇D．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式，掌握直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等積式是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·江蘇蘇州·七年級蘇州中學(xué)?？计谥校┮阎?，在中，，是角平分線，D是上的點，、相交于點F．

(1)若時，如圖所示，求證：；(2)若時，試問還成立嗎？若成立說明理由；若不成立，請比較和的大小，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)不成立；當時，；當時，；理由見解析．【分析】（1）證明，由，證明，由三角形的外角的性質(zhì)可得，，從而可得結(jié)論．（2）證明，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得，再分兩種情況可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴．（2）不成立．理由如下：∵，，，∴，∵，∴當時，，∴；當時，，∴．【點睛】本題考查的是三角形的角平分線是含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟記三角形的外角的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2023春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，是的高線，是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角平分線的定義可求出的度數(shù)，在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，再結(jié)合，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵是的角平分線，∴．∵是的高，∴．在中，，∴，∴，∴的度數(shù)為故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，牢記三角形內(nèi)角和是是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，是的平分線．，．則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了高的定義，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，根據(jù)高的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，進而求出，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，問題即可得解．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，∵是的平分線，，∴，∴，∴，又，∴，故選：B．3．（2023下·陜西西安·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的高，是的平分線，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，然后可得，再根據(jù)角平分線的定義求出，進而利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是邊上的高，∴，∵，∴，∴，∵是的平分線，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，準確識別各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·重慶涪陵·八年級統(tǒng)考期末）如圖，鈍角中，為鈍角，為邊上的高，為的平分線，則與、之間有一種等量關(guān)系始終不變，下面有一個規(guī)律可以表示這種關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)依次推理即可得出結(jié)論．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，∵AE為∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．∵AD為BC邊上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故選：B【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義、三角形外角性質(zhì)及三角形的高的定義，解答的關(guān)鍵是找到已知角和所求角之間的聯(lián)系．5．（2023上·湖南長沙·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，是高，是中線，是角平分線，交于點，交于點，給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中結(jié)論正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】①根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)角平分線平分角以及等角的余角相等，即可判斷；③根據(jù)角平分線平分角以及同角的余角相等，即可判斷；④根據(jù)等腰三角的判定方法即可判斷；⑤過點F作于點M，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，根據(jù)即可作出判斷．【詳解】解：∵是中線，∴，∴(等底等高的兩個三角形面積相等)，故①正確；∵是角平分線，∴，∵是高，∴，∵，，∴，故②正確；∵，∴，故③正確；∵連接，如圖，∵為的斜邊的中線，∴，∴，∵，∴只有當時，，此時，∴，∵條件中不能確定，∴不成立，故④錯誤；⑤過點F作于點M，如圖所示：∵平分，，∴，∵，∴，∴，故⑤正確；綜上分析可知，正確的個數(shù)為4個．故選：C．【點睛】此題考查了三角形的角平分線，中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的角平分線，中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．6．（2023下·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，是高，是角平分線，是中線與相交于，以下結(jié)論正確的有（

）

①；②；③；④；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】解：由高的定義，得，①正確；由中線得，兩三角形等底同高，于是,②正確；根據(jù)直角三角形兩銳角互余及外角知識，得，結(jié)合角平分線定義可判斷③正確；如圖，過點E作，垂足為H，I，根據(jù)角平分線性質(zhì)，得，可證得．④正確．【詳解】解：∵是高，∴．∴，①正確；∵是中線，∴．令中邊上的高為h，∴,②正確；∵∴.∵是角平分線，∴．∴，③正確；如圖，過點E作，垂足為H，I，∵是角平分線，∴．

．④正確．故選：D．【點睛】本題考查三角形角平分線，中線，高的定義，直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，、分別是、邊上的高，并且、交于點P，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)，可得的度數(shù)，然后根據(jù)可得的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：，，，，，故選：C．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于、三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·河南漯河·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，分別是邊上的高，則圖中與相等的角有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】由分別是邊上的高，可得，從而得出，最后得出．【詳解】解：∵分別是邊上的高，∴，∴，∴，∴與相等的角有1個，故選：B【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩個銳角互余．9．（2023下·重慶江北·七年級校考期中）如圖，在中，，，分別是高和角平分線，點在的延長線上，交于，交于，下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】先根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)同角的余角相等即可判定A；根據(jù)角平分線的定義可得，由三角形外角的性質(zhì)可得，然后運用角的和差即可判定B；先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得,再結(jié)合可判定C；先說明，然后根據(jù)等量代換即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故A正確；

∵、分別是高和角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；故B正確；∵，∴，∵，∴，由A得：，∴，故C錯誤；∵，∴，∴，∵，∴，故D正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、垂直的定義、三角形外角的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·廣東深圳·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，，是邊上的高，是的平分線，交于點F，下面說法：①；②；③；④．其中正確的說法有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)余角的性質(zhì)可判斷①，根據(jù)角平分線的定義可判斷③，證明，根據(jù)等角對等邊推出可判斷②，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得，利用三角形的面積可判斷④．【詳解】解：是的平分線，，，是邊上的高，，，，，．故①③符合題意．，是邊上的高，，，是的平分線，，，，．故②符合題意．如圖，過點作于，

，是的平分線，，，故④符合題意．選：D．【點睛】本題考查了角平分線的定義和性質(zhì)，三角形的高，余角的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．11．（2023下·山東東營·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖在中，是邊上的高，分別是和的平分線，它們相交于點O，，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，進而根據(jù)角平分線的定義求出，再利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)進而求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵分別是和的平分線，∴，∴，∴，∵是邊上的高，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之和為是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·甘肅蘭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，、分別是高和角平分線，點F在的延長線上，，交于G，交于H，下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的是．【答案】①②③【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，正確運用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，可證明①結(jié)論正確；根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，得出，，可證明②結(jié)論正確；根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等，得出，可證明③結(jié)論正確．【詳解】解：設(shè)交于點J．①∵，∴∵，∴，∵，∴，①結(jié)論正確；②∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，②結(jié)論正確；③∵，，∴，∵，，∴，，∵，∴，∵,∴，③結(jié)論正確，故答案為：①②③．13．（2023下·山西大同·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，分別是邊，上的高，且，則的長為．

【答案】【分析】要求出的長，利用的面積公式：求出．【詳解】解：因此故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的面積計算，運用不同的底和高計算一個三角形的面積，關(guān)鍵要注意選取三角形底邊時，要準確找到底邊所對應(yīng)的高．14．（2023下·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在銳角△ABC中，AD，BE分別是邊BC，AC上的高，求證：．【答案】證明見解析【分析】利用三角形面積公式可得．【詳解】證明：AD，BE分別是邊BC，AC上的高∴．∴．【點睛】本題考查求三角形的高，根據(jù)三角形面積公式列出等式是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，為鈍角，是邊上的高，是的平分線．

(1)畫出邊上的高；(2)若，，求的度數(shù)；(3)若，，，求高的長．【答案】(1)畫圖見解析；(2)(3)【分析】本題考查的三角形的高，三角形的角平分線的含義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）利用三角尺畫上的高即可；（2）先求解，，再利用角平分線的定義可得，再結(jié)合角的和差關(guān)系可得答案；（3）先求解，再把作底邊，再列方程求解高即可．【詳解】（1）解：如圖，為上的高；

（2）∵，，∴，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴；（3）∵，，，∴，∵，，∴，∴．16．（2023下·山東淄博·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，是平分線．(1)若，，求的度數(shù)．(2)若，試探求、、之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于，求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出，再求解即可；（2）根據(jù)是平分線，即可得到，再根據(jù)中，，代入，即可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是平分線，∴，∵是邊上的高，，∴，∴；（2）解：，易知，∵是平分線，∴，又∵中，，∴，故、、之間的數(shù)量關(guān)系為．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的角平分線的定義，三角形的高線，準確識圖是解題的關(guān)鍵．17．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，和分別是的邊，上的高，，相交于點，已知．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，那么是等腰直角三角形，，再求出，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解；（2）連接，利用，即可求解．【詳解】（1）解：∵和分別是的邊上的高，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，∵，，，，∴．

∵是的邊上的高，∴，即，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出是解第（1）小題的關(guān)鍵；利用面積法是解第（2）小題的關(guān)鍵．18．（2023下·浙江杭州·八年級期末）如圖，在中，，，垂足為．

（1）求證：；（2）若平分分別交，于點，求證：．【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）根據(jù)，，列出等量關(guān)系，通過等量代換即可得到；（2）根據(jù)角平分線可得∠CAF=∠BAF，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證得．【詳解】解：（1）∵，∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴（2）∵平分∴∠CAF=∠BAF又∵∠CEF和∠CFE分別是△AEC和△ABF的外角，∴∠CEF=∠CAF+∠ACD∠CFE=∠BAF+∠B又∵∴∠CEF=∠CF