【全程復(fù)習(xí)方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時(shí)作業(yè)：第八章-第二節(jié)雙曲線

溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(三十九)一、選擇題1.(2021·南昌模擬)已知雙曲線mx2-ny2=1(m>0,n>0)的離心率為2,則橢圓mx2+ny2=1的離心率為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE2.(2021·桂林模擬)雙曲線QUOTE-QUOTE=1的漸近線方程是()(A)y=±QUOTEx (B)y=±QUOTEx(C)y=±QUOTEx (D)y=±QUOTEx3.(2021·柳州模擬)雙曲線QUOTE-QUOTE=1,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線右支于M點(diǎn),若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE4.已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=QUOTEx,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=24x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()(A)QUOTE-QUOTE=1 (B)QUOTE-QUOTE=1(C)QUOTE-QUOTE=1 (D)QUOTE-QUOTE=15.(2021·賀州模擬)設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE6.(2022·浙江高考)如圖,中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn),M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn),若M,O,N將橢圓長(zhǎng)軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是()(A)3 (B)2 (C)QUOTE (D)QUOTE7.已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合,該雙曲線的離心率為QUOTE,則該雙曲線的漸近線斜率為()(A)±2 (B)±QUOTE (C)±QUOTE (D)±QUOTE8.(力氣挑戰(zhàn)題)設(shè)F1,F2分別是雙曲線QUOTE-y2=1的左、右焦點(diǎn),P在雙曲線上,當(dāng)△F1PF2的面積為2時(shí),QUOTE·QUOTE的值為()(A)2 (B)3 (C)4 (D)6二、填空題9.(2021·西安模擬)已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(QUOTE,0),則該雙曲線的漸近線方程為.10.(2022·重慶高考)設(shè)P為直線y=QUOTEx與雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)左支的交點(diǎn),F1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,則雙曲線的離心率e=.11.(力氣挑戰(zhàn)題)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作實(shí)軸所在直線的垂線,交雙曲線于A,B兩點(diǎn),設(shè)雙曲線的左頂點(diǎn)為M,若點(diǎn)M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,則此雙曲線的離心率e的取值范圍為.三、解答題12.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為QUOTE,且過(guò)點(diǎn)P(4,-QUOTE).(1)求雙曲線的方程.(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:QUOTE·QUOTE=0.(3)求△F1MF2的面積.13.P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左,右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為QUOTE.(1)求雙曲線的離心率.(2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足QUOTE=λQUOTE+QUOTE,求λ的值.14.(2021·綿陽(yáng)模擬)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)N(0,QUOTE)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與N關(guān)于直線y=x對(duì)稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A,B兩點(diǎn),另始終線l經(jīng)過(guò)M(-2,0)及AB的中點(diǎn),求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.答案解析1.【解析】選B.由已知雙曲線的離心率為2,得:QUOTE=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,∴m>n,即QUOTE>QUOTE,故由橢圓mx2+ny2=1得QUOTE+QUOTE=1.∴所求橢圓的離心率為:e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【誤區(qū)警示】本題極易造成誤選而失分,根本緣由是由于將橢圓mx2+ny2=1焦點(diǎn)所在位置弄錯(cuò),從而把a(bǔ)求錯(cuò)造成.2.【解析】選D.由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程QUOTE-QUOTE=1可知,a=2,b=3.焦點(diǎn)落在x軸上,故漸近線方程為y=±QUOTEx,故選D.3.【解析】選B.如圖,|MF1|-|MF2|=2a,|MF1|=2|MF2|,故|MF2|=2a,又|F1F2|=QUOTE|MF2|,即2c=2QUOTEa,∴e=QUOTE,故選B.4.【解析】選B.由題意可知QUOTE解得QUOTE所以雙曲線的方程為QUOTE-QUOTE=1.5.【解析】選D.由于焦點(diǎn)在x軸上與焦點(diǎn)在y軸上的離心率一樣,所以不妨設(shè)雙曲線方程為QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),則雙曲線的漸近線的斜率k=±QUOTE,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c,0),一個(gè)虛軸的端點(diǎn)為B(0,b),所以kFB=-QUOTE,又由于直線FB與雙曲線的一條漸近線垂直,所以k·kFB=QUOTE(-QUOTE)=-1(k=-QUOTE明顯不符合),即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,即e2-e-1=0,解得e=QUOTE(負(fù)值舍去).【變式備選】(2021·玉林模擬)設(shè)e1,e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率,P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足QUOTE·QUOTE=0,則QUOTE的值為()(A)QUOTE (B)1 (C)2 (D)不確定【解析】選C.如圖,可設(shè)P在第一象限,由于共焦點(diǎn),所以焦距相等,設(shè)為2c.設(shè)橢圓中長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a1,b1,雙曲線中實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)分別為a2,b2.由于QUOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,從而有|PF1|2+QUOTE=|F1F2|2=4c2①+②可得4QUOTE+4QUOTE=8c2,整理可得QUOTE+QUOTE=2c2,故QUOTE+QUOTE=2,故QUOTE+QUOTE=2,因QUOTE=QUOTE+QUOTE=2,故選C.6.【解析】選B.設(shè)雙曲線的方程為QUOTE-QUOTE=1(a1>0,b1>0),橢圓的方程為QUOTE+QUOTE=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N將橢圓長(zhǎng)軸四等分,所以a2=2a1,又e1=QUOTE,e2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=2.7.【解析】選C.由拋物線y2=20x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),可得雙曲線QUOTE-QUOTE=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),即得a=5,又由e=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得c=QUOTE.則b2=c2-a2=QUOTE,即b=QUOTE,由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k=±QUOTE=±QUOTE.8.【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),依題意得,|F1F2|=2QUOTE=4,QUOTE=QUOTE|F1F2|×|y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1,又QUOTE-QUOTE=1,∴QUOTE=3(QUOTE+1)=6,∴QUOTE·QUOTE=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=QUOTE+QUOTE-4=3.【變式備選】(2021·柳州模擬)雙曲線QUOTE-QUOTE=1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上,PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則QUOTE·QUOTE等于()(A)0 (B)a2 (C)-a2 (D)a2+b2【解析】選B.不妨設(shè)虛軸端點(diǎn)A(0,b),據(jù)題意知A(0,b)與焦點(diǎn)F(c,0)的中點(diǎn)(QUOTE,QUOTE)在雙曲線的準(zhǔn)線x=QUOTE上,故QUOTE=QUOTE?c2=2a2,故雙曲線方程可化為x2-y2=a2,設(shè)垂直于實(shí)軸的弦PQ上點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1),故QUOTE·QUOTE=QUOTE-QUOTE,又點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線上,故QUOTE-QUOTE=a2,即QUOTE·QUOTE=a2.9.【解析】∵右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(QUOTE,0),∴9+a=13,即a=4,∴雙曲線方程為QUOTE-QUOTE=1,∴漸近線方程為QUOTE±QUOTE=0,即2x±3y=0.答案:2x±3y=010.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后再依據(jù)點(diǎn)P在直線y=QUOTEx上可求出離心率的值.【解析】由題意可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-c,代入雙曲線的方程可得QUOTE-QUOTE=1,解得y=±QUOTE,由條件可知P(-c,-QUOTE),由于點(diǎn)P在直線y=QUOTEx上,所以-QUOTE=QUOTE×(-c),解得c=3b,所以a=2QUOTEb,e=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE11.【思路點(diǎn)撥】設(shè)出雙曲線方程,表示出點(diǎn)F,A,B的坐標(biāo),由點(diǎn)M在圓內(nèi)部列不等式求解.【解析】設(shè)雙曲線的方程為QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F(c,0),令A(yù)(c,QUOTE),B(c,-QUOTE),所以以AB為直徑的圓的方程為(x-c)2+y2=QUOTE.又點(diǎn)M(-a,0)在圓的內(nèi)部,所以有(-a-c)2+0<QUOTE,即a+c<QUOTE?a2+ac<c2-a2,?e2-e-2>0(e=QUOTE),解得:e>2或e<-1.又e>1,∴e>2.答案:(2,+∞)12.【解析】(1)∵e=QUOTE,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).∵過(guò)點(diǎn)P(4,-QUOTE),∴16-10=λ,即λ=6.∴雙曲線方程為x2-y2=6.(2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=QUOTE,∴c=2QUOTE,∴F1(-2QUOTE,0),F2(2QUOTE,0).∴QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE=-QUOTE.∵點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3.故QUOTE·QUOTE=-1,∴MF1⊥MF2.∴QUOTE·QUOTE=0.方法二:∵QUOTE=(-3-2QUOTE,-m),QUOTE=(2QUOTE-3,-m),∴QUOTE·QUOTE=(3+2QUOTE)×(3-2QUOTE)+m2=-3+m2.∵M(jìn)(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,即m2-3=0.∴QUOTE·QUOTE=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4QUOTE,△F1MF2的邊F1F2的高h(yuǎn)=|m|=QUOTE,∴QUOTE=6.13.【思路點(diǎn)撥】(1)代入P點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率之積為QUOTE列方程求解.(2)聯(lián)立方程,設(shè)出A,B,QUOTE的坐標(biāo),代入QUOTE=λQUOTE+QUOTE求解.【解析】(1)由點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線QUOTE-QUOTE=1上,有QUOTE-QUOTE=1.由題意又有QUOTE·QUOTE=QUOTE,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,則e=QUOTE=QUOTE.(2)聯(lián)立方程得QUOTE得4x2-10cx+35b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則QUOTE設(shè)QUOTE=(x3,y3),QUOTE=λQUOTE+QUOTE,即QUOTE又C為雙曲線E上一點(diǎn),即QUOTE-5QUOTE=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化簡(jiǎn)得:λ2(QUOTE-5QUOTE)+(QUOTE-5QUOTE)+2λ(x