【復習參考】2021年高考數(shù)學(理)提升演練：雙曲線

2021屆高三數(shù)學（理）提升演練：雙曲線一、選擇題1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示雙曲線”的()A．必要但不充分條件 B．充分但不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，若頂點到漸近線的距離為1，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B.eq\f(3x2,4)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(4y2,3)＝13．設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．34．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為()A．－2 B．－eq\f(81,16)C．1 D．05．設(shè)橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1和雙曲線eq\f(y2,3)－x2＝1的公共焦點分別為F1、F2，P為這兩條曲線的一個交點，則cos∠F1PF2的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)6．已知雙曲線mx2－y2＝1(m>0)的右頂點為A，若該雙曲線右支上存在兩點B、C使得△ABC為等腰直角三角形，則實數(shù)m的值可能為()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3二、填空題7．已知點(2,3)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________．8．已知雙曲線kx2－y2＝1(k>0)的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，那么雙曲線的離心率為________；漸近線方程為____________．9．P為雙曲線x2－eq\f(y2,15)＝1右支上一點，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為________．三、解答題10．已知雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程．11．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥eq\f(4,5)c，求雙曲線的離心率e的取值范圍．12．P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一點，M、N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為eq\f(1,5).(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足＝λ＋，求λ的值．詳解答案一、選擇題1．解析：若ax2＋by2＝c表示雙曲線，即eq\f(x2,\f(c,a))＋eq\f(y2,\f(c,b))＝1表示雙曲線，則eq\f(c2,ab)<0，這就是說“ab<0”是必要條件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分條件．答案：A2．解析：不妨設(shè)頂點(a,0)到直線eq\r(3)x－3y＝0的距離為1，即eq\f(\r(3)a,\r(3＋9))＝1，解得a＝2.又eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以b＝eq\f(2\r(3),3)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1.答案：A3．解析：設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦點F(－c,0)，將x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2)，所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).答案：B4．解析：設(shè)點P(x，y)，其中x≥1.依題意得A1(－1,0)、F2(2,0)，則有eq\f(y2,3)＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－eq\f(1,8))2－eq\f(81,16)，其中x≥1.因此，當x＝1時，·取得最小值－2.答案：A5．解析：由題意可知m－2＝3＋1，解得m＝6.法一：由橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P為第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2)，聯(lián)立eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,6)＝1與eq\f(y2,3)－x2＝1組成方程組，解得P(eq\f(\r(2),2)，eq\f(3\r(2),2))．所以由兩點距離公式計算得|PF1|＝eq\r(6)＋eq\r(3)，|PF2|＝eq\r(6)－eq\r(3).又|F1F2cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,3).法二：由橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點P為第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1(0，－2)．F2(0,2)，由題意得|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(6)，|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝eq\r(6)＋eq\r(3)，|PF2|＝eq\r(6)－eq\r(3)，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝eq\f(1,3).答案：B6．解析：由題意可得，點A的坐標為(eq\r(\f(1,m))，0)，設(shè)直線AB的方程為y＝tan45°(x－eq\r(\f(1,m)))，即x＝y(tǒng)＋eq\r(\f(1,m))，與雙曲線方程聯(lián)立可得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)＋\r(\f(1,m)),mx2－y2＝1))，則(m－1)y2＋2eq\r(m)y＝0，解得y＝0或y＝eq\f(2\r(m),1－m).由題意知y＝eq\f(2\r(m),1－m)為B點的縱坐標，且滿足eq\f(2\r(m),1－m)>0，即0<m<1，依據(jù)選項知．答案：A二、填空題7．解析：依據(jù)點(2,3)在雙曲線上，可以很簡潔建立一個關(guān)于a，b的等式，即eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1，考慮到焦距為4，這也是一個關(guān)于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有雙曲線自身的一個等式a2＋b2＝c2，這樣，三個方程，三個未知量，可以解出a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，所以，離心率e＝2.答案：28．解析：雙曲線kx2－y2＝1的漸近線方程是y＝±eq\r(k)x.∵雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＋1＝0垂直，∴eq\r(k)＝eq\f(1,2)，k＝eq\f(1,4)，∴雙曲線的離心率為e＝eq\f(\r(\f(1,k)＋1),\r(\f(1,k)))＝eq\f(\r(5),2)，漸近線方程為eq\f(1,2)x±y＝0.答案：eq\f(\r(5),2)eq\f(1,2)x±y＝09．解析：雙曲線的兩個焦點為F1(－4,0)、F2(4,0)，為兩個圓的圓心，半徑分別為r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值為(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：5三、解答題10．解：切點為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10.∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，∴兩漸近線方程為3x±y＝0.設(shè)所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵點P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80，∴所求的雙曲線方程為eq\f(x2,\f(80,9))－eq\f(y2,80)＝1.11．解：直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.由點到直線的距離公式，且a＞1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，同理得到點(－1,0)到直線l的距離d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2)).∴s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c).由s≥eq\f(4,5)c，得eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，即5aeq\r(c2－a2)≥2c2.于是得5eq\r(e2－1)≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得eq\f(5,4)≤e2≤5.由于e＞1，∴e的取值范圍是[eq\f(\r(5),2)，eq\r(5)]．12．解：(1)點P(x0，y0)(x≠±a)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.由題意又有eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(1,5)，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(30),5).(2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5y2＝5b2,y＝x－c))，得4x2－10cx＋35b2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(5c,2)，,x1x2＝\f(35b2,4).))①設(shè)＝(x3，y3)，＝λ＋，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＝λx1＋x2，,y3＝λy1＋y2.))又C為雙曲線上一點，即xeq\o\al(2,3)－5yeq\o\al(2,3)＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化簡得：λ2(xeq\o\al(2,1)－5yeq