【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2導(dǎo)學(xué)案：《定積分的概念》

第1課時定積分的概念1.理解連續(xù)函數(shù)的概念,會依據(jù)函數(shù)圖像推斷函數(shù)是否連續(xù).2.會用分割、近似替代、求和、取極限等方法求曲邊為二次函數(shù)曲線段的曲邊梯形的面積.3.會求汽車做變速運(yùn)動時在某一段時間內(nèi)行駛的路程.4.通過求變速直線運(yùn)動在某一段時間內(nèi)的行駛路程,體會“以直代曲”和“以不變代變”的思想方法.5.了解定積分的概念,會通過四步曲求連續(xù)函數(shù)的定積分.6.了解定積分的幾何意義及性質(zhì).我們學(xué)過正方形、長方形、三角形和梯形等平面“直邊圖形”的面積,在物理中,我們知道了勻速直線運(yùn)動的時間、速度與路程的關(guān)系等.在數(shù)學(xué)和物理中,我們經(jīng)常會遇到計(jì)算平面曲線所圍成的平面“曲邊圖形”的面積、變速直線運(yùn)動物體的位移、變力做功的問題.如何解決這些問題呢?由于現(xiàn)有的學(xué)問無法解決這些問題,所以我們需要另尋方法.問題1:求曲邊梯形面積的步驟是(1);(2);(3);(4).

問題2:定積分的定義一般地,給定一個在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x),將[a,b]區(qū)間分成n份,分點(diǎn)為a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i個小區(qū)間為[xi-1,xi],設(shè)其長度為Δxi,在這個小區(qū)間上取一點(diǎn)ξi,使f(ξi)在區(qū)間[xi-1,xi]上的值最大,設(shè)S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.在這個小區(qū)間上取一點(diǎn)ζi,使f(ζi)在區(qū)間[xi-1,xi]上的值最小,設(shè)s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.假如每次分割后,最大的小區(qū)間的長度趨于0,S與s的差也趨于0,此時,S與s同時趨于某一個,我們就稱是函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的,記作abf(x)dx,即abf(x)dx=A.其中∫叫作,a叫作積分的,b叫作積分的,f(x問題3:定積分的幾何意義假如在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有,那么定積分abf(x)dx表示由直線x=a,x=b(a≠b),x軸和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的問題4:定積分的性質(zhì)(1)ab1dx=(2)abkf(x)dx=(k(3)ab[f1(x)±f2(x)]dx=(4)abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)d1.把區(qū)間[1,3]等分n份,所得n個小區(qū)間的長度均為().A.1n B.2n C.3n2.汽車以v=v(t)在[0,t]內(nèi)作直線運(yùn)動經(jīng)過的路程為S,則下列敘述正確的是().A.將[0,t]等分n份,若以每個小區(qū)間左端點(diǎn)的速度近似替代時,求得的s是S的不足估量值B.將[0,t]等分n份,若以每個小區(qū)間右端點(diǎn)的速度近似替代時,求得的s是S的過剩估量值C.將[0,t]等分n份,n越大,求出的s近似替代S的精確度越高D.將[0,t]等分n份,當(dāng)n很大時,求出的s就是S的精確?????值3.計(jì)算定積分:-11|x|d4.利用幾何意義計(jì)算定積分-13(3x+1求曲邊梯形的面積求由曲線f(x)=2x,直線x=1,直線x=0及x軸所圍成的平面圖形的面積S,并寫出估量值的誤差.求變速運(yùn)動的路程一輛汽車在直線形大路上變速行駛,汽車在時刻t的速度為v(t)=-t2+5(單位:km/h).試估量這輛汽車在0≤t≤2(單位:h)這段時間內(nèi)行駛的路程.利用定積分的幾何意義求定積分用定積分的幾何意義求下列各式的值.(1)-114-x2dx;(2)π2估量直線x=0,x=1,y=0與曲線y=x3所圍成的曲邊梯形的面積.一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車,汽車滑行5s后停下,在這一過程中,汽車的速度v(單位:m/s)是時間t的函數(shù):v(t)=t2-10t+25(0≤t≤5).請估量汽車在剎車過程中滑行的距離s.計(jì)算-33(9-x2-x1.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[i-1n,in]上A.f(x)的值變化很小 B.f(x)的值變化很大C.f(x)的值不變化 D.當(dāng)n很大時,f(x)的值變化很小2.求由y=ex,x=2,y=1圍成的曲邊梯形的面積時,若選擇x為積分變量,則積分區(qū)間為().A.[0,e2] B.[0,2] C.[1,2] D.[0,1]3.把區(qū)間[a,b](a<b)等分n份之后,第i個小區(qū)間是.

4.依據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值:(1)-11xdx;(2)02已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時動身,并沿同一路線(假定為直線)行駛.甲、乙兩車的速度曲線分別為v甲、v乙(如圖所示).那么對于圖中給定的t0和t1,下列推斷中肯定正確的是().A.在t1時刻,甲車在乙車前面B.t1時刻后,甲車在乙車后面C.在t0時刻,兩車的位置相同D.t0時刻后,乙車在甲車前面考題變式(我來改編):

答案第四章定積分第1課時定積分的概念學(xué)問體系梳理問題1:(1)分割(2)近似替代(3)求和(4)靠近問題2:固定的常數(shù)AA定積分積分號下限上限被積函數(shù)問題3:f(x)≥0面積問題基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.B區(qū)間的總長度為2,則每個區(qū)間的長度為2n2.C當(dāng)n越大時,分割成的小區(qū)間長度越小,則求出的s近似替代S的精確度越高.3.1-11|x|dx表示由y=|x|,x=±1以及x軸所圍成的平面圖形的面積,∴-11x|dx=-10(-x)dx+01xdx=124.解:由直線x=-1,x=3,y=0,以及y=3x+1所圍成的圖形,如圖所示:-133x+1)dx表示由直線x=-1,x=3,y=0以及y=∴-133x+1)dx=12×(3+13)×(3×3+1)-12(-13重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)分割:將區(qū)間[0,1]等分5份,即插入4個分點(diǎn),在每個分點(diǎn)處作與y軸平行的直線段,將整個曲邊梯形分成5個小曲邊梯形.(2)近似替代:若用f(0.2),f(0.4),f(0.6),f(0.8),f(1)分別表示這5個小曲邊梯形的高,分別得到每個小曲邊梯形的面積f(0.2)·0.2,f(0.4)·0.2,f(0.6)·0.2,f(0.8)·0.2,f(1)·0.2.若用f(0),f(0.2),f(0.4),f(0.6),f(0.8)分別表示這5個小曲邊梯形的高,分別得到每個小曲邊梯形的面積f(0)·0.2,f(0.2)·0.2,f(0.4)·0.2,f(0.6)·0.2,f(0.8)·0.2.(3)求和:由上述方法得曲邊梯形面積的過剩估量值為S1=(20.2+20.4+20.6+20.8+21)×0.2≈1.55,不足估量值為s1=(20+20.2+20.4+20.6+20.8)×0.2≈1.35.(4)靠近:在這種狀況下,無論過剩估量值還是不足估量值,誤差都不會超過0.20.假如需要,我們可以將區(qū)間分得更細(xì),從而得到更精確的估量值.【小結(jié)】通過求曲邊梯形面積的四個步驟:分割、近似替代、求和、靠近可以理解定積分的基本思想.探究二:【解析】將區(qū)間[0,2]等分10等份,如圖:S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72,s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2=6.92,∴估量該車在這段時間內(nèi)行駛的路程介于6.92km與7.72km之間.【小結(jié)】解決這類問題的方法是通過分割自變量的區(qū)間求得過剩估量值和不足估量值,分割得越細(xì),估量值就越接近精確值.當(dāng)分割成的小區(qū)間的長度趨于0時,過剩估量值和不足估量值都趨于精確值.探究三:【解析】(1)由y=4-x2可知x2+y2=4(y≥0-114-x2dxS弓形=12×π3×22-12×2×2sinπ3=2π3-3,S矩形則-114-x2dx=23+(2)函數(shù)y=1+sinx的圖像如圖所示,π25π2(1+sinx)dx表示陰影部分的面積,【小結(jié)】利用幾何意義求定積分的關(guān)鍵是精確?????確定被積函數(shù)的圖像以及積分區(qū)間,正確利用相關(guān)的幾何學(xué)問求面積,不規(guī)章的圖形常用分割法求面積,留意精確?????的確定分割點(diǎn).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:將區(qū)間[0,1]等分5份,如圖(1),全部小矩形的面積之和(記為S1),明顯為過剩估量值,S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=0.36.如圖(2),全部小矩形的面積之和(記為s1),明顯為不足估量值,s1=(03+0.23+0.43+0.63+0.83)×0.2=0.16,所以該曲邊梯形的面積介于0.16與0.36之間.應(yīng)用二:將滑行時間5s平均分成5份.分別用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4)近似替代汽車在0~1s,1~2s,2~3s,3~4s,4~5s內(nèi)的平均速度,求出滑行距離s1,s1=[v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)]×1=55(m),由于v是下降的,明顯s1大于s,我們稱它為汽車在5s內(nèi)滑行距離的過剩估量值.假如用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分別近似替代汽車在0~1s,1~2s,2~3s,3~4s,4~5s內(nèi)的平均速度,求出汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估量值s1',s1'=[v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)]×1=30(m).不論用過剩估量值s1還是不足估量值s1'表示s,誤差都不超過:s1-s1'=55-30=25(m).為了得到更加精確的估量值,還可以將滑行時間分得更細(xì)些.應(yīng)用三:如圖,由定積分的幾何意義得-339由定積分的性質(zhì)得-339基礎(chǔ)智能檢測1.D當(dāng)n很大,即Δx很小時,在區(qū)間[i-1n,in]上,可以認(rèn)為f(x)=x22.B求出y=ex,x=2,y=1的交點(diǎn)分別為(0,1),(2,1),(2,e2),結(jié)合定積分的幾何意義知,積分區(qū)間為[0,2].3.[a+i-1n(b-a),a+in(b-a)]第i個區(qū)間長為