2016年高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)Ⅰ）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)2016年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）設(shè)集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B={3，5}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查計(jì)算能力．2．（5分）設(shè)（1+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，通過(guò)復(fù)數(shù)相等的充要條件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的實(shí)部與虛部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的相等的充要條件的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力．3．（5分）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式．【專題】12：應(yīng)用題；34：方程思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】確定基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式，可得結(jié)論．【解答】解：從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，有=6種方法，紅色和紫色的花在同一花壇，有2種方法，紅色和紫色的花不在同一花壇，有4種方法，所以所求的概率為=．另解：由列舉法可得，紅、黃、白、紫記為1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），則P==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率計(jì)算與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．4．（5分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，則b=（）A． B． C．2 D．3 【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，從而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出方程，即可求解橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為：，直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則直線方程為：，橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，橢圓的離心率的求法，考查計(jì)算能力．6．（5分）將函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣） 【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】求得函數(shù)y的最小正周期，即有所對(duì)的函數(shù)式為y=2sin[2（x﹣）+]，化簡(jiǎn)整理即可得到所求函數(shù)式．【解答】解：函數(shù)y=2sin（2x+）的周期為T==π，由題意即為函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象向右平移個(gè)單位，可得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換，注意相位變換針對(duì)自變量x而言，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．7．（5分）如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）A．17π B．18π C．20π D．28π 【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】判斷三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用體積求出幾何體的半徑，然后求解幾何體的表面積．【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)球去掉后的幾何體，如圖：可得：=，R=2．它的表面積是：×4π?22+=17π．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖求解幾何體的體積與表面積，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，則（）A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb 【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換底公式，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴l(xiāng)ogca＜logcb，故B正確；∴當(dāng)a＞b＞1時(shí)，0＞logac＞logbc，故A錯(cuò)誤；ac＞bc，故C錯(cuò)誤；ca＜cb，故D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．9．（5分）函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】27：圖表型；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性，最大值及單調(diào)性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)x=±2時(shí)，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，故函數(shù)y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是單調(diào)的，故排除C，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，對(duì)于超越函數(shù)的圖象，一般采用排除法解答．10．（5分）執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的x=0，y=1，n=1，則輸出x，y的值滿足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】11：計(jì)算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量x，y的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：輸入x=0，y=1，n=1，則x=0，y=1，不滿足x2+y2≥36，故n=2，則x=，y=2，不滿足x2+y2≥36，故n=3，則x=，y=6，滿足x2+y2≥36，故y=4x，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答．11．（5分）平面α過(guò)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5G：空間角．【分析】畫出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．12．（5分）若函數(shù)f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣] 【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4C：分類法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0恒成立，設(shè)t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，對(duì)t討論，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣sin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由題意可得f′（x）≥0恒成立，即為1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，設(shè)t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，當(dāng)t=0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)0＜t≤1時(shí)，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]遞增，可得t=1時(shí)，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）遞增，可得t=﹣1時(shí)，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．綜上可得a的范圍是[﹣，]．另解：設(shè)t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由題意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范圍是[﹣，]．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13．（5分）設(shè)向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，則x=．【考點(diǎn)】9T：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題；41：向量法；49：綜合法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件便可得出，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出關(guān)于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，清楚向量坐標(biāo)的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，則tan（θ﹣）=．【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】由θ得范圍求得θ+的范圍，結(jié)合已知求得cos（θ+），再由誘導(dǎo)公式求得sin（）及cos（），進(jìn)一步由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，則，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．則tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的正切，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15．（5分）設(shè)直線y=x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2，則圓C的面積為4π．【考點(diǎn)】J8：直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5B：直線與圓．【分析】圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圓心坐標(biāo)為（0，a），半徑為，利用圓的弦長(zhǎng)公式，求出a值，進(jìn)而求出圓半徑，可得圓的面積．【解答】解：圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圓心坐標(biāo)為（0，a），半徑為，∵直線y=x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2，∴圓心（0，a）到直線y=x+2a的距離d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圓的半徑r=2．故圓的面積S=4π，故答案為：4π【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，難度中檔．16．（5分）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為216000元．【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】11：計(jì)算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結(jié)合；33：函數(shù)思想；35：轉(zhuǎn)化思想．【分析】設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，根據(jù)題干的等量關(guān)系建立不等式組以及目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃作出可行域，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出其最大值即可；【解答】解：（1）設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是x件和y件，獲利為z元．由題意，得，z=2100x+900y．不等式組表示的可行域如圖：由題意可得，解得：，A（60，100），目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y．經(jīng)過(guò)A時(shí)，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案為：216000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問題的運(yùn)用，二元一次方程組的解法的運(yùn)用，不等式組解實(shí)際問題的運(yùn)用，不定方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)求出最優(yōu)解是解題的關(guān)鍵．三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17．（12分）已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求{bn}的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【專題】11：計(jì)算題；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，結(jié)合{an}是公差為3的等差數(shù)列，可得{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（1）可得：數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得：{bn}的前n項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．當(dāng)n=1時(shí)，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{an}是公差為3的等差數(shù)列，∴an=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．即3bn+1=bn．即數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴{bn}的前n項(xiàng)和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，難度中檔．18．（12分）如圖，已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意分析可得PD⊥平面ABC，進(jìn)而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，結(jié)合兩者分析可得AB⊥平面PDE，進(jìn)而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性質(zhì)可得證明；（Ⅱ）由線面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．由棱錐的體積公式計(jì)算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵P﹣ABC為正三棱錐，且D為頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影，∴PD⊥平面ABC，則PD⊥AB，又E為D在平面PAB內(nèi)的正投影，∴DE⊥面PAB，則DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，則AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中點(diǎn)；（Ⅱ）在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．∵正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD=CG．由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面體PDEF的體積V=×DE×S△PEF=×2××2×2=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的體積計(jì)算以及線面垂直的性質(zhì)、應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析幾何體的各種位置、距離關(guān)系．19．（12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．（Ⅰ）若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；5C：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；B8：頻率分布直方圖．【專題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）若n=19，結(jié)合題意，可得y與x的分段函數(shù)解析式；（Ⅱ）由柱狀圖分別求出各組的頻率，結(jié)合“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分別求出每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件時(shí)的平均費(fèi)用，比較后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)n=19時(shí)，y==（Ⅱ）由柱狀圖知，更換的易損零件數(shù)為16個(gè)頻率為0.06，更換的易損零件數(shù)為17個(gè)頻率為0.16，更換的易損零件數(shù)為18個(gè)頻率為0.24，更換的易損零件數(shù)為19個(gè)頻率為0.24又∵更換易損零件不大于n的頻率為不小于0.5．則n≥19∴n的最小值為19件；（Ⅲ）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，所須費(fèi)用平均數(shù)為：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，所須費(fèi)用平均數(shù)為（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19臺(tái)易損零件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，頻率分布條形圖，方案選擇，難度中檔．20．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t（t≠0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px（p＞0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐標(biāo)，利用=，求；（Ⅱ）直線MH的方程為y=x+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判別式可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得P（，t），∵M(jìn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程為y=x，與拋物線方程聯(lián)立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知kMH=，∴直線MH的方程為y=x+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直線MH與C除點(diǎn)H外沒有其它公共點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確聯(lián)立方程是關(guān)鍵．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，a＜﹣時(shí)，a=﹣時(shí)，﹣＜a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），①當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增（如右上圖）；②當(dāng)a＜0時(shí)，（如右下圖）若a=﹣，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上遞增；若a＜﹣時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；在（1，ln（﹣2a））遞減；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）遞增；在（ln（﹣2a），1）遞減；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；當(dāng)x→﹣∞時(shí)f（x）＞0或找到一個(gè)x＜1使得f（x）＞0對(duì)于a＞0恒成立，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（x﹣2）ex，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=2；③當(dāng)a＜0時(shí)，若a＜﹣時(shí)，f（x）在（1，ln（﹣2a））遞減，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥﹣時(shí)，在（﹣∞，ln（﹣2a））單調(diào)增，在（1，+∞）單調(diào)增，在（1n（﹣2a），1）單調(diào)減，只有f（ln（﹣2a））等于0才有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以只有一個(gè)零點(diǎn)不符題意．綜上可得，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為（0，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-1：幾何證明選講]22．（10分）如圖，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．（Ⅰ）證明：直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD．【考點(diǎn)】N9：圓的切線的判定定理的證明．【專題】14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5M：推理和證明．【分析】（Ⅰ）設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)OK．根據(jù)等腰三角形AOB的性質(zhì)知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，則AB是圓O的切線．（Ⅱ）設(shè)圓心為T，證明OT為AB的中垂線，OT為CD的中垂線，即可證明結(jié)論．【解答】證明：（Ⅰ）設(shè)K為AB中點(diǎn)，連結(jié)OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直線AB與⊙O相切；（Ⅱ）因?yàn)镺A=2OD，所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．設(shè)T是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT為AB的中垂線，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT為CD的中垂線，∴AB∥CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，考查四點(diǎn)共圓，考查學(xué)生分析解決問題的能力．解答此題時(shí)，充分利用了等腰三角形“三合一”的性質(zhì)．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]23．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）說(shuō)明C1是哪種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線C3的極坐標(biāo)方程為