2024-2025學(xué)年重慶市高三上冊第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高三上學(xué)期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則下面結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系可得B、C錯(cuò)誤，再根據(jù)為無理數(shù)可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楸硎驹?，表示集合，故B、C錯(cuò)誤.因?yàn)椴皇亲匀粩?shù)，所以，且不成立，故A也錯(cuò)誤，D正確，故選：D.本題考查元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系的判斷，一般地，集合與集合之間用包含或不包含，2.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“任意正整數(shù)，均有”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系，利用作差法，可判斷充分性，取特殊例子，可判斷必要性，即得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，∴，即數(shù)列是遞增數(shù)列，所以“對任意正整數(shù)n，均有”是“為遞增數(shù)列”的充分條件；取數(shù)列an為，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，但是不一定大于零，所以“對任意正整數(shù)n，均有”不是“為遞增數(shù)列”的必要條件，因此“對任意正整數(shù)n，均有”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.3.已知向量，，，若點(diǎn)，，能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)不可以是（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】求與，使之共線并求出的值，即可得解．【詳解】因?yàn)?，．假設(shè)三點(diǎn)共線，則，即．所以只要，則三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.故選：C4.已知，則的值是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】將代數(shù)式中的角用表示，利用誘導(dǎo)公式即可求出所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：D.本題考查利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，解題時(shí)要將角利用已知角加以表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出切線方程，再對分和討論即可.【詳解】由得，所以切線方程是，①若，則曲線為，顯然切線與該曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②若，則，即，由，即，得或，綜上:或或.故選：B.6.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題，且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題,且每組只研究一個(gè)課題只需每個(gè)課題依次選三個(gè)人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.7.血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9【正確答案】B【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時(shí)間t的方程，解之即可求得給氧時(shí)間至少還需要的小時(shí)數(shù).【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)，由題意可得，，兩邊同時(shí)取自然對數(shù)并整理，得，，則，則給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)故選：B8.若的內(nèi)角滿足，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.A的最小值為 D.的最小值為【正確答案】A【分析】利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理有：，結(jié)合余弦定理可得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，最小值是12，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減得，的最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，下列說法正確的是（）A.2，n，10成等差數(shù)列B.各項(xiàng)系數(shù)之和為64C.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)D.展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)【正確答案】ABD【分析】先根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和求出n的值，再令可求系數(shù)和，根據(jù)展開式的總項(xiàng)數(shù)可得二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)，利用展開式的通項(xiàng)公式求第5項(xiàng).【詳解】由的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，得，得2，6，10成等差數(shù)列，A正確；令，，則的各項(xiàng)系數(shù)之和為64，B正確；的展開式共有7項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，C不正確；展開式中的第5項(xiàng)為為常數(shù)項(xiàng)，D正確.故選:ABD10.甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為，則下列說法正確的是（）A.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重是B.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重是C.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的方差是296D.甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的方差是306【正確答案】AC【分析】依題意利用各樣本平均數(shù)和方差與總體平均數(shù)和方差的關(guān)系式，代入公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重分別為；又甲隊(duì)體重的平均數(shù)為，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為，所以甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重是，即可得A正確，B錯(cuò)誤；乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的方差是，可知C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC11.設(shè)函數(shù)，則（）A.最大值為 B.C.曲線存在對稱軸 D.曲線存在對稱中心【正確答案】ABC【分析】函數(shù)，對于A：分別求出分子分母的范圍，即可求出的最大值；對于B：借助于，判斷出；對于C：分析出和的對稱軸即可對于D：利用對稱中心的定義進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】作出的圖像，如圖示：對于A：∵分子，分母，∴，故A正確；對于B：考慮，故B正確；對于C：∵是的對稱軸，也是的對稱軸，∴是的對稱軸，故C正確；對于D：∵不可能為常數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC（1）多項(xiàng)選擇題是2020年高考新題型，需要要對選項(xiàng)一一驗(yàn)證；（2）對于非基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值等性質(zhì)，利用定義法進(jìn)行分析.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是___________.【正確答案】【分析】先化簡求得再計(jì)算實(shí)部和虛部的和即可.【詳解】，故實(shí)部和虛部之和為.故13.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】只需函數(shù)的極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，再利用為定義域的真子集即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)的定義域是，所以，即.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，由，可得若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則，解之可得，又因?yàn)?，所?故答案為.14.已知平面向量，，滿足，，，則______，若，則的最大值為______.【正確答案】①.②.【分析】空1，利用向量的數(shù)量積的定義求解即可；空2，先建立平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)，則點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合三角函數(shù)范圍得出，即可求解.【詳解】空1，因?yàn)?，，，所以；?，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，由題知，則，故可設(shè)，，設(shè)，則，即點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，令，故，所以的最大值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于建立坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而三角代換利用輔助角公式求得最大值.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為12，等比數(shù)列的前三項(xiàng)和為，且，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其中，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量，根據(jù)題意得到關(guān)于基本量的方程組進(jìn)行求解；（2）利用分組法和等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為、公差為，等差數(shù)列的首項(xiàng)為、公比為，由題意，得，解得，，，，所以，；【小問2詳解】解：由題知的前20項(xiàng)和，即.16.已知（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，①求的取值范圍；②求的值.【正確答案】（1）（2）①或②【分析】（1）根據(jù)降冪公式，二倍角的正弦公式，輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）①利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可；②根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得：當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】①令，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以要使在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍為或；②設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)（即），由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，即，所以.17.隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人駕駛已經(jīng)逐漸成為一項(xiàng)成年人的基本技能.某免費(fèi)“駕考App”軟件是駕校學(xué)員的熱門學(xué)習(xí)工具，該軟件設(shè)置每天最多為一個(gè)學(xué)員提供5次模擬考試機(jī)會(huì).學(xué)員小張經(jīng)過理論學(xué)習(xí)后，準(zhǔn)備利用該App進(jìn)行模擬考試，若他每次的通過率均為，且計(jì)劃當(dāng)出現(xiàn)第一次通過后，當(dāng)天就不再進(jìn)行模擬考試，否則直到利用完該軟件當(dāng)天給的所有模擬考試機(jī)會(huì)為止.（1）求學(xué)員小張最多利用兩次機(jī)會(huì)就通過模擬考試的概率；（2）若學(xué)員小張每次模擬考試用10分鐘，求他一天內(nèi)模擬考試花費(fèi)的時(shí)間X的期望.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）借助獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式計(jì)算即可得；（2）求出一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)的所有可能取值，計(jì)算相應(yīng)概率，代入數(shù)學(xué)期望公式求解的期望，借助期望的性質(zhì)求得模擬考試花費(fèi)時(shí)間X的期望即可.【小問1詳解】設(shè)學(xué)員小張恰第i次通過模擬考試的概率為，則，，所以，學(xué)員小張最多利用兩次機(jī)會(huì)就通過模擬考試概率為.【小問2詳解】設(shè)表示一天內(nèi)模擬考試的次數(shù)，則，由題意知：，，，，，所以，因?yàn)椋?，所以小張一天?nèi)模擬考試花費(fèi)的時(shí)間X的期望為分鐘.18.2023年8月27日，哈爾濱馬拉松在哈爾濱音樂公園音樂長廊鳴槍開跑，比賽某補(bǔ)給站平面設(shè)計(jì)圖如圖所示，根據(jù)需要，在設(shè)計(jì)時(shí)要求，，（1）若，，求的值；（2）若，四邊形ABCD面積為4，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）中求出BD，在中，由正弦定理求出，根據(jù)即可求；（2）在、中，分別由余弦定理求出，兩式相減可得與的關(guān)系式；又由的與的關(guān)系式；兩個(gè)關(guān)系式平方后相加即可求出﹒【小問1詳解】在中，∵，則∴．在中，由正弦定理得，，∴．由，得，∴，∴．【小問2詳解】在、中，由余弦定理得，，，從而①，由得，②，得，，即，∴．19.已知函數(shù)（其中，）.（1）當(dāng)，，記的導(dǎo)函數(shù)為，證明：恒成立；（2）指出的對稱中心，并說明理由；（3）已知，設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求的最小值.【正確答案】（1）證明見解析（2）y=f(x)的對稱中心為，理由如解析（3）【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷導(dǎo)數(shù)值為正即可.（2）利用對稱中心的定義，計(jì)算推理即得.（3）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，再按分類討論并求出函數(shù)的最小值，建立不等式