【創(chuàng)新設計】2022屆-數(shù)學一輪(理科)-人教A版-課時作業(yè)-第八章-立體幾何-3-

第3講直線、平面平行的判定與性質基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若直線ɑ平行于平面α，則下列結論錯誤的是 ()A．ɑ平行于α內的全部直線B．α內有很多條直線與ɑ平行C．直線ɑ上的點到平面α的距離相等D．α內存在很多條直線與ɑ成90°角解析若直線ɑ平行于平面α，則α內既存在很多條直線與ɑ平行，也存在很多條直線與ɑ異面且垂直，所以A不正確，B，D正確，又夾在相互平行的線與平面間的平行線段相等，所以C正確．答案A2．平面α∥平面β，點A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是 ()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB與CD相交 D．A，B，C，D四點共面解析充分性：A，B，C，D四點共面，由平面與平面平行的性質知AC∥BD.必要性明顯成立．答案D3．設l為直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是 ()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析l∥α，l∥β，則α與β可能平行，也可能相交，故A項錯；由“垂直于同一條直線的兩個平面平行”可知B項正確；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C項錯；由α⊥β，l∥α可知l與β可能平行，也可能l?β，也可能相交，故D項錯．故選B.答案B4．(2021·吉林九校聯(lián)考)已知m，n為兩條不同的直線，α，β，γ為三個不同的平面，則下列命題中正確的是 ()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n⊥α，則m∥nC．若α∥β，m∥n，m∥α，則n∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β解析對于選項A，m∥α，n∥α，則m與n可以平行，可以相交，可以異面，故A錯誤；對于選項B，由線面垂直的性質定理知，m∥n，故B正確；對于選項C，n可以平行β，也可以在β內，故C錯；對于選項D，α與β可以相交，因此D錯．故選B.答案B5.在四周體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中，錯誤的是 ()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°解析由于截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，則MN∥平面ABC，由線面平行的性質知MN∥AC，則AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，則AC⊥BD，故A、B正確．又由于BD∥MQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確．答案C二、填空題6．棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是________．解析由面面平行的性質知截面與面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為eq\f(9,2).答案eq\f(9,2)7.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________．解析由于直線EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中點，所以F是DC的中點，由中位線定理可得EF＝eq\f(1,2)AC，又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2)，所以EF＝eq\r(2).答案eq\r(2)8．(2022·金麗衢十二校聯(lián)考)設α，β，γ是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.假如命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是________(把全部正確的序號填上)．解析由面面平行的性質定理可知，①正確；當b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．故應填入的條件為①或③.答案①或③三、解答題9．(2022·洛陽模擬)如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)由于N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.10．(2022·長沙模擬)一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示(其中M，N分別是AF，BC的中點)．(1)求證：MN∥平面CDEF；(2)求多面體A－CDEF的體積．解由三視圖可知：AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∠CBF＝eq\f(π,2).(1)證明取BF的中點G，連接MG，NG，由M，N分別為AF，BC的中點可得，NG∥CF，MG∥AB∥EF，且NG∩MG＝G，CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN?平面MNG，MN?平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.(2)取DE的中點H.∵AD＝AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF＝DE，AH?平面ADE，∴AH⊥平面CDEF.∴多面體A－CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH＝eq\r(2).S矩形CDEF＝DE·EF＝4eq\r(2)，∴棱錐A－CDEF的體積為V＝eq\f(1,3)·S矩形CDEF·AH＝eq\f(1,3)×4eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(8,3).力量提升題組(建議用時：25分鐘)11．(2021·廣東七校聯(lián)考)設a，b是兩條直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是 ()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析對于A，兩個平面還可以相交，若α∥β，則存在一條直線a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一個必要條件；同理，B也是α∥β的一個必要條件；易知C不是α∥β的一個充分條件，而是一個必要條件；對于D，可以通過平移把兩條異面直線平移到一個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以D是α∥β的一個充分條件．答案D12．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是 ()A．①③B．②③C．①④D．②④解析對于圖形①：平面MNP與AB所在的對角面平行，即可得到AB∥平面MNP；對于圖形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；圖形②，③都不行以，故選C.答案C13．(2022·承德模擬)如圖，在正四棱柱A1C中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足條件________時，有MN∥平面B1BDD1(請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件)．解析如圖，連接FH，HN，F(xiàn)N，由題意知HN∥面B1BDD1，F(xiàn)H∥面B1BDD1.且HN∩FH＝H，∴面NHF∥面B1BDD1.∴當M在線段HF上運動時，有MN∥面B1BDD1.答案M∈線段HF14．(2022·南昌模擬)如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE＝AF＝4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2eq\r(6).(1)求五棱錐A′－BCDFE的體積；(2)在線段A′C上是否存在一點M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，請說明理由．解(1)連接AC，設AC∩EF＝H，連接A′H.∵四邊形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，∴H是EF的中點，且EF⊥AH，EF⊥CH，從而有A′H⊥EF，CH⊥EF，又A′H∩CH＝H，所以EF⊥平面A′HC，且EF?平面ABCD，從而平面A′HC⊥平面ABCD，過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O，則A′O⊥平面ABCD，由于正方形ABCD的邊長為6，AE＝AF＝4，故A′H＝2eq\r(2)，CH＝4eq\r(2)，所以cos∠A′HC＝eq\f(A′H2＋CH2－A′C2,2A′H·CH)＝eq\f(8＋32－24,2×2\r(2)×4\r(2))＝eq\f(1,2)，所以HO＝A′H·cos∠A′HC＝eq\r(2)，則A′O＝eq\r(6)，所以五棱錐A′－BCDFE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(62－\f(1,2)×4×4))×eq\r(6)＝eq\f(28\r(6),3).(2)線段A′C上存在點M，使得BM∥平面A′EF，此時A′M＝eq\f(\r(6),2).證