2025年中考數(shù)學(xué)沖刺專項(xiàng)訓(xùn)練（全國）專題18 新定義問題在五種題型中的應(yīng)用（解析版）

專題18新定義問題在五種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

新定義類坐標(biāo)系內(nèi)代數(shù)綜合問題，是在已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，從坐標(biāo)、代數(shù)式、或者函數(shù)圖象以及幾何

圖象出發(fā)，給出一個(gè)新定義，要求學(xué)生理解并應(yīng)用這個(gè)定義來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。它突出考查自主學(xué)習(xí)

能力、數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)學(xué)抽象概括能力以及對新定義的實(shí)際應(yīng)用能力。

解答此類問題，首先，認(rèn)真閱讀題目，結(jié)合簡單示例，理解題干新定義的核心特征，如位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)

系、變化運(yùn)動(dòng)特征等;其次，要根據(jù)題意，畫出輔助圖形，完成文字語言、符號(hào)語言和圖象語言的互化，讓

語言互化走在思維的最前端;最后，注意歸納結(jié)論，為后續(xù)問題做好指向。

此類新定義，名字新，但是內(nèi)容一般是由我們學(xué)過的知識(shí)按照一種新的模式進(jìn)行的組合，這就需要在分析

的基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)化。將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)和熟悉的方法，才能有效地解決問題。

壓軸摩預(yù)測

題型一：數(shù)與式中的新定義問題

1.(2024?宣化區(qū)一模)對于三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,JI]M{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用而〃{a,b,

c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù).例如：也{1,2,9}=1+：9=4,加閭,2,-3}=-3,〃而{3,1,1}=1.請

結(jié)合上述材料，解決下列問題：

(1)〃而?{sin30°，cos60°，tan45°)；

(2)若M{—2x,x12,3}=2,求/的值.

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，以及定義的新運(yùn)算，即可解答；

(2)根據(jù)定義的新運(yùn)算可得一2、+3*+3=2,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解:(1)加〃{sin30°,cos60°?tan45°)

,,11

=rnm{—,—?1n)

1

=—;

2

(2)x2,3}=2,

—2x+x~+3.

3

整理得：，-2x-3=(),

(x-3)(x+1)=0,

x—3=0或x+l=O,

x=3或x=-l,

「.X的值為3或-1.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解，實(shí)數(shù)大小比較，特殊角的三角函數(shù)值，理解定義的新運(yùn)算是解題

的關(guān)鍵.

2.（2023?章貢區(qū)校級(jí)模擬）給出如下定義：我們把有序?qū)崝?shù)對（。"，c）叫做關(guān)于x的二次多項(xiàng)式冰2+云+。

的特征系數(shù)對，把關(guān)于x的二次多項(xiàng)式〃/+瓜+。叫做有序?qū)崝?shù)對（a,b,c）的特征多項(xiàng)式.

（1）關(guān)于x的二次多項(xiàng)式3/+2x-1的特征系數(shù)對為_（3二--1）_；

（2）求有序?qū)崝?shù)對（1,4,4）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（1,4,4）的特征多項(xiàng)式的乘積；

（3）若有序?qū)崝?shù)對（p,q、-1）的特征多項(xiàng)式與有序?qū)崝?shù)對（加，〃，-2）的特征多項(xiàng)式的乘積的結(jié)果為

2x+xi-\0x2-x+2,直接寫出（42一2g-1）（2/〃一〃一1）的值為.

【分析】（1）根據(jù)特征系數(shù)對的定義即可解答；

（2）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義先寫出多項(xiàng)式，然后再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）根據(jù)特征多項(xiàng)式的定義先寫出多項(xiàng)式，然后再令x=-2即可得出答案.

【解答】解：（1）關(guān)于工的二次多項(xiàng)式3/+2x-l的特征系數(shù)對為（3,2,-1）,

故答案為：（3,2?-1）；

（2）?.?有序?qū)崝?shù)對（1,4,4）的特征多項(xiàng)式為：X2+4X+4,

有序?qū)崝?shù)對（1,-4，4）的特征多項(xiàng)式為：x2-4x+4,

.?.（/+4X+4）（X2-4X+4）

=/-4?+4x2+4x3-16x2+16x+4x2-16x+16

=？-8X2+I6；

（3）根據(jù)題意得（px，+夕工一1）（〃a2+nx-2）=2.r4+x3-1Ox2—x+2,

令x=-2,

則（4〃一2^-1）（4〃?一2〃-2）=2x16-8-10x4+2+2,

...(4〃-29一1)(46—2〃-2)=32—8—40+2+2,

(4〃-21-1)(4〃？一2〃-2)=-12,

(4〃-2q-\}(2m-/7-I)=-6,

故答案為：-6.

【點(diǎn)評】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，新定義問題，給x賦予特殊值-2是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?湘潭縣校級(jí)模擬)閱讀下列材料，并解決相關(guān)的問題.

定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-I,記為/=-1,這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位.那么形如。+初(4,b為實(shí)數(shù))的

數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，8叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加I,減，乘

法運(yùn)算類似.例如計(jì)算：(2+0+(3-4/)=5-3/.

(1)填空：z3/4=—;

(2)計(jì)算：

①(2+i)(2T)；

②”了.

(3)試一試：請利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將3化簡成“+方的形式.

1-/

【分析】(1)根據(jù)尸=-1,進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(2)①利用平方差公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

②利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(3)分子和分母同時(shí)乘(l+i),進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)v?=-l,

/.i=f2?/=-1?/=—/,f*=(f2)2=(—I)2=1,

故答案為：-i,1；

(2)?(2+z)(2-z)

=4-f2

=4-(-1)

=4+1

=5：

②Q+i)2

=4+4Z+/2

=4+4/?+(—)

=3+4/；

1+2/+/2

]-i2

l+2/+（-l）

=-2i

2

=i.

【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?沙坪壩區(qū)模擬）如果一個(gè)三位自然數(shù)M的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0,且滿足百位上的數(shù)字等

于十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和，則稱這個(gè)數(shù)為“沙磁數(shù)”.

例如：扭=321,???3=2+1,，321是“沙磁數(shù)”.

又如：M=534,丁5工3+4,「.534不是“沙磁數(shù)”.

（1）判斷853,632是否是“沙磁數(shù)”？并說明理由;

（2）若用是一個(gè)“沙磁數(shù)”,將M的十位數(shù)字放在M的百位數(shù)字之前得到一個(gè)四位數(shù)/,在M的末位

之后添加數(shù)字1得到一個(gè)四位數(shù)字4,若力-3能被11整除，求出所有滿足條件的M.

【分析】（1）根據(jù)新定義進(jìn)行解答；

（2）設(shè)"=該二萬，求得力、B,再根據(jù)《0為整數(shù)求得1、力的值，便可得出結(jié)果.

【解答】解:⑴???8=5+3,

...853是“沙磁數(shù)”；

:6。3+2,

二.632不是“沙磁數(shù)”；

（2）設(shè).”=〃1（4一力），則）=bab（a一份=10（）0〃+100“+10）+a-b=10"+1009b，

B=ah(a-b)\=100()。+1006+10〃-10"+1=1010a+90b+1,

.?”—8=—909a+919b—1,

???八8能被11整除,

-909a+919Z?-1-la+6/>-1日蚣物

-----------------------=-82tz+836+-----------------是整數(shù)，

II11

，加6b7是整數(shù),

11

???Lbvq9,。、b為整數(shù),

.?.。=7,8=1或。=4,8=3或。=8,。=4或。=9,8=7,

.??M=716或431或844或972.

【點(diǎn)評】本題考查了新定義，學(xué)生的閱讀理解能力以及知識(shí)的遷移能力，解題的關(guān)犍是理解“沙磁數(shù)”的

定義.

5.(2022?渝中區(qū)校級(jí)模擬)材料1：若一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和能被9整除，則這個(gè)數(shù)本身也能被9整

除；

材料2：如果一個(gè)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字均不為0的四位正整數(shù)m可以被9整除，且小的百位上的數(shù)字比十位

上的數(shù)字大2,則稱加為“夠二數(shù)”；將用的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，百位數(shù)字與十位數(shù)寶交換，得到

的數(shù)為“，產(chǎn)(〃?)='"-〃'-1818,例如：加=8424,v8+4+2+4=18=9x2,4-2=2,.?.8424是''夠

999

一*”—、8424-4248+1818,

一數(shù)'，戶(8424)=---------------------------=6.

999

(1)判斷1314,6536是否是“夠二數(shù)”，請說明理由,如果是“夠二數(shù)”，請計(jì)算尸(⑼的值:

(2)若一個(gè)四位正整數(shù)〃=礪是“夠二數(shù)”，且」—為5的倍數(shù)，請求出所有的“夠二數(shù)”〃的值.

尸(〃)

【分析】(1)根據(jù)新定義“夠二數(shù)”進(jìn)行解答便可：

(2)根據(jù)新定義“夠二數(shù)”及數(shù)學(xué)推理解.

【解答】解：(1)1314是“夠二數(shù)”，6536不是“夠二數(shù)”.理由如下:

-.-1+3+14-4=9=9x1,3-1=2,

.?.1314是“夠二數(shù)”，

???6+5+3+6=20=9x2+2,

二.6536不是“夠二數(shù)”，

L/W1314-4131+1818,

F(\314)=---------------------------=-1：

999

(2)?.?一個(gè)四位正整數(shù)〃=礪是“夠二數(shù)”，

a+b+c+cl=9x,其中x是正整數(shù)，且xwO,貝U%-c=2,

:.b=c+2,則1vcv7,

=dcba,

abed-dcha=1818

1()()()?+100/?+\0c+d-\00()，-100c-l()/j-r/+1818

999a+90b-90c-9994+1818

llla+106—10c—llld十202

111

將/>=c+2代入，

~、111"11Id+222

：.c=5,b=7,

---二5y

'a-d+2-

a+2c+2+d=9x

：.(a-d+2)y=1,

???)?是整數(shù)，

：.a-d+2=±1,即a="-1或。=d-3,

當(dāng)”=4一1,

a=d-\

,其中XHO,且是整數(shù),

q+d+12=9x

a+d+\2=9xta,d是整數(shù)，

xw1,

當(dāng)I時(shí)，M3■解得；不符合題意舍去.

當(dāng)x=3時(shí)，\a=d=1,解得，a=7，符合題意，此時(shí)〃=7758.

a+d+12=27[d=8

同理，當(dāng)。=4一3,n=6759.

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)的運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理，根據(jù)條件進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵

6.（2024?興寧區(qū)校級(jí)模擬）廣西是全國水果大省，是能實(shí)現(xiàn)水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大產(chǎn)區(qū).2024

年伊始，伴隨廣西11車沙糖桔運(yùn)往哈爾濱，一場特殊的“投桃報(bào)李”引發(fā)全國關(guān)注，沙糖桔一躍成為春節(jié)

期間的網(wǎng)紅水果.小明爸爸開的水果店準(zhǔn)備購進(jìn)一批沙糖桔，有兩個(gè)商家可供選擇，上初三的小明讓爸爸

各買一箱，標(biāo)記為力，B,準(zhǔn)備運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫助爸爸進(jìn)行選擇.小明在4,8兩箱水果中各隨機(jī)

取10個(gè)，逐一測量了它們的直徑，測量結(jié)果如下(單位“〃)：

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

抽取序號(hào)12345678910

月箱沙糖桔直徑4.54.44.64.54.44.54.64.64.54.4

8箱沙糖桔直徑4.44.34.44.74.44.84.54.24.84.5

統(tǒng)計(jì)量平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)

A4.5b4.5

Ba4.4C

根據(jù)題目信息，回答下列問題:

(1)a=4.5>h=,<

(2)由折線圖可知，s；—(填“"=”或)

(3)爸爸告訴小明沙糖桔一級(jí)果外觀要求：大小均勻，直徑在?5cm之間.請幫助小明用合適的統(tǒng)計(jì)

量評價(jià)這兩箱沙糖桔是否符合一級(jí)果要求，以及選擇哪箱沙糖桔更好，并寫出依據(jù).

折線統(tǒng)計(jì)圖

（分析】（1）〃=44+今3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+42+4.8+4.5,力箱抽取的10個(gè)砂糖桔測得的直徑

10

數(shù)值哪個(gè)出現(xiàn)次數(shù)最多，即為對8箱抽取的10個(gè)砂糖桔測得的直徑從大到小排列，取最中間兩數(shù)的平

均值,即為c；

(2)由折線圖可知，/箱砂糖桔直徑比8箱砂糖桔直徑波動(dòng)小，所以/箱砂糖桔直徑的方差比8箱砂糖桔

直徑的方差??；

(3)A、8兩箱砂糖桔直徑均在4c加?之間，符合一級(jí)果要求，比較方差，選擇方差小的，直徑相差

較小.

.皿依、或，/,、4.4+4.3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+4.2+4.8+4.5,廣

［解答］解：(1)4=-------------------------------------------------------------------------=4.5,

1()

8=4.5,

4.4+4.5,

c=----------=4.45,

2

故答案為：4.5,4.5,4.45；

(2)由折線圖可知，力箱砂糖桔直徑比8箱砂糖桔直徑波動(dòng)小，即

故答案為：<；

(3)4、8兩箱砂糖桔直徑均在4c〃??5c〃?之間，符合一級(jí)果要求，

.?.選擇“箱砂糖桔更好，直徑相差較小.

【點(diǎn)評】本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，關(guān)鍵是掌握平均數(shù)公式.

7.(2023?豐潤區(qū)二模)一個(gè)三位數(shù)，若它的十位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字的和，那么稱這個(gè)三位數(shù)

為“和諧數(shù)”.

(1)最小的三位“和諧數(shù)”是110,最大的三位“和諧數(shù)”是一：

(2)若一個(gè)“和諧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字為磯0),十位數(shù)字為力S..L人>。且。、6都是自然數(shù))，請用含a,

6的代數(shù)式表示該“和諧數(shù)”；

(3)判斷任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能否被11整除，若能，請說明理由，若不能，請舉出反例.

【分析】(1)設(shè)個(gè)位數(shù)字為x(x.0),百位數(shù)字為M?>0)，則十位數(shù)字為x+y，則“和諧數(shù)”為：

100v+10(.v+y)+x=l10^+1lx,由此可得結(jié)論；

(2)按題意列代數(shù)式即可；

(3)由110y+llx=U(10y+x)可得結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)個(gè)位數(shù)字為x(x...O),百位數(shù)字為y(y>0),則十位數(shù)字為x+y,

/.“和諧數(shù)”為：100.y+l0Cv+j')+x=110^+llx,

當(dāng)x=(),y=l時(shí)，有最小的三位“和諧數(shù)”是110,

當(dāng)x=0,y=9時(shí)，有最大的三位“和諧數(shù)”是990,

故答案為；110,990；

(2)100(6-a)+10/j+a=100/)-100a+10Z?+a=110/7-99a,

.?.該“和諧數(shù)”為:1106-990；

(3)能，理由：

由(1)得“和諧數(shù)”為：l()Oy+l()(x+y)+x=ll()y+Ux,

?.?ll()y+llx=ll(10j/+x),

任意一個(gè)三位“和諧數(shù)”能被II整除.

【點(diǎn)評】本題屬于新定義問題，涉及到列代數(shù)式、整式加減等問題，正確理解新定義是解決本題的關(guān)鍵.

8.(2022?九龍坡區(qū)校級(jí)模擬)對于任意一個(gè)四位數(shù)/〃，若滿足千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是百位

上的數(shù)字與十位.上的數(shù)字之和的2倍，則稱這個(gè)四位數(shù)加為“倍和數(shù)”、例如：

加=6132,?.?6+2=2x(l+3),「.6132是倍和數(shù)”；

〃?=1374,???1+4/2x(3+7),.7374不是“倍和數(shù)”；

(1)判斷1047和4657是否為“倍和數(shù)”？并說明理由.

(2)當(dāng)一個(gè)，，倍和數(shù)”“千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字不相等，且千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和等

于8時(shí)，記這個(gè)“倍和數(shù)”/〃的千位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之差的絕對值為7(〃。，記百位上的數(shù)字與

十位上的數(shù)字之差的絕對值為砍小)，令G(m)=如上,當(dāng)G(/〃)能被3整除時(shí)，求出滿足條件的所有“倍和

R5)

數(shù)”m.

【分析】根據(jù)新概念判斷即可

【解答】(1)m=1047,

-/l+7=2x(0+4),

.?.1047是0”倍和數(shù)”

m-4657,

?.?4+7#2x(6+5),

??.4657不是”倍和數(shù)“

(2)設(shè)“倍和數(shù)"m=ab(4-b)^-a),(其中La.8,Q、6.4且〃，b為整數(shù)).

.?.尸(機(jī))=|2Q—8|,R(m)=\2b-4\,G(〃?)=咨

R(m)\b-2\

???/〃千位數(shù)上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)不相等，

??6/工49

???G(m)能被3整除，

'.5")=聲3=次("為整數(shù))’

與芻=〃|力一2|,

???La,8,

4,

.?.|"4|=3,

a=1或7,

.?.K|b-2|=1,

/.|Z?-2|=1,

，力=1或3,

故滿足條件的所有“倍和數(shù)”，為：1137,1317,7131,7311

【點(diǎn)評】本題考查了代數(shù)式中的新題型，結(jié)合概念的整除即可解答

9.(2022?兩江新區(qū)模擬)材料一：若一個(gè)兩位數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則稱這個(gè)兩位數(shù)為

“巧數(shù)”.

材料二：一個(gè)四位數(shù)/=而滿足各個(gè)數(shù)位數(shù)字都不為0,且它的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)7,

以及十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)萬均為“巧數(shù)”，則稱這個(gè)四位數(shù)為“雙巧數(shù)”.若0=%-應(yīng)，

q=ad-bef貝!J記尸(N)=g-p.

(1)請任意寫出兩個(gè)“巧數(shù)”，并證明任意一個(gè)“巧數(shù)”的個(gè)位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍；

(2)若$,/都是“雙巧數(shù)”，其中s=3()l()+100x+10y+z,/=1100w+400+10/7+2r,(LJ,z,人9,

Ly?8,L,弭5,L.4,且x,y,z,/〃，〃，/?均為整數(shù))，規(guī)定K(s,/)=簫，當(dāng)Rs)+/。)=12

時(shí)，求K(s,/)的最大值.

【分析】(1)設(shè)出兩位數(shù)，根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)是“巧數(shù)”得出y=2x,最后根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)是完全平方數(shù)，

即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)這個(gè)兩位數(shù)是“巧數(shù)”得出〃7=2〃，進(jìn)而表示出新的兩位數(shù)和三位數(shù)，再根據(jù)這個(gè)三位數(shù)與這

個(gè)兩位數(shù)的差為一個(gè)完全平方數(shù)得出10(9c+a)是完全平方數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(I)設(shè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為y,十位數(shù)字為x,(Lx.9,1..為9),

則這個(gè)兩位數(shù)為(10x+y),

?.?這個(gè)兩位數(shù)是“巧數(shù)”，

.1.4(x+p)=1Ox+y,

y—2x，

即：這個(gè)兩位數(shù)為10.r+^=1OA+2x=12x,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4,這個(gè)兩位數(shù)是24：

當(dāng)x=3時(shí)，y=6,這個(gè)兩位數(shù)為36；

(2)S=3010+lOO.r+10v+z=3000+100x+10()-+1)+z,

Pi=(30+y+l)—(l()x+z)=31+y—10."z,

4=(30+z)-(10x+y+l)=29+z-10x-y,

f(S)=q「P[=(29+z-1Ox-y)-(31+y-]Ox_z)=-2+2z-2y；

/=11OOw+400+10〃+2r=1OOOw+100(4+〃?)+10〃+2〃，

Pi=(10〃？+〃)-(40+1Oni+2r)=/?-40-2r>

%=(lOw+2r)-(40+1Ont4-n)=2r-40-/1?

f(i)=%-〃？=(27--40-n)-(n-40-2r)=4r-2〃，

t)=f(s)=-2^z-2y=z-y-}f

f(t)4-2〃2r-n

v,/(5)+/(/)=12,BP-2+2z-27+4r-2/?=12,解得2,?一〃=7—z+y，

f(s)z-y-\

T^1-z+y

?/s都是“雙巧數(shù)”，

.?.10(y+l)+z=4(v+l+z),解得2y+2=z,

.吟八/⑸z-y-\2y+2-y-\y+1,.6

..A(5>t)=----=--------=------------=----=-1+----

/(/)7-z+y7-2y-2+y5-y5-y

若要使K(s")最大,

則其分母最小，分子最大.

「LN9,

LK3,且），為正整數(shù)，

/.1?取3,

/.K（s,0的最大值為2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了數(shù)字問題，兩位數(shù)和三位數(shù)的表示，新定義，掌握新定義“巧數(shù)”得出y=2x是解

本題的關(guān)鍵.

10.（2022?江津區(qū)一模）一個(gè)三位數(shù)〃入將小的百位數(shù)字和十位數(shù)字相加，所得數(shù)的個(gè)位數(shù)字放在〃?之后,

得到的四位數(shù)稱為，〃的“如虎添翼數(shù)”，將加的“如虎添翼數(shù)”的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到

四個(gè)新的三位數(shù)，把四個(gè)新的三位數(shù)的和與3的商記為尸例如：〃7=297,?.?2+9=11,「.297的“如

虎添翼數(shù)”〃是2971,將2971的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到四個(gè)新的三位數(shù)：971、271、291、

297,則尸(〃)=絲山口也“IO.

(1)258的“如虎添翼數(shù)”是2587,2(258)=：

(2)證明任意一個(gè)十位數(shù)字為。的三位數(shù)用，它的“如虎添翼數(shù)”與用的個(gè)位數(shù)字之和能被II整除；

(3)一個(gè)三位數(shù)s=100x+10y+103(x..y且x+y…9),它的“如虎添翼數(shù)”￡能被17整除,求尸⑸的最大

值.

【分析】(1)根據(jù)概念進(jìn)行計(jì)算從而作出判斷；

(2)令M=100〃+人然后根據(jù)概念并結(jié)合整式的加減運(yùn)算進(jìn)行分析證明；

(3)將s=l()()x+l()j，+103變形為s=100(x+l)+l()y+3,然后結(jié)合概念表示出s的如虎添翼數(shù)，并結(jié)合整

除的概念及x,y的取值范圍分析其最值.

【解答】解：⑴???2+5=7,

??.258的如虎添翼數(shù)為2587,

將2587的任意一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字去掉后可以得到新的三位數(shù)：587；287；257；258；

L..U。、587+287+257+258

F(258)=-------------------=463,

故答案為：2587：463：

(2)令必=100a+雙La.9,Q,九9,且“，。均為整數(shù))，則百位數(shù)字和十位數(shù)字的和為a,

:.M的如虎添翼數(shù)為1000a+10〃+a=1001a+10〃，

其如虎添翼數(shù)和其個(gè)位數(shù)字之和為1001。+\Ob+b=1001a+11/?,

.?.(1001a+l仍)+ll=91a+b,且a,b均為整數(shù),

二任意一個(gè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)M,它的“如虎添翼數(shù)”與M的個(gè)位數(shù)字之和能被II整除；

(3)s=100x+10^+103=100(x+1)+1Oy+3,

百位數(shù)字和十位數(shù)字相加得x+7+1,

當(dāng)x+y+L.10時(shí)，

s的如虎添翼數(shù)為：

/=1000(%+1)+lOOy+30+x++1-10

=1001x+101y+l021

=17(59x+6y+60)-2x-y+l,

x在千位,

??.X對/(s)的大小影響較大，

.?.X應(yīng)取更大值，

由S是個(gè)三位數(shù)，則X+L9，

.?.X,8,即x最大取8,

?.?x=8時(shí)，s的如虎添翼數(shù)能被17整除，則2x+y-l=2x8+y-l=15+y能被17整除，

y=2,

5=100,V+10v+103=100x8+10x2+103=923,

的如虎添翼數(shù)為9231,

231+931+921+923”小

/.F(s)=---------------------------=1002,

即尸(S)的最大值為1002.

【點(diǎn)評】本題屬于新定義題目，理解新定義概念，掌握整式加減的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

11.(2022?開州區(qū)模擬)一個(gè)自然數(shù)能分解成4x8,其中4,B均為兩位數(shù),4的十位數(shù)字比8的十位

數(shù)字少I,且4,8的個(gè)位數(shù)字之和為10,則稱這個(gè)自然數(shù)為“雙十?dāng)?shù)”.

例如：?.?4819=61x79,6比7小1,1+9=10二4819是“雙十?dāng)?shù)”；

又如：v1496=34x44,3比4小1,4+4工10,.二1496不是“雙十?dāng)?shù)”.

(1)判斷357,836是否是“雙十?dāng)?shù)”，并說明理由：

(2)自然數(shù)N=4x8為“雙十?dāng)?shù)”，將兩位數(shù)4放在兩位數(shù)8的左邊，構(gòu)成一個(gè)新的四位數(shù)例如：

4819=61x79,M=6179,若力與8的十位數(shù)字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有滿足條件的自

然數(shù)N.

【分析】(1)直接利用題目中的解題方法進(jìn)行求解即可；

(2)首先表示出M,利用力與8的十位數(shù)字之和能被5整除，將/與8的十位數(shù)字所有情況列出來，再

利用M能被7整除來排除，從而得到所有滿足條件的自然數(shù)N.

【解答】解:(1)---357=17x21,

1比2小1,7+1=8,

「.357不是雙十?dāng)?shù).

836=22x38,

2比3小1,2+8=10,

.?.836是雙十?dāng)?shù).

（2）?.?自然數(shù)N=/x8,兩位數(shù)力放在兩位數(shù)8的左邊構(gòu)成一個(gè)新的四位數(shù)M,

設(shè)4的十位數(shù)字為a,個(gè)位數(shù)字為6,

.?.￡的十位數(shù)字為。+1,個(gè)位數(shù)字為10-8，

???力與8的十位數(shù)字之和能被5整除，

。+。+1=5或。+。+1=10或"。+1=15,

①當(dāng)a+a+1=5時(shí)，

a=2,

.?./的十位數(shù)字為2,4的十位數(shù)字為3,

能被7整除,

僅當(dāng)6=4時(shí)，M=2436時(shí)滿足條件，

“24x36=864,

②當(dāng)a+a+l=10時(shí)，

。=2不滿足條件，

2

.?.這種情況舍去，

③當(dāng)a+a+l=15時(shí)，

a=7,

??J的十位數(shù)字為7,4的十位數(shù)字為8,

???V能被7整除，

當(dāng)3=1時(shí)，A/=7189時(shí)滿足條件，

N=71X89=6319,

當(dāng)，）=8時(shí)，〃=7882時(shí)滿足條件，

4=78x82=6396,

綜上，滿足條件的自然數(shù)自的值為864,6319,6396.

【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)與式里的新定義問題，解題的關(guān)鍵是明確題干所給條件，利用己知條件進(jìn)行推理

排除即可求解.

12.（2022?重慶）對于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N,若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和

加整除,則稱N是加的“和倍數(shù)”.

例如：???247+(2+4+7)=247+13=19,247是13的“和倍數(shù)”.

又如:?.?214+(2+1+4)=214+7=30……4,214不是“和倍數(shù)”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數(shù)”？說明理由：

(2)三位數(shù)4是12的“和倍數(shù)”，a,b,。分別是數(shù)4其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，^a>b>c.在a,b,

c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為廠(A),最小的兩位數(shù)記為G(A),若“”)+G(4)為

16

整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)力.

【分析】(I)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義依次判斷即可；

(2)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義表示廠(A)和G(A),代入尸(4)+GQ)中,根據(jù)尸(4)+GQ)為整數(shù)可解

1616

答.

【解答】解:(1)V3574-(3+547)=3574-15=23……12,

.?.357不是“和倍數(shù)”：

?.?441+(4+4+1)=441+9=49,

.?.441是9的“和倍數(shù)”；

(2)由題意得：a+b+c=12,a>b>c,

由題意得：F(A)=ab,G(A)=ch,

,F(/)+G(/)正+法10〃+6+10c+方10(a+c)+26

-16-16-16-16~

-a+c=\2-h,生處也2為整數(shù)，

16

產(chǎn)(力)+G(力)\0(\2-b)+2b120-8/)112+8-8/?)I八八

/.-----------=-------------=-------=----------=7+—(1—n),

161616162

\'\<b<9,

:.b=3,5,7,

Q+c=9,7,5,

4=8a=7

①當(dāng)b=3,a+c=9時(shí).<b=31舍)，-b=3,

c=1c=2

則)=732或372；

a=6

②當(dāng)6=5,a+c=7時(shí)，?b=5,

c=1

則4=516或156；

③當(dāng)b=7,〃+c=5時(shí)，此種情況沒有符合的值；

綜上，滿足條件的所有數(shù)力為：732或372或516或156.

【點(diǎn)評】本題考查了新定義問題，根據(jù)新定義問題進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

13.(2022?銅梁區(qū)模擬)對于任意一個(gè)四位數(shù)N,如果N滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同.且個(gè)位數(shù)字不

為0,N的百位數(shù)字與十位數(shù)字之差是千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的2倍、則稱這個(gè)四位數(shù)N為“雙減數(shù)”，

對于一個(gè)，，雙減數(shù)，，、=兩，將它的千位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)為茄，個(gè)位和十位構(gòu)成的兩位數(shù)為互，

規(guī)定：尸(%)=弛二也.

12

70_QO

例如：N=7028.因?yàn)?)-2=2x(7-8),所以7028是一個(gè)“雙減數(shù)”貝尸(7028)=當(dāng)聲=-1.

(1)判斷3401,5713是否是“雙減數(shù)”，并說明理由；如果是，求出RN)的值；

(2)若“雙減數(shù)”歷的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被11整除，且2必)是3的倍數(shù)，求歷的值.

【分析】(1)根據(jù)“雙減數(shù)”的定義判斷并求值即可；

(2)設(shè)M=1000a+1006+10c+d,根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可推導(dǎo)得：a=d+3,b=c+6,再分兩種情況

討論即可：①當(dāng)。+8+c+d=ll時(shí)，②當(dāng)。+方+c+d=22時(shí).

【解答】解：⑴V4-O=4=2x(3-1),7-1=6工2x(5-3),且滿足各個(gè)位上的數(shù)字互不相等，且個(gè)位

數(shù)字不為0，

.?.3401是“雙減數(shù)，5713不是“雙減數(shù)”.

34-10

二.尸(3401)=I2=2.

v7-l=6,5—3=2,不滿足“雙減數(shù)”的定義,

二.5713不是“雙減數(shù)”.

(2)設(shè)M=1000a+1006+10c+d,由題意可知:產(chǎn)(M)是3的倍數(shù)，且M各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被11

整除，且百位數(shù)與十位數(shù)之差是千位數(shù)與個(gè)位數(shù)之差的兩倍.

二.F(M)=曲=3k(k均為整數(shù))①，a+A+c+d=1為正整數(shù))②，b-c=2(a-d](3).

,.--10</>-c<10,

-5<a-d<5,

由①知，10Q+d-(10d+c)=36A,

:.\0(a-d)+(b-c)=36k,

:.\2(a-d)=36k,

a—d=3k、

=或4=1,即。-/=-3或。-4=3.

當(dāng)。-1=-3時(shí)，b-c=-6,

二.。=4-3,b=c-6,

代人②得，d-3+c-6+c+d=ll〃，

當(dāng)°-d=3時(shí)、b-c=6,

a=d+3tb=c+6,

代人②得，d+3+c+6+c+d=ll〃，

根據(jù)“雙減數(shù)”的性質(zhì)可得：a+b+c+d的最大值為3(),最小值為6,

:.6..a+b+c+d?30>

：.a+b+c+d只能取11或22.

當(dāng)a+b+c+d=ll時(shí)，可得d+e=l或d+e=10；

d=TId=0

當(dāng)d+C=l時(shí)，d與C的值可能為，(舍去)，

c=0c=1

d=\

c=0

a=l+3=4,b=()+6=6,

.-.A/=4601；

a=1〃=0

當(dāng)d+c=10時(shí)，。+/)=1,則《或|(舍去)，

b=0b=I

Q=1

,此時(shí)，c=6,d=4.

b=0

/.A/=1064；

3111

當(dāng)a+8+c+d=26時(shí)，可得d+c=—（舍）或d+c=—（舍）.

22

.?.M=46（）l或1064.

【點(diǎn)評】此題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的運(yùn)算規(guī)則求解.

14.（2022?大足區(qū)模擬）對任意一個(gè)四位正整數(shù)初，如果〃［的百位數(shù)字等于個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和，”

的千位數(shù)字等于十位數(shù)字的2倍與個(gè)位數(shù)字之和，那么稱這個(gè)數(shù)〃?為“和諧數(shù)”.例如：〃?=7431,滿足

1+3=4,2x3+l=7,所以7431是“和諧數(shù)”.例如：〃?=6413,滿足1+3=4,但2xl+3=5/6,所

以6413不是“和諧數(shù)”.

（1）判斷8624和9582是不是“和諧數(shù)”，并說明理由；

（2）若m是“和諧數(shù)”，且/〃與22的和能被13整除,求滿足條件的所有“和諧數(shù)”m.

【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義直接進(jìn)行判斷即可；

（2）設(shè)機(jī)的個(gè)位數(shù)為〃，十位數(shù)為6,根據(jù)〃，是“和諧數(shù)”，則〃？的百位數(shù)為千位數(shù)為26+。，再

根據(jù)用與22的和能被13整除,即可解答.

【解答】解：（1）?.?加=8624,6=2+4,8=2x2+4,

」.8642是“和諧數(shù)”；

?.?/〃=9582,5工8+2,

二.9582不是“和諧數(shù)”；

（2）設(shè)機(jī)的個(gè)位數(shù)為a,0..a,9,十位數(shù)為b,Q.6,9,且a、b為整數(shù),

???m是"和諧數(shù)”，

m的百位數(shù)為aI6（0,.a4b、、9）,千位數(shù)為2b+a（0<2b49）,

.-./?=I（）00（2Z>+a）+100（a+b）+]0h+a=\\0\a+2\\0b，

?.?加與22的和能被13整除,

.?.1101a+2U0b+22=13（84a+162b）+9a+46+22能被13整除，

.-.9a+46+22能被13整除，

?.?乃+&9,且a、6為整數(shù)，

9-2b

/.4-----，

2

.?.Q只能取0，1,2,3,4,

二.b=l時(shí)，。=0或6=2時(shí)，a=l或6=3時(shí)，。=2或6=4,a=3或6=5,。=4或b=6,a=5（不合題

意舍去）或b=7,a=6（不合題意舍去）或6=8,a=7（不合題意舍去）或6=9,a=8（不合題意舍

去），

:.a+b=\,2b+a=2或a+6=3,26+a=5或〃+8=5,28+a=8或。+方=7,2b+a=l\（不合題意舍

去）或o+b=9,2b+a=\4（不合題意舍去），

m的值為2110或5321或8532.

【點(diǎn)評】本題是一道新定義題目，考查了有理數(shù)整除的相關(guān)性質(zhì)，利用代數(shù)式的值進(jìn)行相關(guān)分類討論，得

出結(jié)果，解題的關(guān)鍵是能夠理解定義.

15.（2022?南川區(qū)模擬）對于一個(gè)三位數(shù)的正整數(shù)P,滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都不為零，它的百位數(shù)字減

去十位數(shù)字的差等于十位數(shù)字減去個(gè)位數(shù)字的差，那么稱這個(gè)數(shù)，為“平衡數(shù)”，對于任意一個(gè)“平衡數(shù)”,

將它的前兩位數(shù)加上后兩位數(shù)所得的和記為〃?；將它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)加上交換這個(gè)兩

位數(shù)所得到的新兩位數(shù)的和記為〃；把小與〃的差除以9所得結(jié)果記為：尸(尸).例如P=246,因?yàn)?/p>

2-4=4-6,所以246是一個(gè)“平衡數(shù)”，所以〃?=24+46=70,“=26+62=88,則叫二選=一2.

9

(1)計(jì)算：戶(258),尸(741)；

(2)若$、，都是“平衡數(shù)”其中s=10x+y+502,/=10。+/)+200,(LX.9),L盟7,La9,LA9,

x、y、〃、力都是整數(shù))，規(guī)定〃=也，當(dāng)22($)+尸(/)=一1時(shí)，求左的最小值.

F?)

【分析】(1)根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可.

(2)根據(jù)新定義，結(jié)合已知條件，用一個(gè)字母表達(dá)〃，再根據(jù)這個(gè)字母的取值范圍即可得出答案.

【解答】解：(1)F(258)=25+58-(28+82)=-3,

H74DJ4+477I+⑺=3.

(2)?.?s=10x+y+5()2,z=10a+〃+200,(L49,L乂，7,L,a.9，L6,9,x,y,a,b都是整數(shù)),

門、_50+x+10x+y+2—(52+y+10y+25)_lH0y-25

9_9

l,、2O+a+\Oa+b-(2O+b+\0b+2)\\a-\0b-2

r(t)=----------------------------=----------，

99

?.?2F(5)+F(/)=-l,

22x-20y-50lla-106-2,

99

整理得22x-20y+ll"105=43，

即11。一1()人一2=41—22x+20y,

4a

F(t)

.kllx-10v-25Ux-IOy-25

""\\a-\0b-2~41-22x+2C^>

???s是“平衡數(shù)”，

5_x=x__y-2>

z.y=2x-l,

mu11X-10(2X-7)-25-9X+451

"

、141-22x+20(2.v-7)-18x-9912'

x^5~

?/L.R7,

/.L2x-7?7,

解得4,%7,

???x為整數(shù),且工工5,

二.x=4或6或7,

.?.當(dāng)x=6時(shí)，k取得最小值為-1.

【點(diǎn)評】本題考查新定義題型、列代數(shù)式、有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)題干中所給的新定義及運(yùn)算規(guī)則完

成計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵.

16.（2024?唐山一模）數(shù)學(xué)課上老師給出規(guī)定：如果兩個(gè)數(shù)的平方差能被4整除，我們稱這個(gè)算式是“佳

偶和諧式”.

小亮寫出如下算式:82-62=7X4；142-122=I3X4；1062-1042=105x4.

發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”.

（1）驗(yàn)證:222-202是“佳偶和諧式”；

（2）證明：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；

（3）小紅通過小亮的結(jié)論推廣得到一個(gè)命題：任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳

偶和諧式”，直接判斷此命題是真命題還是假命題.

【分析】（1）直接根據(jù)“佳偶和諧式”的定義，即可求解；

（2）設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為-〃+2,再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式”的定義，即可求解；

（3）設(shè)任意兩個(gè)偶數(shù)分別為2”，2b,再根據(jù)平方差公式，以及“佳偶和諧式'的定義，即可求解.

【解答】解：⑴證明：?.?222-202=21x4,

.?.222-2（尸是“佳偶和諧式”；

（2）證明：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別為〃，〃+2,

則（“+2）2-〃2

=（n+2+〃）（〃+2-n）

=2（2〃+2）

=4（/7+1）,

二.任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差都能被4整除，這些算式都是“佳偶和諧式”；

（3）設(shè)任意兩個(gè)偶數(shù)分別為2〃，2b,

???3）2-伽）2

=(2a+2b)(2a-2b)

=4(a+b)(a-b),

???任意兩個(gè)偶數(shù)的平方差都能被4整除，他們的算式都是“佳偶和諧式”，

該命題是真命題.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是因式分解的應(yīng)用和命題與定理，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵.

題型二：函數(shù)中的新定義問題

1.(2023?益陽)在平面直角坐標(biāo)系xQv中，直線/:y=a(xI2)(4>0)與x軸交于點(diǎn)力,與拋物線

交于8,C兩點(diǎn)(8在C的左邊).

(1)求力點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若4點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為9點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)力，夕，C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求實(shí)

數(shù)”的值：

(3)定義：將平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫作格點(diǎn)，如(-2,1),(2,0)等均為格點(diǎn).如

圖2,直線/與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分(不包含邊界)中的格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，求a的取值

范圍.

【分析】(1)解方程。(工+2)=0；

(2)表示出點(diǎn)力，夕，C的坐標(biāo)，利用勾股定理解方程求解，注意直角頂點(diǎn)不確定，需分類討論；

(3)直線/與拋物線石所圍成的封閉圖形(不包含邊界)中的格點(diǎn)只能落在y軸和直線x=l上，各為13

個(gè)，分別求出”的范圍.

【解答】解：(1)令y=q(x+2)=0,得》=一2,

力點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0)；

(2)聯(lián)立直線l'.y=a(x+2)與拋物線E:y=ax2

y=a(x+2)

y=ax2

A2—x-2=0?

，x=-l或x=2,

.?"(-1,4),C(2,4A),

???B點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B,點(diǎn)，

5,(—1,—tz)?

/.AB'2=(-2+1)2+(0+a)2=a2+],

AC2=(2+2)2+(4d-O)2=16?2+]6,

BC?=(2++(4a+a)2=25/+9,

若/CAB，=90。,則彳曉+4C?=叱2,即/+i+i6/+i6=251+9,所以a=l,

若/4*C=90。，則/*2+*。2=力。2,即/+]+25/+9=16/+16,所以口=半，

若乙4。8'=90。，則4c2+3，。2=/*2,即16/+16+25/+9=/+1,此方程無解.

二.Q=1或a=.

5

(3)如圖，直線/與拋物線上所圍成的封閉圖形(小包含邊界)中的格點(diǎn)只能落在y軸和直線x=l上,

,/D(0,2a)>E(l,a),廣(1,3a),

OD=EF=2a,

?.?格點(diǎn)數(shù)恰好是26個(gè)，

落在y軸和直線x=l上的格點(diǎn)數(shù)應(yīng)各為13個(gè)，

11

落在y軸的格點(diǎn)應(yīng)滿足13<2&14,即一<47,

2

①若曰<〃<7,則即葭<羥<7,所以線段上的格點(diǎn)應(yīng)該為(1,7),(1,8)……(1,19),

/.19<3a.20

1920

—<a.—

33

1320

一<a,—

23

②若a=7,拄=7，加=21,所以線段“產(chǎn)上的格點(diǎn)正好13個(gè)，

,1320T)

綜上，一