《電磁場與電磁波及其應(yīng)用》課件第二章

第二章電磁場的基本定律2.1電荷及電荷守恒定律2.2靜電場的基本規(guī)律2.3恒定磁場的基本規(guī)律2.4電磁感應(yīng)定律與位移電流2.5麥克斯韋方程組2.6電磁場的邊界條件2.7電磁場基本定律的應(yīng)用

2.1電荷及電荷守恒定律

1.1.1電荷及電荷密度

1.電荷體密度

電荷連續(xù)分布于體積V′內(nèi)，設(shè)體積元ΔV′內(nèi)的電荷量為Δq，則該體積內(nèi)任一源點處的電荷體密度為(2.1.1)式中的r′是源點的位置矢量，電荷體密度的單位為C/m3。利用電荷體密度ρ(r′)可求出體積V′內(nèi)的總電荷量(2.1.2)

2.電荷面密度

電荷連續(xù)分布于厚度可以忽略的曲面S′上，設(shè)面積元ΔS′上的電荷量為Δq，則該曲面上任一源點處的電荷面密度為(2.1.3)電荷面密度的單位為C/m2。面積S′上的總電荷量為(2.1.4)

3.電荷線密度

電荷連續(xù)分布于橫截面積可以忽略的細(xì)線l′上，設(shè)長度元Δl′上的電荷量為Δq，則該細(xì)線上任一源點處的電荷線密度為電荷線密度的單位為C/m。細(xì)線l′上的總電荷量為(2.1.6)(2.1.5)

4.點電荷

設(shè)電荷q分布在中心在坐標(biāo)原點、半徑為a的小球體ΔV內(nèi)。在r＞a的球外區(qū)域，電荷密度為0；在r＜a的球內(nèi)區(qū)域，電荷密度為很大的數(shù)值。當(dāng)a趨于0(即ΔV→0)時，電荷密度為無窮大，但對整個空間而言，電荷的總電量仍為q。

5.電荷守恒定律

實驗表明，電荷是守恒的，它既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體。也就是說，在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正、負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變，這就是電荷守恒定律。2.1.2電流及電流連續(xù)性方程

電流是由電荷做定向運動形成的，通常用電流強(qiáng)度來描述其大小。設(shè)在Δt時間內(nèi)通過某一截面S的電荷量為Δq，則通過該截面S的電流強(qiáng)度定義為(2.1.7)

1．體電流

電荷在某一體積內(nèi)定向運動所形成的電流稱為體電流。一般情況下，在導(dǎo)體內(nèi)某一截面上不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。為了描述該截面上電流的分布，引入電流密度矢量J，其定義為：空間任一點J的方向是該點上正電荷運動的方向，J的大小等于在該點與J垂直的單位面積的電流，即(2.1.8)體電流密度的單位是A/m2(安/米2)。式(2.1.8)中的en為

電流密度J的方向，也是面積元ΔS的正法線單位矢量，如圖2.1-1所示。J也稱為體電流密度矢量，它的單位是A/m2。通過任意截面S的電流則為(2.1.9)圖2.1-1體電流密度矢量圖2.1-2面電流密度矢量

2．面電流

電荷在一個厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量JS來描述其分布，如圖2.1-2所示。與電流方向垂直的橫截面厚度趨于0，面積元ΔS變?yōu)榫€元Δl，則面電流密度矢量為(2.1.10)面電流密度的單位是A/m(安/米)。式中的el為面電流方向單位矢量。通過薄導(dǎo)體層上任意有向曲線l的電流為

(2.1.11)

式中的en為薄導(dǎo)體層的法向單位矢量。

3．線電流

電荷在一個橫截面積可以忽略的細(xì)線中做定向流動所形成的電流稱為線電流，可以認(rèn)為電流是集中在細(xì)導(dǎo)線的軸線上。長度元dl中流過電流I，將Idl

稱為電流元。線電流也是電磁理論中的重要概念。

4．電流連續(xù)性方程

根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內(nèi)從閉合面S內(nèi)流出的電荷量應(yīng)等于閉合面S所限定的體積V內(nèi)的電荷減少量，即此即電流連續(xù)性方程的積分形式。設(shè)定閉合面S所限定的體積V不隨時間變化，則將全導(dǎo)數(shù)寫成偏導(dǎo)數(shù)，式(2.1.12)變?yōu)?2.1.12)(2.1.13)應(yīng)用散度定理，式(2.1.13)可寫為(2.1.14)由于閉合面S是任意取的，因此它所限定的體積V也是任意的。故由式(2.1.14)得(2.1.15)當(dāng)研究恒定電流場時，要維持電流不隨時間改變，就要求電荷在空間的分布也不隨時間改變。因此，對于恒定電流場必然有這表明從任意閉合面穿出的恒定電流為0，或恒定電流場是一個無散度的場。(2.1.16)

2.2靜電場的基本規(guī)律

庫侖定律是關(guān)于兩個點電荷之間作用力的定量描述，它以“點電荷”模型為基礎(chǔ)，是法國科學(xué)家?guī)靵鐾ㄟ^著名的“扭秤實驗”于1785年總結(jié)出來的，其數(shù)學(xué)表示式為(2.2.1)若真空中有N個點電荷q1、q2、…、qN分別位于r′1、

r′2、…、r′N，根據(jù)疊加原理，則位于r處的點電荷q受到的作用力等于其余每個點電荷對q的作用力的疊加，表示為實驗表明，任何電荷都在自己周圍空間產(chǎn)生電場，而電場對于處在其中的任何其它電荷都有作用力。如圖2.2-2所示，產(chǎn)生電場的源是點電荷q，它所在的位置稱為源點，位置矢量是r′；取試驗電荷q0，它所在的位置稱為場點，位置矢量是r。

根據(jù)庫侖定律，q0受到的作用力為(2.2.3)圖2.2-1兩個點電荷之間的作用力圖2.2-2點電荷的電場強(qiáng)度可見，此作用力F與試驗電荷q0的比值僅與產(chǎn)生電場的源電荷q以及試驗電荷所在點的位置有關(guān)，故可以用它來描述電場。因此，電場強(qiáng)度矢量的定義為(2.2.4)式中取q0→0的極限是表明試驗電荷q0應(yīng)為電量足夠小的點電荷，以使其引入不會擾動源電荷q的電場。將式(2.2.3)代入式(2.2.4)，即得到點電荷的電場強(qiáng)度(2.2.5)可見，點電荷的電場強(qiáng)度E是一個矢量函數(shù)，其大小等于單位正電荷在該點所受電場力的大小，其方向與正電荷在該點所受電場力方向一致。電場強(qiáng)度的單位是V/m(伏／米)。對于由N個點電荷產(chǎn)生的電場，由于電場強(qiáng)度與點電荷量成正比關(guān)系，場點處的電場強(qiáng)度等于各個點電荷單獨產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的矢量和，即(2.2.6)對于電荷分別以體密度、面密度和線密度連續(xù)分布的帶電體，可以將帶電體分割成很多小帶電單元，而每個帶電單元可看做一個點電荷，這樣就可由式(2.2.6)計算電場強(qiáng)度。若電荷按體密度ρ(r′)分布在體積V內(nèi)，則小體積元ΔVi′所帶電荷量Δqi=ρ(r′)ΔVi′。根據(jù)式(2.2.6)，場點r的電場強(qiáng)度為(2.2.7)同理可導(dǎo)出電荷分別按面電荷密度ρS(r′)和線電荷密度

ρl(r′)連續(xù)分布時，場點r處的電場強(qiáng)度計算公式(2.2.8)(2.2.9)這里需要特別注意場點r和源點r′的區(qū)別。圖2.2-3電偶極子例2.2.1計算電偶極子的電場強(qiáng)度。

解電偶極子是相距很小距離d的兩個等值異號的點電荷組成的電荷系統(tǒng)，如圖2.2-3所示。采用球坐標(biāo)系，使電偶極子的中心與坐標(biāo)系的原點o重合，并使電偶極子軸與

z軸重合。場點P（r，θ，j）的電場強(qiáng)度E就是+q產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E+和－q產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E－的矢量和。根據(jù)式(2.2.6)，得在電磁理論中，常常感興趣的是遠(yuǎn)離電偶極子區(qū)域內(nèi)(即R>>d)的場。此時略所有包含d/r的二次方和高次方項，則有同樣這樣，當(dāng)r>>d時，點P(r,θ,j)的電場強(qiáng)度近似為引入電偶極矩P=ezP=ezqd，則上式變?yōu)槔?.2.2計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強(qiáng)度。

解如圖2.2-4所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，電荷面密度為ρS。圖2.2-4均勻帶電的環(huán)形薄圓盤由式(2.2.8)，得由于故此結(jié)果表明，均勻帶電環(huán)形薄圓盤軸線上任一點P(0,0,z)的電場強(qiáng)度只有軸向分量，這是因為對于軸線上的場點P,

源電荷分布具有軸對稱性，所以在P點一側(cè)的每一個可以產(chǎn)生電場強(qiáng)度徑向分量的電荷元，總是在另一側(cè)有相對應(yīng)的電荷元產(chǎn)生的電場強(qiáng)度徑向分量與它相抵消，故點P處沒有電場強(qiáng)度的徑向分量。2.2.2靜電場的散度與旋度

1．靜電場的散度和高斯定理

高斯定理是靜電場的基本定理，它是平方反比定律(庫侖定律)的必然結(jié)果。將式(2.2.7)寫為式中，R=r－r′，R=|r－r′|。對式(2.2.10)兩邊取散度，得(2.2.10)(2.2.11)根據(jù)δ函數(shù)特性，有則由式(2.2.11)得因已假設(shè)電荷分布在區(qū)域V內(nèi)，故可將上式寫為(2.2.12)(2.2.13)

2.靜電場的旋度

在式(2.2.10)中，微分算符是對場點坐標(biāo)r求導(dǎo)，與源點坐標(biāo)r′無關(guān)，故可將算符從積分號中移出，即對上式兩邊取旋度，即上式右邊括號內(nèi)是一個連續(xù)標(biāo)量函數(shù)，而任何一個標(biāo)量函數(shù)的梯度再求旋度時恒等于0，故上式右邊恒為0，則得

×E=0(2.2.14)

此結(jié)果表明靜電場是無旋場。

將式(2.2.14)對任意曲面S求積分，并利用斯托克斯定理得(2.2.15)上式表明，在靜電場E中，沿任意閉合路徑C的積分恒等于0。其物理含義是將單位正電荷沿靜電場中的任一個閉合路徑移動一周，電場力不做功。2.2.3介質(zhì)的極化與電位移矢量

1.電介質(zhì)的極化

電介質(zhì)內(nèi)的電場強(qiáng)度E可視為自由電荷產(chǎn)生的外電場E0與極化電荷產(chǎn)生的附加電場E′的疊加，即

E=E0+E′

(2.2.16)

將單位體積中的電偶極矩的矢量和稱為極化強(qiáng)度，表

示為式中的pi=qidi為體積ΔV中第i個分子的平均電矩。P是一個宏觀矢量函數(shù)。若電介質(zhì)的某區(qū)域內(nèi)各點的P相同，則稱該區(qū)域是均勻極化的，否則就是非均勻極化的。對于線性和各向同性電介質(zhì)，其極化強(qiáng)度P與電介質(zhì)中的合成電場強(qiáng)度E成正比，表示為

P(r)=χeε0E(r)

(2.2.18)

式中χe稱為電介質(zhì)的電極化率，是一個正實數(shù)。

圖2.2-5(a)表示一塊極化電介質(zhì)模型，每個分子用一個電偶極子表示，它的電偶極矩等于該分子的平均電偶極矩。在均勻極化的狀態(tài)下，閉合面S內(nèi)的電偶極子的凈極化電荷為0，不會出現(xiàn)極化電荷的體密度分布。對于非均勻極化狀態(tài)，電介質(zhì)內(nèi)部的凈極化電荷就不為0。但在電介質(zhì)的表面上，無論是均勻極化，還是非均勻極化，表面上總是要出現(xiàn)面密度分布的極化電荷。圖2.2-5(a)表示電介質(zhì)左表面上有負(fù)的極化電荷，右表面上有正的極化電荷。圖2.2-5電介質(zhì)的極化模型顯然，只有電偶極子中心在ΔV內(nèi)的分子的正電荷才

穿出面積元dS。設(shè)電介質(zhì)單位體積中的分子數(shù)為N，則穿出面積元dS的正電荷為

Nqd·dS=P·dS=P·endS

(2.2.19)與之對應(yīng)，留在閉合面S內(nèi)的極化電荷量為(2.2.20)因閉合面S是任意取的，故S限定的體積V內(nèi)的極化電荷體密度應(yīng)為

ρp=－·P(2.2.21)

為了計算電介質(zhì)表面上出現(xiàn)的極化電荷面密度，可在電介質(zhì)內(nèi)緊貼表面取一個閉合面，從該閉合面穿出的極化電荷就是電介質(zhì)表面上的極化電荷。由式(2.2.19)可知，從面積元dS穿過的極化電荷量是P·endS，故電介質(zhì)表面上的極化電荷面密度為

ρSp=P·en

(2.2.22)

2．電位移矢量和電介質(zhì)中的高斯定律

電介質(zhì)在外電場作用下發(fā)生的極化現(xiàn)象歸結(jié)為電介質(zhì)內(nèi)出現(xiàn)極化電荷。電介質(zhì)內(nèi)的電場可視為自由電荷和極化電荷在真空中產(chǎn)生的電場的疊加，即E=E0+E′。將真空中的高斯定律推廣到電介質(zhì)中可得(2.2.23)即極化電荷ρp也是產(chǎn)生電場的通量源。將式(2.2.21)代入式(2.2.23)中，得

·［ε0E(r)+P(r)］=ρ

(2.2.24)

可見，矢量［ε0E(r)+P(r)］的散度僅與自由電荷體密度ρ有關(guān)。把這一矢量稱為電位移矢量，表示為

D(r)=ε0E(r)+P(r)

(2.2.25)

這樣，式(2.2.23)變?yōu)?/p>

·

D(r)=ρ

(2.2.26)

對式(2.2.26)兩端取體積分并應(yīng)用散度定理，得或(2.2.27)這就是電介質(zhì)中高斯定律的積分形式。它表明電位移矢量穿過任一閉合面的通量等于該閉合面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。

3．電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

對于所有電介質(zhì)，式(2.2.25)都是成立的。若是線性和各向同性的電介質(zhì)，將式(2.2.18)代入式(2.2.25)，得式中的ε=ε0εr稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)，單位為F/m(法拉/米)。表2.2.1列出部分電介質(zhì)的相對介電常數(shù)的近似值。這時，D和E的關(guān)系式可寫為例2.2.3半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)充滿分布不均勻的體密度電荷，設(shè)其體密度為ρ(r)。若已知電場分布為

式中的A為常數(shù)，試求電荷體密度。解由高斯定律的微分形式·D(r)=ρ(r)，得

ρ(r)=ε0

·

E(r)

對于本題所給定的E，將·

E(r)在球坐標(biāo)系中展開，得在r≤a的區(qū)域內(nèi)在r>a的區(qū)域內(nèi)體密度電荷只分布在r=a的球形區(qū)域內(nèi)，球外無電荷分布。例2.2.4半徑為a、介電常數(shù)為ε的球形電介質(zhì)內(nèi)的極化強(qiáng)度為P=er(k／r)，式中的k為常數(shù)。

(1)計算極化電荷體密度和面密度；

(2)計算電介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度。

解(1)電介質(zhì)球內(nèi)的極化電荷體密度為在r=a處的極化電荷面密度為(2)因D=ε0E+P，故即而·D=ρ，故電介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為2.3恒定磁場的基本規(guī)律

2.3.1安培力定律與磁感應(yīng)強(qiáng)度

1.安培力定律

如圖2.3-1所示，真空中的靜止細(xì)導(dǎo)線回路C1和C2分別載有恒定電流I1和I2，安培從實驗結(jié)果總結(jié)出回路C1對回路C2的作用力F12為(2.3.1)式中，μ0=4π×10－7H/m(亨利/米)為真空的磁導(dǎo)率；電流元I1dl1的位置矢量為r1，電流元I2dl2的位置矢量為r2；兩電流元之間的距離為R，表示為矢量

R=eRR=r2－r1=eR|r2－r1｜

即故式(2.3.1)可表示為可以證明載流回路C2對載流回路C1的作用力F21=－F12，即滿足牛頓力學(xué)的第三定律。

2.磁感應(yīng)強(qiáng)度

按照宏觀電磁場理論的觀點，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1的磁場對回路C2中的電流的作用力，即電流I1在其周圍產(chǎn)生磁場，這個磁場對I2的作用力為F12。

同樣，F(xiàn)21是電流I2產(chǎn)生的磁場對I1的作用力。根據(jù)這一觀點，將式(2.3.2)改寫為(2.3.3)將式中括號內(nèi)的被積函數(shù)視為電流I1在電流元I2dl2所在點產(chǎn)生的磁場，稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度，表示為這是一個矢量函數(shù)，它與回路C1的位置和形狀以及電流的大小和方向有關(guān)。將此定義應(yīng)用到任意電流回路C，回路上任一電流元Idl所在的點稱為源點，其位置矢量用r′表示；需要計算磁感應(yīng)強(qiáng)度B的點稱為場點，其位置矢量用r表示，則得回路C上的任一電流元Idl所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為(2.3.5)(2.3.6)對于體電流密度為J(r′)的體分布電流，電流元為J(r′)dV′，則分布于體積V內(nèi)的體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為同樣，對于面電流密度為JS(r′)的面分布電流，電流元為JS(r′)dS′，則分布于曲面S上的面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為(2.3.7)(2.3.8)例2.3.1計算線電流圓環(huán)軸線上任意一點的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計算方便，取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場點為P(0,0,z)，如圖2.3-2所示。圖2.3-2線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B由式(2.3.5)，得軸線上任一點P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。在圓環(huán)的中心點上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即當(dāng)場點P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時，因(z2+a2)3/2≈z3，故2.3.2恒定磁場的散度與旋度

(2.3.9)再利用矢量恒等式上式可寫為于是有(2.3.10)故得到(2.3.11)此結(jié)果表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B的散度恒為0，即磁場是一個無通量源的矢量場。利用散度定理由式(2.3.11)，得(2.3.12)

2．恒定磁場的旋度和真空中的安培環(huán)路定理

對式(2.3.10)兩端取旋度，并利用矢量恒等式得(2.3.13)上式右邊第二項可表示為(2.3.14)利用恒等式可得到

將式(2.3.15)代入式(2.3.13)右邊第一項，并應(yīng)用散度定理，得式中的S是區(qū)域V的邊界面。由于電流分布在區(qū)域V內(nèi)，在邊界面S上，電流沒有法向分量，故J(r′)·dS′=0。將式(2.3.14)和式(2.3.16)代入式(2.3.13)，得(2.3.17)此結(jié)果表明，恒定磁場是有旋場，恒定電流是產(chǎn)生恒定磁場的旋渦源。式(2.3.17)稱為真空中安培環(huán)路定理的微分形式。對式(2.3.17)兩端取面積分應(yīng)用斯托克斯定理上式為(2.3.18)2.3.3磁介質(zhì)的磁化與磁場強(qiáng)度

1.磁介質(zhì)的磁化

分子電流的磁偶極矩稱為分子磁矩。表示為

pm=iΔS

(2.3.19)

式中：i為分子電流；ΔS=enΔS為分子電流所圍的面積元矢量，其方向與i流動的方向成右手螺旋關(guān)系，如圖2.3-3所示。圖2.3-3分子電流模型不存在外磁場時，磁介質(zhì)中的各個分子磁矩的取向是雜亂無章的，其合成磁矩幾乎為0，即∑pm=0，對外不顯磁性，如圖2.3-4(a)所示。當(dāng)有外磁場作用時，分子磁矩沿外磁場取向，其合成磁矩不為0，即∑pm≠0，對外顯示磁性，這就是磁介質(zhì)的磁化，如圖2.3-4(b)所示。圖2.3-4磁介質(zhì)的磁化模型如同將電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度E看做是在真空中自由電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E0和極化電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度E′的疊加一樣，磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B也可看做是在真空中傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0和磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的疊加，即

B=B0+B′引入磁化強(qiáng)度M，用它來描述磁介質(zhì)磁化的程度。把單位體積中的分子磁矩的矢量和稱為磁化強(qiáng)度，表示為(2.3.20)式中的pmi表示體積ΔV內(nèi)第i個分子的磁矩。M是一個宏觀的矢量點函數(shù)，它的單位是A/m(安培/米)。若磁介質(zhì)的某區(qū)域內(nèi)各點的M相同，稱之為均勻磁化，否則稱為非均勻磁化。在磁介質(zhì)中任意取一個由邊界回路C限定的曲面S，使S

面的法線方向與回路C的繞行方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，如圖2.3-5(a)所示?，F(xiàn)在來計算穿過曲面S的磁化電流IM，顯然，只有那些環(huán)繞周界曲線C的分子電流才對磁化電流IM有貢獻(xiàn)。為了求得IM與M的關(guān)系，在周界曲線C上取長度元dl，其方向與分子磁矩pmi的方向成θ角。以分子電流環(huán)面積ΔS為底、

dl為斜高作一個圓柱體，如圖2.3-5(b)所示。圖2.3-5穿過面S的磁化電流IM與磁化強(qiáng)度的關(guān)系設(shè)磁介質(zhì)單位體積中的分子數(shù)為N，每個分子的磁矩為

pm=iΔS，則與長度元dl交鏈的磁化電流為穿過整個曲面S的磁化電流為(2.3.21)將磁化電流IM表示為磁化電流密度JM的積分，即(2.3.22)比較式(2.3.21)和式(2.3.22)，得(2.3.23)為了求得磁介質(zhì)表面上的磁化電流面密度，在磁介質(zhì)內(nèi)緊貼表面取一長度元dl=etdl，此處的et表示磁介質(zhì)表面的切向單位矢量。與此長度元交鏈的磁化電流為

dIM=M·dl=M·etdl

故磁化電流面密度為JSM=Mt，式中的Mt是磁化強(qiáng)度矢量M的切向分量，磁化電流面密度可表示為

JSM=M×en

(2.3.24)

2．磁場強(qiáng)度和磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理

將真空中的安培環(huán)路定理推廣到磁介質(zhì)中，得即考慮磁化電流也是產(chǎn)生磁場的漩渦源。將式(2.3.23)代入式(2.3.25)，可得(2.3.25)(2.3.26)引入包含磁化效應(yīng)的物理量——磁場強(qiáng)度H（單位為A/m（安培/米）），即令則式(2.3.26)變?yōu)?2.3.27)(2.3.28)對式(2.3.28)取面積分并應(yīng)用斯托克斯定理這是磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理的積分形式，它表明磁場強(qiáng)度沿磁介質(zhì)內(nèi)任意閉合路徑的環(huán)量等于與該閉合路徑交鏈的傳導(dǎo)電流。

3．磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

對所有的磁介質(zhì)，式(2.3.27)都是成立的。實驗表明，對于線性和各向同性磁介質(zhì)，磁化強(qiáng)度M與磁場強(qiáng)度H成正比，表示為

M=χmH

(2.3.30)

式中的χm稱為磁介質(zhì)的磁化率，是一個無量綱的常數(shù)，不同的磁介質(zhì)有不同的磁化率。將式(2.3.30)代入式(2.3.27)，得(2.3.31)此式稱為各向同性磁介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系。表2.3.2列出部分材料的相對磁導(dǎo)率的近似值。對于各向異性磁介質(zhì)，μ是張量，表示為μ。此時B和H的關(guān)系式可寫為＝(2.3.32)例2.3.2半徑r=a的球形磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度為M=ez(Az2+B)，如圖2.3-6所示。式中的A、B為常數(shù)，求磁化電流密度。圖2.3-6球形磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度解磁化電流體密度為r=a處的磁化電流面密度為

JSM=M×en|r=a式中的en=er。例2.3.3內(nèi)、外半徑分別為ρ內(nèi)=a和ρ外=a的圓筒形磁介質(zhì)中，沿軸向有電流密度為J=ezJ0的傳導(dǎo)電流，如圖2.3-7所示。設(shè)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ，求磁化電流分布。

解設(shè)圓筒形磁介質(zhì)為無限長，則其磁場分布具有軸對稱性，可利用安培環(huán)路定理求各個區(qū)域內(nèi)由傳導(dǎo)電流J產(chǎn)生的磁場分布。在ρ<a的區(qū)域，根據(jù)式(2.3.29)，得

2πρH1j=0

故

H1=0，B1=0

在a<ρ<b的區(qū)域，得

2πρH2j=J0π(ρ2－a2)

故磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度在磁介質(zhì)圓筒內(nèi)表面ρ=a上，在磁介質(zhì)圓筒外表面ρ=b上，

2.4電磁感應(yīng)定律與位移電流

2.4.1電磁感應(yīng)定律

若規(guī)定回路中感應(yīng)電動勢的參考方向與穿過該回路所圍面積的磁通量ψ符合右手螺旋關(guān)系，如圖2.4-1所示，則感應(yīng)電動勢為(2.4.1)導(dǎo)體內(nèi)存在感應(yīng)電流表明導(dǎo)體內(nèi)必然存在感應(yīng)電場Ein，因此，感應(yīng)電動勢可以表示為感應(yīng)電場的積分，即這樣，式(2.4.1)可表示為故有(2.4.3)這就是推廣了的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。從這個式子可以看出，穿過回路所圍面積的磁通變化是產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的唯一條件。磁通變化可以是磁場隨時間變化而引起，也可以是由于回路移動而引起，或者是兩者皆存在所引起的。（1）如果回路是靜止的，則穿過回路的磁通變化只能是由磁場隨時間變化引起。此時，式(2.4.3)右端對時間求導(dǎo)只適于時變磁場B，即得(2.4.4)這是靜止回路位于時變磁場中時，法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。利用斯托克斯定理，上式可表示為

上式對任意回路所圍面積S都成立，故必有(2.4.5)（2）設(shè)導(dǎo)體棒是閉合回路C的一部分，則因回路運動所引起的感應(yīng)電動勢為(2.4.6)（3）當(dāng)導(dǎo)體在時變磁場中運動時，可視為上述兩種情況的合成，故得這是法拉第電磁感應(yīng)定律積分形式的一般形式。利用斯托克斯定理可導(dǎo)出相對應(yīng)的微分形式為例2.4.1長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場B垂直穿過，如圖2.4-2所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動勢。

(1)B=ezB0cosωt，矩形回路a×b靜止；

(2)B=ezB0，矩形回路的寬邊b為常數(shù)，但其長邊因可滑動導(dǎo)體L以勻速v=exv運動而隨時間增大；

(3)B=ezB0cosωt，且矩形回路上的可滑動導(dǎo)體L以勻速v=exv運動。圖2.4-2矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動勢解(1)均勻磁場B隨時間做簡諧變化，而回路靜止，

因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢是由磁場變化產(chǎn)生的。根據(jù)式(2.4.4)，得

(2)均勻磁場B為靜態(tài)場，而回路上的可滑動導(dǎo)體以勻速運動，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢全部是由導(dǎo)體L在磁場中運動產(chǎn)生的。根據(jù)式(2.4.6)，得也可由式(2.4.3)計算

(3)矩形回路中的感應(yīng)電動勢是由磁場變化以及可滑動導(dǎo)體L在磁場中運動產(chǎn)生的，根據(jù)式(2.4.7)，得例2.4.2有一個a×b的矩形線圈放置在時變磁場B=eyB0sinωt中，初始時刻，線圈平面的法向單位矢量en與ey成α角，如圖2.4-3所示。試求：

(1)線圈靜止時的感應(yīng)電動勢；

(2)線圈以角速度ω繞x軸旋轉(zhuǎn)時的感應(yīng)電動勢。圖2.4-3時變磁場中的矩形線圈解(1)線圈靜止時，感應(yīng)電動勢是由時變磁場引起的，用式(2.4.4)計算。

(2)線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時，en的指向?qū)㈦S時間變化。線圈內(nèi)

的感應(yīng)電動勢可以用兩種方法計算。

方法一：利用式(2.4.3)計算。假定t=0時α=0，則在時刻t時，en與y軸的夾角α=ωt。故方法二：利用式(2.4.7)計算。上式右端第一項與(1)相同，第二項故2.4.2位移電流

前面討論恒定磁場時得到的安培環(huán)路定理的微分形式,即

×H=J

對上式兩端同時取散度，即

·(

×H)=

·J用一個電容器與時變電壓源相連接的電路來說明這種矛

盾現(xiàn)象，如圖2.4-4所示。這時，電路中有時變的傳導(dǎo)電流i(t)，相應(yīng)地建立時變磁場。同一個磁場強(qiáng)度矢量H在同一個閉合路徑C上的環(huán)量得到相矛盾的結(jié)果，這說明從靜磁場中得到的安培環(huán)路定理對時變場是不適用的。圖2.4-4連接在時變電壓源上的電容器為考察位移電流，假定靜電場中的高斯定律·D=ρ對時變場仍然成立，將其代入電荷守恒定律，得即(2.4.9)對上式兩端取散度，得(2.4.10)(2.4.11)例2.4.3海水的電導(dǎo)率σ=4S／m，相對介電常數(shù)εr=81。求頻率f=1MHz時，海水中的位移電流與傳導(dǎo)電流的振幅之比。

解設(shè)電場隨時間按正弦規(guī)律變化，即

E=exEmcosωt=exEmcos(2π×1×106t)V/m

故位移電流密度為而傳導(dǎo)電流密度為

J=σE=ex4Emcos(2π×106t)

則例2.4.4自由空間的磁場強(qiáng)度為H=exHmcos(ωt－kz)A/m，式中的k為常數(shù)。試求位移電流密度和電場強(qiáng)度。

解自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式(2.4.11)，得而例2.4.5銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m，相對介電常數(shù)εr=1。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為J=exJmcosωtA/m2。試證明在無線電頻率范圍內(nèi)銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。

解銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為

Jdm=ωεrε0Em

而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為Jm=σEm，故

2.5麥克斯韋方程組

2.5.1麥克斯韋方程組的積分形式

麥克斯韋第一方程(2.5.1)其含義是磁場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的傳導(dǎo)電流與位移電流之和。麥克斯韋第二方程(2.5.2)其含義是電場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量，等于穿過以該閉合曲線為周界的任一曲面的磁通量變化率的負(fù)值，即法拉第電磁感應(yīng)定律。麥克斯韋第三方程(2.5.3)其含義是穿過任意閉合曲面的磁感應(yīng)強(qiáng)度的通量恒等于0，物理意義是磁力線閉合。麥克斯韋第四方程其含義是穿過任意閉合曲面的電位移的通量等于該閉合面所包圍的自由電荷的代數(shù)和，即高斯定律。2.5.2麥克斯韋方程組的微分形式

麥克斯韋方程組的微分形式(又稱為點函數(shù)形式)描述的是空間任意一點場的變化規(guī)律。按前述順序依次為(2.5.5)(2.5.6)(2.5.7)(2.5.8)式(2.5.5)表明，時變磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也由位移電流產(chǎn)生。位移電流代表電位移的變化率，因此該式揭示的是時變電場產(chǎn)生時變磁場。

式(2.5.6)表明，時變磁場產(chǎn)生時變電場。

式(2.5.7)表明，磁通永遠(yuǎn)是連續(xù)的，磁場是無散度場。式(2.5.8)表明，空間任意一點若存在正電荷體密度，則該點發(fā)出電位移線；若存在負(fù)電荷體密度，則電位移線匯聚于該點。2.5.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

當(dāng)有媒質(zhì)存在時，式(2.5.5)～式(2.5.8)尚不夠完備，因此需補(bǔ)充描述媒質(zhì)特性的方程。對于線性和各向同性的媒質(zhì)，這些方程是

D=εE

(2.5.9)

B=μH

(2.5.10)

J=σE

(2.5.11)

稱為媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系，也稱為電磁場的輔助方程。式(2.5.11)就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)σ稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m(西門子/米)。電導(dǎo)率σ的值與媒質(zhì)構(gòu)成有關(guān)，表2.5.1列出部分材料的電導(dǎo)率。歐姆定律

是對某些材料電特性的表述，滿足式(2.5.11)的材料稱為歐姆材料。將式(2.5.9)～式(2.5.11)代入式(2.5.5)～式(2.5.8)，可得到用場矢量E、H表示的方程組：(2.5.12)(2.5.13)(2.5.14)(2.5.15)例2.5.1正弦交流電壓源u=Umsinωt連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖2.5-1所示。

(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；

(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r處的磁場強(qiáng)度。圖2.5-1平行板電容器與交流電壓源相接解(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為極板間的位移電流為

(2)以r為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故方程(2.5.1)的左邊為與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流iC=CωUmcosωt，故由方程(2.5.1)，得即例2.5.2在無源(J=0、ρ=0)的電介質(zhì)(σ=0)中，若已知矢量

E=exEmcos(ωt－kz)V/m

式中的Em為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。在什么條件下，E才可能是電磁場的電場強(qiáng)度矢量?求出與E相應(yīng)的其它場矢量。解只有滿足麥克斯韋方程組的矢量才可能是電磁場的場矢量。因此，利用麥克斯韋方程組確定E可能是電磁場的電場強(qiáng)度矢量的條件。

由式(2.5.6)，得對上式積分，得由B=μH，得由D=εE，得以上各個場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將得到的H和D代入式(2.5.5)，有而故

k2=ω2με

即將D代入式(2.5.8)并注意到ρ=0，得將B代入式(2.5.7)，得

2.6電磁場的邊界條件

1.磁場強(qiáng)度H的邊界條件

兩種媒質(zhì)的參數(shù)分別為ε1、μ1、σ1和ε2、μ2、σ2，設(shè)分界面的法向單位矢量為en(設(shè)定它為離開分界面指向媒

質(zhì)1)，et是沿分界面的切向單位矢量，如圖2.6-1所示。圖2.6-1H的邊界條件在分界面上取矩形閉合回路abcda，其寬邊ab=cd=

Δl，高bc=da=Δh→0，線段ab、cd平行于分界面。將積分形式的麥克斯韋第一方程(即式(2.5.1))應(yīng)用于矩形回路，得當(dāng)bc=da=Δh→0時，上式變?yōu)?2.6.1)式(2.6.1)變?yōu)槎鴈t=ep×en，故上式可表示為利用矢量恒等式A·(B×C)=B·(C×A)=C·(A×B),上式變?yōu)楣实?/p>

en×(H1－H2)=JS(2.6.2)可將上式寫為標(biāo)量形式

H1t－H2t=JS(2.6.3)當(dāng)兩種媒質(zhì)的電導(dǎo)率為有限值時，分界面上不可能存在面電流分布(即JS=0)，此時，H的切向分量是連續(xù)的，即

en×(H1－H2)=0

或

H1t－H2t=0(2.6.4)

2．電場強(qiáng)度E的邊界條件

將積分形式的麥克斯韋第二方程，即式(2.5.2)應(yīng)用到圖2.6-1所示的矩形閉合路徑abcda，當(dāng)Δh→0時，即故得式(2.6.5)也可表示為矢量叉乘的形式:

en×(E1－E2)=0(2.6.6)

3．磁感應(yīng)強(qiáng)度B的邊界條件

將積分形式的麥克斯韋第三方程(即式(2.5.3))應(yīng)用于圓柱形閉合面，得故得

4．電位移矢量D的邊界條件

將積分形式的麥克斯韋第四方程(即式(2.5.4))應(yīng)用到圖

2.6-2所示的扁圓柱形閉合面，則得即故圖2.6-2B的邊界條件

5．理想導(dǎo)體表面上的邊界條件

設(shè)媒質(zhì)1為理想介質(zhì)，媒質(zhì)2為理想導(dǎo)體。理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(否則將出現(xiàn)一個無限大的電流密度，因此E2=0)，理想導(dǎo)體所帶的電荷只分布于導(dǎo)體表面。再根據(jù)麥克斯韋方程組所描述的E、D與B、H間的關(guān)系，可知理想導(dǎo)體內(nèi)部D2=0，B2=0，H2=0。理想導(dǎo)體表面上的邊界條件為(2.6.9)(2.6.10)(2.6.11)(2.6.12)

6．理想介質(zhì)表面上的邊界條件

設(shè)媒質(zhì)1和媒質(zhì)2是兩種不同的理想介質(zhì)，它們的分界面上不可能存在自由面電荷(ρS=0)和面電流(JS=0)。因此，分界面上的邊界條件為(2.6.13)(2.6.14)(2.6.15)(2.6.16)利用E1t=E2t和D1n=D2n，即ε1E1n=ε2E2n，得即這是電場矢量(E、D)穿過不存在自由電荷的分界面時，方向發(fā)生變化與電介質(zhì)參數(shù)的關(guān)系。同樣，利用H1t=H2t和B1n=B2n，即μ1H1n=μ2H2n，得

(2.6.18)

這是磁場矢量(B、H)穿過不存在面電流的分界面時，方向發(fā)生變化與磁介質(zhì)參數(shù)的關(guān)系。電磁場的基本方程和邊界條件列入表2.6.1。例2.6.1z<0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為ε1=ε0，μ1=μ0，

σ1=0；z>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為ε2=5ε0，μ2=20μ0，σ2=0。若媒質(zhì)1中的電場強(qiáng)度為

E1(z,t)=ex［60cos(15×108t－5z)+20cos(15×10