四川省達(dá)州市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

四川省達(dá)州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.2.平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.9 C. D.73.已知二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B.4 C. D.24.為弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測(cè)試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A. B. C. D.5.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，，則（）A. B.5 C. D.20246.高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達(dá)到殺死病毒的效果，某科研團(tuán)隊(duì)打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬個(gè)）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為14℃時(shí)，病毒數(shù)量為（）參考公式：，A.12 B.10 C.9 D.117.設(shè)，則關(guān)于的不等式有解的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.或 C. D.8.體積為4長(zhǎng)方體中，則該長(zhǎng)方體的最小外接球表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為1 B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限 D.10.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D.一個(gè)周期為11.下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（）A.取得最大值時(shí)的值為B.若，則最大值為C.函數(shù)的最小值為D.若，，且，那么的最小值為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案直接填在答題卡上）12.已知函數(shù)的零點(diǎn)為和1，則__________．13.口袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，用X表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望______.14.，，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．）15.如圖，正方體中，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．16.已知等差數(shù)列an的公差，且滿足，.（1）求數(shù)列an（2）記，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.17.“十四五”時(shí)期，成都基于歷史文化底蘊(yùn)、獨(dú)特資源稟賦、生活城市特質(zhì)和市民美好生活需要，高水平推進(jìn)“三城三都”（世界文創(chuàng)名城、旅游名城、賽事名城和國際美食之都、音樂之都、會(huì)展之都）建設(shè).2023年，成都大運(yùn)會(huì)的成功舉辦讓賽事名城的形象深入人心，讓世界看到成都的專業(yè)、活力和對(duì)體育的熱愛；2024年，相約去鳳凰山體育場(chǎng)觀看成都蓉城隊(duì)的比賽已經(jīng)成為成都人最時(shí)尚的生活方式之一．已知足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分．成都蓉城隊(duì)2024年七月還將迎來主場(chǎng)與隊(duì)和客場(chǎng)與隊(duì)的兩場(chǎng)比賽．根據(jù)前期比賽成績(jī)，設(shè)成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場(chǎng)與B隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與B隊(duì)比賽獲得積分概率；（2）用表示成都蓉城隊(duì)七月與隊(duì)和B隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．18.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意，都滿足，且.當(dāng)時(shí)，，且.（1）求，的值；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；（3）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍；（3）若數(shù)列滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．證明：．四川省達(dá)州市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由二次根式有意義的條件化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的概念即可得解.【詳解】集合，集合，則集合.故選：D.2.平面向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.9 C. D.7【正確答案】B【分析】由向量的數(shù)量積公式結(jié)合向量垂直公式得參數(shù).【詳解】由，可知，，即，故選：B3.已知二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B.4 C. D.2【正確答案】C【分析】由二項(xiàng)式定理可列方程求解參數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中的系數(shù)是，所以，解得.故選：C.4.為弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對(duì)全市所有中小學(xué)生進(jìn)行了“成語”聽寫測(cè)試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布．試根據(jù)正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)估計(jì)測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為（）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】依題意，所以測(cè)試成績(jī)不小于90的學(xué)生所占的百分比為.故選：A.5.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，，則（）A. B.5 C. D.2024【正確答案】A【分析】根據(jù)周期性和奇偶性求解即可．【詳解】由得，，又因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù)且，所以，故選：A．6.高溫可以使病毒中的蛋白質(zhì)失去活性，從而達(dá)到殺死病毒的效果，某科研團(tuán)隊(duì)打算構(gòu)建病毒的成活率與溫度的某種數(shù)學(xué)模型，通過實(shí)驗(yàn)得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度x（℃）6810病毒數(shù)量y（萬個(gè)）302220由上表中的數(shù)據(jù)求得回歸方程為，可以預(yù)測(cè)當(dāng)溫度為14℃時(shí)，病毒數(shù)量為（）參考公式：，A.12 B.10 C.9 D.11【正確答案】C分析】設(shè)回歸方程，利用表中數(shù)據(jù)，根據(jù)最小二乘原理求得系數(shù)，即得方程，再用方程代入溫度預(yù)測(cè)病毒數(shù)量即可.【詳解】y關(guān)于x的線性回歸方程為，直線過樣本中心點(diǎn)由表格數(shù)據(jù)得，，，，故根據(jù)最小二乘原理知，所以，即線性回歸方程為；將代入方程，得，即可預(yù)測(cè)病毒數(shù)量為.故選：C7.設(shè)，則關(guān)于的不等式有解的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.或 C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的判別式求解“關(guān)于的不等式有解”的充要條件，再分析必要不充分條件即可.【詳解】有解，即對(duì)于方程的，則；可知D選項(xiàng)為一個(gè)必要不充分條件.故選:D.8.體積為4的長(zhǎng)方體中，則該長(zhǎng)方體的最小外接球表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球直徑公式結(jié)合基本不等式即可得出最小值.【詳解】設(shè)又因?yàn)轶w積為4，得出,長(zhǎng)方體的外接球直徑為則長(zhǎng)方體的最小外接球表面積為.故選：B.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．）9.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為1 B.C.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限 D.【正確答案】AC【分析】首先求出，然后根據(jù)虛部的概念、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的乘方逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，它的虛部為1，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（

）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D.的一個(gè)周期為【正確答案】ACD【分析】由奇函數(shù)可得，再根據(jù)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性分別判斷.【詳解】對(duì)于A，由定義域?yàn)榍液瘮?shù)為奇函數(shù)，可得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，由，可得，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，由以及奇函數(shù)性質(zhì)可知，可得，即可得，即C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，根據(jù)C中的結(jié)論可知，即可得，函數(shù)的一個(gè)周期為，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11.下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的結(jié)論有（）A.取得最大值時(shí)的值為B.若，則的最大值為C.函數(shù)的最小值為D.若，，且，那么的最小值為【正確答案】ABC【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用基本不等式判斷B、C、D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以取得最大值時(shí)的值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，若，，，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，則，則的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，解得，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，且，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案直接填在答題卡上）12.已知函數(shù)零點(diǎn)為和1，則__________．【正確答案】4【分析】根據(jù)分段函數(shù)函數(shù)值求參計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?所以.所以所以.故4.13.口袋中裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)白球，從中任取兩個(gè)球，用X表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望______.【正確答案】##【分析】由題意知X的可能取值，計(jì)算所求的概率值，寫出X的概率分布，求出數(shù)學(xué)期望值.【詳解】從袋中1次隨機(jī)摸出2個(gè)球，記白球的個(gè)數(shù)為X，則X的可能取值是0，1，2；則，，，隨機(jī)變量X的概率分布為；X012P所以數(shù)學(xué)期望.故答案為.14.，，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______.【正確答案】【分析】把不等式成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0在0,m內(nèi)恒成立，進(jìn)而即可求解.【詳解】不妨，由題意分式轉(zhuǎn)化為，則，即，故函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋獾?，，單調(diào)遞增，所以.故.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟．）15.如圖，正方體中，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）連接，設(shè)，連接，即可證明，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】連接，設(shè)，連接，則為中點(diǎn)，在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，即，令得設(shè)與平面所成角大小為，則，所以與平面所成角的正弦值為．16.已知等差數(shù)列an的公差，且滿足，.（1）求數(shù)列an（2）記，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量的運(yùn)算求得公差，即可求解通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，所以；【小?詳解】，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以=.17.“十四五”時(shí)期，成都基于歷史文化底蘊(yùn)、獨(dú)特資源稟賦、生活城市特質(zhì)和市民美好生活需要，高水平推進(jìn)“三城三都”（世界文創(chuàng)名城、旅游名城、賽事名城和國際美食之都、音樂之都、會(huì)展之都）建設(shè).2023年，成都大運(yùn)會(huì)的成功舉辦讓賽事名城的形象深入人心，讓世界看到成都的專業(yè)、活力和對(duì)體育的熱愛；2024年，相約去鳳凰山體育場(chǎng)觀看成都蓉城隊(duì)的比賽已經(jīng)成為成都人最時(shí)尚的生活方式之一．已知足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場(chǎng)積3分，平一場(chǎng)積1分，負(fù)一場(chǎng)積0分．成都蓉城隊(duì)2024年七月還將迎來主場(chǎng)與隊(duì)和客場(chǎng)與隊(duì)的兩場(chǎng)比賽．根據(jù)前期比賽成績(jī)，設(shè)成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場(chǎng)與B隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與B隊(duì)比賽獲得積分的概率；（2）用表示成都蓉城隊(duì)七月與隊(duì)和B隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．【正確答案】（1）（2）分布列見解析，期望為【分析】（1）由題意可知，成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分包括3種情況，且每種情況之間是互斥事件，然后根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得結(jié)果；（2）由題意可知的所有可能取值為，求出相應(yīng)的概率，從而可求出的分布列與期望．【小問1詳解】設(shè)事件“成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為3分”，事件“成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為1分”，事件“成都蓉城隊(duì)主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為0分”，事件“成都蓉城隊(duì)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為3分”，事件“成都蓉城隊(duì)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為1分”，事件“成都蓉城隊(duì)客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分為0分”，事件“成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分”．則．所以成都蓉城隊(duì)七月主場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分超過客場(chǎng)與隊(duì)比賽獲得積分的概率為．【小問2詳解】由題意可知的所有可能取值為，所以的分布列為：012346所以的期望18.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意，都滿足，且.當(dāng)時(shí)，，且.（1）求，的值；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；（3）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1），（2）證明見解析（3）【分析】（1）利用賦值法可得與；（2）利用賦值法可得，且當(dāng)時(shí)；（3）結(jié)合抽象函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可得不等式，即，根據(jù)二次函數(shù)最值可知，解不等式即可.【小問1詳解】由，則，又當(dāng)時(shí)，，則，；【小問2詳解】令，則，即，當(dāng)時(shí)，，且，即，即在上恒成立，由，可知，令，，且，即，則，所以，即在上單調(diào)遞增；小問3詳解】由已知，又由（1）得，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則恒成立，所以恒成立，又，即