2024-2025學(xué)年新疆維吾爾自治區(qū)塔城地區(qū)高三上冊10月期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年自治區(qū)塔城地區(qū)高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合，邏輯用語，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，平面向量，復(fù)數(shù)，數(shù)列.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】解不等式求得集合，再由對數(shù)函數(shù)定義可得集合，即可求得結(jié)果.解不等式可得，由對數(shù)函數(shù)定義域可得,所以可得.故選：C2.關(guān)于x的不等式的解集是，那么（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達(dá)定理求出，再代入計(jì)算即得.依題意，，解得，所以.故選：A3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).，，，所以．故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由可知為鈍角，從而，，，于是先計(jì)算，再開方即可．，，，而，，為鈍角，，，．故選：C．5.已知等比數(shù)列的公比不為1，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為（）A. B.2 C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求公比.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，且，由，，成等差數(shù)列，得，整理得，則.故選：A6.已知平面向量均為非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及共線向量的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.，則，整理得，而向量均為非零向量，則反向共線且，有；反之，若，可能同向共線，也可能反向共線，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B7.已知的周長為2，面積為S，則（）A.S的最小值為 B.S的最小值為C.S的最大值為 D.S的最大值為【正確答案】D【分析】利用基本不等式，結(jié)合直角三角形的面積公式，即可求解.設(shè)為的直角邊，c為斜邊，則，可得，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得或，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即S的最大值為.故選：D.8.已知函數(shù)滿足，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】結(jié)合題意，令可得，進(jìn)而利用累加法及等比數(shù)列的前和公式求解即可.由，，令，得，則，則，將以上各式相加得，所以.故選：D.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于賦值，得到，進(jìn)而利用累加法及等比數(shù)列的前和公式求解即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.的虛部為8D.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【正確答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法求出，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.依題意，，對于A，，A正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，的虛部為8，C正確；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，D正確.故選：ACD10.如圖，在等腰梯形中，E為腰的中點(diǎn)，，，N是梯形內(nèi)（包含邊界）任意一點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，則（）A. B.C.的最小值為0 D.的最大值為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線推論、數(shù)量積運(yùn)算及幾何意義等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.，A正確；設(shè)，則，因?yàn)锳，O，C三點(diǎn)共線，所以，解得，B正確；由，，可得，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，易知當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)B時(shí)，取得最小值，最小值為，C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)N為位于點(diǎn)C時(shí)，取得最大值，最大值為，D正確．故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.的最大值為B.的最小正周期為C.曲線關(guān)于直線軸對稱D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)【正確答案】BC【分析】化簡函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期性與對稱性可判斷各選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可解得，數(shù)形結(jié)合即可得解.，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，的最小正周期均為，所以的最小正周期為，B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以曲線y=fx關(guān)于直線軸對稱，C選項(xiàng)正確；令，得，則，結(jié)合函數(shù)的圖象，可知方程在上有個(gè)不同的實(shí)根，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知命題“，”是假命題，則的取值范圍是________．【正確答案】【分析】先寫出命題“，”的否定，由題可知其為真命題，然后利用的范圍求得的范圍即可.由題意得“，”是真命題，故，因?yàn)?，所以m的取值范圍是．故13.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為________.【正確答案】##0.5【分析】由題意得，問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在上單調(diào)遞增，接著由正弦函數(shù)性質(zhì)可得，解該不等式組即可得解.因?yàn)?，所以，又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，所以由正弦函數(shù)性質(zhì)得，解得，則的最大值為.故答案為.14.若直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為__________.【正確答案】【分析】令，分析可知函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，且，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.解：令，由題意可知，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)，且，且，令，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，分以下幾種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對任意的，且不恒為零，此時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，則函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；（2）當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由（1）知，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，存在，使得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上至多個(gè)零點(diǎn)，從而可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上至多個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；（3）當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，存在，使得，且?dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，存在，使得，此時(shí)，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，令，，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，所以，存在，使得，可得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故當(dāng)時(shí)，，即，即存在，使得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，，且，因?yàn)?，所以，存在，使得，此時(shí)，函數(shù)在上也存在唯一零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有且只有個(gè)零點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換分析求解；（2）根據(jù)題意利用余弦定理解得，，即可求.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，且，則，可得，即，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，即，由余弦定理可得，即，整理可得，，所?16.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列定義推理得證，再求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即得.【小問1詳解】由，，得，則，于是，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.【正確答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式即可；（2求導(dǎo)后，分類討論即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.【小問2詳解】.①當(dāng)時(shí)，由，得或.若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若，則，為R上的增函數(shù).若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，由，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.18.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，，.（1）求an（2）若求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和；（3）若存在正整數(shù)n，使得成立，求m的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）；（3）12【分析】（1）由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)求公比和首項(xiàng)，進(jìn)而寫出等比數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）討論n的奇偶性，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求；（3）等比數(shù)列前n項(xiàng)和得，且能成立，討論n的奇偶性，結(jié)合的單調(diào)性求參數(shù)范圍.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則，由，解得，所以.【小問2詳解】由（1），得，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令，則，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.所以【小問3詳解】由（1），知，存在正整數(shù)n，使得成立.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，Sn+1=由，得.因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以的最大值為，所以.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn=2由，得.因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以的最大值為，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以的最小值為，所以.綜上，m的取值范圍是1219.定義：對于函數(shù)，若，則稱“”為三角形函數(shù).（1）已知函數(shù)，若為二次函數(shù)，且，寫出一個(gè)，使得“”為三角形函數(shù)；（2）已知函數(shù)，若“”為三角形函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)，證明：“”為三角形函數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）由定義中的任意性，將條件不等式轉(zhuǎn)化為.求，構(gòu)造二次函數(shù)，使即可；（2）按與的大小分類討論，求解函數(shù)的值域，再結(jié)合定義建立關(guān)于的不等式求解可得；（3）利用（1）結(jié)論得，轉(zhuǎn)化命題證明，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)出隱零點(diǎn)探求零點(diǎn)范圍，證明即，將零點(diǎn)滿足關(guān)系式代回化簡換元，再構(gòu)造新函數(shù)，證明即可.【小問1詳解】由，，得，令，解得.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，且，所以的對稱軸為，設(shè)，要使“”為三角形函數(shù)，只要，取，則，，滿足，則，即成立.故若，取，可使得“”為三角形函數(shù).（答案不唯一，參考函數(shù)，寫出任意一個(gè)滿足題意的都可以）【小問2詳解】，①當(dāng)時(shí)，，則任意，故“”為三角形函數(shù).②當(dāng)時(shí)，由，則，；要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；③當(dāng)時(shí)，則，要使“”為三角形函數(shù)，由，解得，則有，所以；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.小問3詳解】，.由（1）知，，則任意，；下面證明.由，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.又，由參考數(shù)據(jù)可知，，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即().所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故，由