遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第18頁(yè)/共18頁(yè)遼寧省縣級(jí)重點(diǎn)高中協(xié)作體2023-2024學(xué)年上學(xué)期末考試高三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別計(jì)算出集合、后，由交集定義運(yùn)算即可得.【詳解】由，即，故，由，即，故，則.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求.【詳解】因?yàn)?，所?故選：.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)直接求解.【詳解】由題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是1.故選：C4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則數(shù)列的公比是（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比是，則.因?yàn)?，所以，則，解得或（舍去）.故選：B5.已知某圓錐的軸截面是等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑，確定母線長(zhǎng)，求出側(cè)面積和表面積即可求得答案.【詳解】由題意可得軸截面是等腰直角三角形，設(shè)該圓錐的底面圓的半徑為，則其母線長(zhǎng)為，從而該圓錐的側(cè)面積.表面積，故.故選：A.6.甲?乙相約從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向圍著一個(gè)周長(zhǎng)是200米的圓形跑道跑步，甲每秒鐘跑2.5米，乙每秒跑3.5米，則“甲?乙相遇”是“甲?乙都跑了400秒”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件及充分必要條件的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐颐棵氡燃酌棵攵嗯?米，所以當(dāng)甲?乙都跑了200秒時(shí)，乙比甲多跑了200米，甲?乙第一次相遇.當(dāng)甲?乙都跑了400秒時(shí)，乙比甲多跑了400米，甲?乙再次相遇.所以“甲?乙相遇”是“甲?乙都跑了400秒”的必要不充分條件.故選：C.7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.20 B.10 C.21 D.11【答案】C【解析】【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，得到，進(jìn)而得到，求出答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，令，則，兩式相加得所以，即.故選：C8.已知點(diǎn)是雙曲線的上焦點(diǎn)，是下支上的一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最小值是（）A.7 B.6 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓的性質(zhì)和雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由圓可化為，則，半徑為1，因?yàn)槭堑南陆裹c(diǎn)，則，由雙曲線定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即的最小值是.故選：B.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓，則（）A.直線的傾斜角是B.圓的半徑是4C.直線與圓相交D.圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是7【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：求出直線的斜率即可得傾斜角；對(duì)于B：求出圓的標(biāo)準(zhǔn)式即可；對(duì)于CD：求出圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】直線，即，斜率為，則傾斜角是，錯(cuò)誤；圓，即，圓心為，半徑為4，正確；圓心到直線的距離，則直線與圓相交，故正確；圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，則正確.故選：BCD.10.已知甲運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是0.8，乙運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是0.9，甲?乙投籃互不影響.若兩人各投籃一次，則（）A.都沒(méi)有命中的概率是0.02B.都命中的概率是0.72C.至少一人命中的概率是0.94D.恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】【分析】由對(duì)立事件的概率計(jì)算甲乙不中的概率，利用獨(dú)立事件的概率求解判斷選項(xiàng)，；利用對(duì)立事件的求解判斷選項(xiàng)；甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況求解可判斷選項(xiàng).【詳解】都沒(méi)有命中的概率為，正確；都命中的概率為，正確；至少一人命中的概率為，錯(cuò)誤；恰有一人命中的概率為，錯(cuò)誤.故選：.11.已知函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的值可能為（）A.4 B.5 C. D.【答案】BC【解析】【分析】先利用余弦函數(shù)圖像性質(zhì)求得的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用的零點(diǎn)個(gè)數(shù)列出關(guān)于的不等式，解之即可求得的取值范圍，進(jìn)而得到的值可能值.【詳解】由，得.函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，又因?yàn)楹瘮?shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.由，得，則，解得.故選：BC12.如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則（）A.平面B.異面直線與EF所成的角是C.點(diǎn)到平面的距離是D.平面截正方體所得圖形的周長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式、點(diǎn)到面距離公式，結(jié)合正方體的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因?yàn)?，所以與平面不垂直，則A錯(cuò)誤．設(shè)異面直線與EF所成的角為，則，從而，故B正確．連接，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是，則C正確．分別在棱上取點(diǎn)M，N，使得，，連接．可知平面截正方體所得圖形為五邊形．由題中數(shù)據(jù)可得，則平面截正方體所得圖形的周長(zhǎng)為，故D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的性質(zhì)得到截面的形狀.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.向量，，若，則__________.【答案】6【解析】【分析】由已知，可得，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由已知，所以，可得，解得.故答案為：6.14.5名學(xué)生的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)分別為，若這5名學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)為111，則__________.【答案】112【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】由，將成績(jī)從小到大排列，得第60百分位數(shù)為第三個(gè)成績(jī)和第四個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，所以，解得.故答案為：11215.已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，直線，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線與平行，且與函數(shù)相切，從而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，則求出切點(diǎn)到直線的距離，從而可求解。【詳解】因?yàn)?，所?令，得，則，故點(diǎn)到直線的距離.故答案為：16.已知函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)法可知，在上為單調(diào)函數(shù)，分函數(shù)在上為增函數(shù)、減函數(shù)兩種情況討論，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù).當(dāng)在上為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，則，解得；當(dāng)在上為單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，則，解得.綜上，的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角的大??；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理解出即可.（2）由已知求出各邊的長(zhǎng)度，再用面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，則故的面積18.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是棱的中點(diǎn).（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意證明線面垂直進(jìn)而證明線線垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合面面角的向量求法進(jìn)行計(jì)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接.因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)槠矫?，且，所以平面因?yàn)槠矫妫浴拘?wèn)2詳解】記，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，所以，所以兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，故.設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為19.鎮(zhèn)安大板栗又稱中國(guó)甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營(yíng)養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再?gòu)倪@10顆板栗中隨機(jī)抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量≥70克）的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）57.5（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）先通過(guò)分析確定中位數(shù)在內(nèi)；再設(shè)中位數(shù)為，列出方程求解即可.（2）先根據(jù)分層抽樣確定從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆；再寫(xiě)出的所有可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．【小問(wèn)2詳解】由題意可知采用分層抽樣方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意寫(xiě)出函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求得其最值；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分類討論思想，可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．【小問(wèn)2詳解】由題意可得．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?，解得．?dāng)時(shí)，，不符合題意．綜上，a的取值范圍是．21.已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，所以奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，由通項(xiàng)公式求解即可；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為項(xiàng)，分組求和即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減可得，因?yàn)?，，所以，所以，所以，，，，是首?xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，，，，，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，則，，故；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上.22.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程，并說(shuō)明是什么曲線；（2）若過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的最大值為，最小值為，且成等比數(shù)