中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專練(浙江專用)專題13 胡不歸(解析版)_第1頁(yè)
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題型十三胡不歸【要點(diǎn)提煉】【模型故事】從前,有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒,當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后,便立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切,他只考慮了“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理,所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A→B(如圖),而忽視了走折線路徑A→D→B雖路程多但速度快的實(shí)際情況,當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí),老人剛剛咽了氣,小伙子失聲痛哭.鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴他,老人彌留之際不斷念叨著"胡不歸?胡不歸?在該故事中,我們的幾何圖形不再是簡(jiǎn)單的線和點(diǎn),而是賦予了實(shí)際的意義,AB所經(jīng)過(guò)的砂礫之路肯定會(huì)比AD所在的大路要速度慢一些,因此考慮最短時(shí)間時(shí)要去考慮一下速度的問(wèn)題【模型破解術(shù)】①模型特點(diǎn):胡不歸在中考中常以求PA+k?②例題:如圖,已知D為射線AB上依動(dòng)點(diǎn),∠BAC=30°,AC=23,AD=時(shí),CD+12AD取最小值為要想求出CD+12AD的最小值,則需在圖中先體現(xiàn)出12AD和CD+而胡不歸問(wèn)題中構(gòu)造12首先我們以AD為斜邊,以A為頂點(diǎn),往AD的下面做一個(gè)30°角然后我們過(guò)D作輔助線的垂線DEEE由30°的正弦可得,DE=12最終最小值為過(guò)C作輔助線的垂線段CF的長(zhǎng)度FFCF=AC?sin∠CAF=23【專題訓(xùn)練】一.選擇題(共1小題)1.如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,AB=AC,A(0,22),C(1,0),D為射線AO上一點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C,點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍,要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少,則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為()A.(0,2) B.(0,22) C.(0,23) D.(0,【答案】D【解析】解:假設(shè)P在AD的速度為3,在CD的速度為1,設(shè)D坐標(biāo)為(0,y),則AD=22?y,CD=∴設(shè)t=2等式變形為:t+13y?223∴t2+(23y?423)t+(13y?2∴89y2+(429?23t)y△=(429?23t)2﹣4×8∴t的最小值為3,∴y=2∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,24故選D.解法二:假設(shè)P在AD的速度為3V,在CD的速度為1V,總時(shí)間t=AD3V+CDV=1V(因?yàn)锳B=AC=3,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC交AC于點(diǎn)H,交OA于D,易證△ADH∽△ACO,所以ACOC=ADDH=3,所以AD3=DH,因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形,所以BD=CD,所以要AD3+CD最小,就是要DH+BD最小,就要B、D、H三點(diǎn)共線就行了.因?yàn)椤鰽OC∽△所以點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為(0,24二.填空題(共2小題)2.如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn),過(guò)B的直線交拋物線于E,且tan∠EBA=43,有一只螞蟻從A出發(fā),先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處,再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)處覓食,則螞蟻從A到E的最短時(shí)間是649【答案】64【解析】解:過(guò)點(diǎn)E作x軸的平行線,再過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線,兩線相交于點(diǎn)H,如圖,∵EH∥AB,∴∠HEB=∠ABE,∴tan∠HED=tan∠EBA=DH設(shè)DH=4m,EH=3m,則DE=5m,∴螞蟻從D爬到E點(diǎn)的時(shí)間=5x1.25=若設(shè)螞蟻從D爬到H點(diǎn)的速度為1單位/s,則螞蟻從D爬到H點(diǎn)的時(shí)間=4m1=∴螞蟻從D爬到E點(diǎn)所用的時(shí)間等于從D爬到H點(diǎn)所用的時(shí)間相等,∴螞蟻從A出發(fā),先以1單位/s的速度爬到線段BE上的點(diǎn)D處,再以1.25單位/s的速度沿著DE爬到E點(diǎn)所用時(shí)間等于它從A以1單位/s的速度爬到D點(diǎn),再?gòu)腄點(diǎn)以1單位/s速度爬到H點(diǎn)的時(shí)間,作AG⊥EH于G,則AD+DH≥AH≥AG,∴AD+DH的最小值為AG的長(zhǎng),當(dāng)y=0時(shí),x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則A(﹣1,0),B(3,0),直線BE交y軸于C點(diǎn),如圖,在Rt△OBC中,∵tan∠CBO=CO∴OC=4,則C(0,4),設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b,把B(3,0),C(0,4)代入得3k+b=0b=4,解得k=?∴直線BE的解析式為y=?43解方程組y=x2?2x?3y=?43x+4得x=3y=0或∴AG=64∴螞蟻從A爬到G點(diǎn)的時(shí)間=6491即螞蟻從A到E的最短時(shí)間為649s故答案為6493.如圖,?ABCD中,∠DAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn),則2PB+PD的最小值等于6.【答案】6【解析】解:如圖,過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線,交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠EDP=∠DAB=30°,∴EP=12DP,即DP=2∴2PB+PD=2(PB+PE),當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí),PB+EP有最小值,最小值等于BE的長(zhǎng),此時(shí)2PB+PD的最小值等于2BE的長(zhǎng),∵此時(shí)在Rt△ABE中,∠EAB=30°,AB=6,∴BE=12∴2PB+PD的最小值等于6.故答案為:6.三.解答題(共4小題)4.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED.(1)求證:四邊形OCED是菱形;(2)連接AE,若AB=9,BC=4.①求sin∠EAD的值;②若點(diǎn)P為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連接OP,一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以1cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以53cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需要的時(shí)間最短時(shí),求點(diǎn)Q【解析】(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC,OB=OD,∴OD=OC,∵△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED,∴DE=EC=OD=OC,∴四邊形ODEC是菱形.(2)①如圖1中,連接EO交CD于點(diǎn)M,作EH⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于H.∵四邊形EDOC是菱形,∴OE⊥CD,EM=OM,DM=CM=9∵OA=OC,∴OM=EM=12∵∠H=∠HDM=∠EMD=90°,∴四邊形EHDM是矩形,∴EH=92,DH=EM=2,AH=AD+∴AE=A∴sin∠EAD=EH②如圖2中,連接OP,作PH⊥AD于H,OM⊥AD于M.∵OD=OA,OM⊥AD,∴DM=MA,∴OM=12AB在Rt△APH中,PH=PA?sin∠PAH=35∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=OP+PA53=∴t=OP+PH,根據(jù)垂線段最短可知,當(dāng)點(diǎn)O,P,H共線且與OM重合時(shí),t有最小值,t的最小值為OM的值,∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)是最短時(shí)間t為92s5.如圖,直線y=12x+12與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=a(x﹣1)(1)求出拋物線解析式的一般式;(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象下方,求△ACD面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn),在(2)的結(jié)論下,求PD+35【解析】解:(1)令12x+解得x=﹣1,則A(﹣1,0),∵拋物線y=a(x﹣1)2﹣2過(guò)點(diǎn)A,∴a×(﹣1﹣1)2﹣2=0,解得a=1故拋物線解析式的一般式為y=12(x﹣1)2﹣2,即y=12x2(2)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸交AC于M,設(shè)D(m,12m2﹣m?32),則M(m,1則DM=12m+12?(12m2﹣m?3所以①當(dāng)﹣1<m≤0時(shí),S△ACD=S△AMD+S△CMD=12DM(m+1﹣m)=②當(dāng)0<m<4時(shí),S△ACD=S△AMD﹣S△CMD=12DM(m+1﹣m)=則S△ACD=12DM=12(?12m2+32m+2)則當(dāng)m=32時(shí),△ACD面積有最大值,最大值是2516,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3(3)如備用圖,作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接DF交x軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)P,∵D(32,?158∴AG=1+32=5∴tan∠DAG=DG∴sin∠DAG=DG∴PH=35∵D、F關(guān)于x軸對(duì)稱,∴PD=PF,∴PD+35AP=FP+HP=FH,此時(shí)PD+∵DF=158×∴sin∠ADG=AG∴FH=45DF∴PD+35已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,OC=3.(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PBC面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn),問(wèn):AQ+12【解析】解:(1)函數(shù)的表達(dá)式為:y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3),即:3a=3,解得:a=1,故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣4x+3,則頂點(diǎn)D(2,﹣1).(2)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=mx+n并解得:直線BC的表達(dá)式為:y=﹣x+3,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P(x,x2﹣4x+3),則點(diǎn)H(x,﹣x+3),則S△PBC=12?PH×OB=32(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=32∵?32<0,故S△PBC有最大值,此時(shí)故點(diǎn)P(32,?(3)存在,理由:如上圖,過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CG,作QG⊥CG于點(diǎn)G,則GQ=CQ,AQ+12QC最小值=AQ+GQ=直線GC所在表達(dá)式中的k值為3,直線GC的表達(dá)式為:y=3x+3…①則直線AG所在表達(dá)式中的k值為?3則直線AG的表達(dá)式為:y=?33x+s,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=?33x+s則直線AG的表達(dá)式為:y=?33x+聯(lián)立①②并解得:x=1?3故點(diǎn)G(1?334,3+3則AG=3+即:AQ+12QC的最小值為7.如圖1,在△ABC中,AB=AC=5,以AB為直徑作⊙O,分別交AC,BC于點(diǎn)E,F(xiàn),連接EF,OE.(1)求證:∠OEF=∠ABC;(2)如圖2,連接BE,若點(diǎn)D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且tan∠CFE=2,求5CD+BD的最小值.【解析】(1)證明:如圖1中,連接AF,OF.∵AB是直徑,∴∠AFB=90°,∴AF⊥BC,∵AB=AC,∴∠EAF=∠FAB,∵∠EOF=2∠EAF,∠FOB=2∠FAB,∴∠EOF=∠FOB,∵OE=OF=OB,∴∠OEF=∠OFE=∠OFB=∠ABC,∴∠OEF=∠ABC.(2)解:如圖2中,連接AF,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H.∵四邊形ABFE是圓內(nèi)接四邊形,∴∠EAB+∠EFB=180°,∵∠CFE+∠EFB=180°,∴∠CFE

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