【-學案導學設計】2020-2021學年高中人教B版數(shù)學必修四課時作業(yè)：1.2.2

1．2．2單位圓與三角函數(shù)線課時目標1．理解三角函數(shù)線的幾何意義，能正確畫出三角函數(shù)線．2．會利用單位圓中的三角函數(shù)線求三角函數(shù)值或比較函數(shù)值的大小或解三角不等式．1．單位圓與三角函數(shù)的定義一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓．在平面直角坐標系中，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；(2)x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．三角函數(shù)線三角函數(shù)線是表示三角函數(shù)值的有向線段，線段的方向表示了三角函數(shù)值的正負，線段的長度表示了三角函數(shù)值的確定值．圖示正弦線如上圖，α終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直x軸，有向線段MP即為正弦線余弦線如上圖，有向線段OM即為余弦線正切線如上圖，過(1,0)作x軸的垂線，交α的終邊或α終邊的反向延長線于T，有向線段AT即為正切線一、選擇題1．如圖在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是()A．正弦線PM，正切線A′T′B．正弦線MP，正切線A′T′C．正弦線MP，正切線ATD．正弦線PM，正切線AT2．角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等，且正、余弦符號相異，那么α的值為()A．eq\f(π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(7π,4)D．eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)3．若α是第一象限角，則sinα＋cosα的值與1的大小關系是()A．sinα＋cosα>1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα<1D．不能確定4．利用正弦線比較sin1，sin1．2，sin1．5的大小關系是()A．sin1>sin1．2>sin1．5B．sin1>sin1．5>sin1．2C．sin1．5>sin1．2>sin1D．sin1．2>sin1>sin1．55．若0<α<2π，且sinα<eq\f(\r(3),2)，cosα>eq\f(1,2)，則角α的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π))6．假如eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，那么下列不等式成立的是()A．cosα<sinα<tanαB．tanα<sinα<cosαC．sinα<cosα<tanαD．cosα<tanα<sinα二、填空題7．在[0,2π]上滿足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范圍為______________．8．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sinα<cosα}，則A∩B＝________________．9．不等式tanα＋eq\f(\r(3),3)>0的解集是______________．10．求函數(shù)f(x)＝lg(3－4sin2x)的定義域為________．三、解答題11．在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2)．12．設θ是其次象限角，試比較sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大?。馓嵘?3．求下列函數(shù)的定義域．f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))．14．如何利用三角函數(shù)線證明下面的不等式？當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，求證：sinα<α<tanα．1．三角函數(shù)線的意義三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的確定值，方向表示三角函數(shù)值的正負，具體地說，正弦線、正切線的方向同縱坐標軸全都，向上為正，向下為負；余弦線的方向同橫坐標軸全都，向右為正，向左為負，三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來了，使得問題更形象直觀，為從幾何途徑解決問題供應了便利．2．三角函數(shù)的畫法定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時也給出了角α的三角函數(shù)線的畫法即先找到P、M、T點，再畫出MP、OM、AT．留意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點和終點，字母的書寫挨次不能顛倒．1．2．2單位圓與三角函數(shù)線答案作業(yè)設計1．C2．D[角α終邊落在其次、四象限角平分線上．]3．A[設α終邊與單位圓交于點P，sinα＝MP，cosα＝OM，則|OM|＋|MP|>|OP|＝1，即sinα＋cosα>1．]4．C[∵1,1．2,1．5均在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)，正弦線在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)隨α的增大而漸漸增大，∴sin1．5>sin1．2>sin1．]5．D[在同一單位圓中，利用三角函數(shù)線可得D正確．]6．A[如圖所示，在單位圓中分別作出α的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT，很簡潔地觀看出OM<MP<AT，即cosα<sinα<tanα．]7．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))8．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)π，2π))9．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ－\f(π,6)<α<kπ＋\f(π,2)，k∈Z))解析不等式的解集如圖所示(陰影部分)，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|kπ－\f(π,6)<α<kπ＋\f(π,2)，k∈Z))．10．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))，k∈Z解析如圖所示．∵3－4sin2x>0，∴sin2x<eq\f(3,4)，∴－eq\f(\r(3),2)<sinx<eq\f(\r(3),2)．∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))(k∈Z)．即x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．11．解(1)圖1作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A、B，連結OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖1陰影部分)，即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．(2)圖2作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C、D，連結OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖2陰影部分)，即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}．12．解∵θ是其次象限角，∴2kπ＋eq\f(π,2)<θ<2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．作出eq\f(θ,2)所在范圍如圖所示．當2kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(θ,2)<2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，coseq\f(θ,2)<sineq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)．當2kπ＋eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)時，sineq\f(θ,2)<coseq\f(θ,2)<taneq\f(θ,2)．13．解由題意，自變量x應滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(\r(2),2)，,cosx≤\f(1,2).))則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3,4)π，k∈Z))．14．證明如圖所示，在直角坐標系中作出單位圓，α的終邊與單位圓交于P，α的正弦線、正切線為有向線段MP，AT，則MP