【2021屆備考】2020全國(guó)名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第一期)：G5空間中的垂直關(guān)系

G5空間中的垂直關(guān)系【數(shù)學(xué)理卷·2021屆湖南省瀏陽(yáng)一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（202211）】18、（本題滿分12分）如圖，三角形和梯形所在的平D面相互垂直，，，是線段上一點(diǎn)，.D（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)滿足平面？并說明理由.【學(xué)問點(diǎn)】線面平行的判定；線面垂直的條件；二面角求法.G4G5G【答案】【解析】（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在點(diǎn)滿足平面，理由：見解析.解析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，…1分DD又，所以.由于，所以,四邊形是平行四邊形，…………2分所以由于平面，平面所以平面.…………4分（Ⅱ）由于平面平面，平面平面=，且，所以平面，所以，…………5分由于，所以平面.如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，………6分是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，則，即令，則，所以,所以，……………8分故二面角的正弦值為?！?分.（Ⅲ）由于，所以與不垂直,………11分所以不存在點(diǎn)滿足平面.…………12分【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）取中點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形即可；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，直線AB為x軸，直線AF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.通過求平面ABF的法向量與平面BEF的法向量夾角余弦值，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若存在點(diǎn)滿足平面，則AE,由推斷不存在點(diǎn)滿足平面.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】18、（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為菱形，是的中點(diǎn)（1）若，求證：平面平面；（2）若平面平面，且，在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，試確定點(diǎn)M的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由?！緦W(xué)問點(diǎn)】空間角與空間中的位置關(guān)系.G4,G5,G11【答案】【解析】(1)略(2)略解析：（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，

又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，

又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，

又∵AD?平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，

∴PQ⊥平面ABCD，

以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

則Q（0，0，0），），B（0，設(shè)0＜λ＜1，則平面CBQ的一個(gè)法向量=（0，0，1），設(shè)平面MBQ的法向量為=（x，y，z），

由，∵二面角M-BQ-C的大小為60°，

解得λ=，

∴存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意【思路點(diǎn)撥】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．

（2）以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出存在點(diǎn)M為線段PC靠近P的三等分點(diǎn)滿足題意．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（202211）】3、已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【學(xué)問點(diǎn)】空間中的平行與垂直關(guān)系.G4,G5【答案】【解析】D解析：錯(cuò)誤的緣由為n也可能屬于，所以A不正確，錯(cuò)誤的緣由為n也可能與m都在平面內(nèi)，錯(cuò)誤的緣由為可能是相交平面，所以C不正確，只有D是正確選項(xiàng).【思路點(diǎn)撥】由平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理可得到正確結(jié)果.【數(shù)學(xué)理卷·2021屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（202211）】19．（本小題滿分12分）如圖,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．（1）求證：⊥（2）若，，為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【學(xué)問點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．G4G5G11【答案】【解析】(1)見解析；(2)解析：(1)證明：三棱柱為直三棱柱，平面，又平面，-平面，且平面，.又平面,平面,，平面，又平面，⊥…………5分(2)由（1）知,如圖,以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系平面，其垂足落在直線上,. 在中，，AB=2，,在直三棱柱中，.在中，,則(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）設(shè)平面的一個(gè)法向量則即可得設(shè)平面的一個(gè)法向量則即可得平面與平面的夾角的余弦值是………12分（或在中，，AB=2,則BD=1可得D(平面與平面的夾角的余弦值是………12分）【思路點(diǎn)撥】(1)由已知得平面，，．由此能證明．(2)由（1）知,如圖,以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國(guó)語學(xué)校高三11月月考（202211）(1)】18．（12分）在四棱錐中，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，．（1）證明：面面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直的判定；線面角的求法.G5G11【答案】【解析】(1)略(2)解析：（1）由，得，又由于，且，所以面，……4分且面．所以，面面。……6分（2）過點(diǎn)作，連結(jié)，由于，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平面平面，過點(diǎn)作，即有平面，所以為直線與平面所成角．……9分在四棱錐中，設(shè)，則，，，∴，從而，即直線與平面所成角的正弦值為．…【思路點(diǎn)撥】（1）要證面面垂直，只需證其中一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于另一平面，對(duì)于本題，只需證明PM⊥AB，可由△ABP∽△PBM證明PM⊥AB；（2）過點(diǎn)作，連結(jié)，證明平面平面，過點(diǎn)作，則為直線與平面所成角．在四棱錐中，設(shè)，則，，，∴，，從而.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】19.（本小題12分）如圖1，在直角梯形中，，，且．現(xiàn)以為一邊向梯形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直，為的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：∥平面;（2）求證：;（3）求點(diǎn)到平面的距離.【學(xué)問點(diǎn)】線面平行線面垂直點(diǎn)到平面的距離G4G5G【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3）解析：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．在△中，分別為的中點(diǎn)，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形．所以∥．又由于平面，且平面，所以∥平面．（2）在正方形中，．又由于平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以．所以平面．（3）：平面,所以，所以又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則，所以，所以點(diǎn)到平面的距離等于.【思路點(diǎn)撥】證明線面平行及線面垂直主要利用其判定定理進(jìn)行證明，求點(diǎn)到平面的距離，若直接求距離不便利時(shí)，可利用三棱錐的等體積法求距離.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】6．已知兩條不重合的直線和兩個(gè)不重合的平面有下列命題：①若，則； ②若則③若是兩條異面直線，則④若則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【學(xué)問點(diǎn)】空間平行與垂直關(guān)系G4G5【答案】【解析】C解析：若，則直線n與平面α平行或在平面α內(nèi)，所以①錯(cuò)誤；若，則n⊥α,垂直于同始終線的兩面平行，所以，則②正確；若是兩條異面直線，過直線m上任意一點(diǎn)作直線k∥n，則m,k確定一個(gè)平面γ，若，則α∥γ，β∥γ，所以α∥β，則③正確；由兩面垂直的判定定理可知④正確，綜上可知選C【思路點(diǎn)撥】推斷線線、線面、面面位置關(guān)系問題，生疏它們的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)系，能直接用定理推斷或推導(dǎo)的可直接推斷，無法推導(dǎo)的可考慮反例法排解.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國(guó)語學(xué)校高三11月月考（202211）】18．（12分）在四棱錐中，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，．（1）證明：面面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【學(xué)問點(diǎn)】面面垂直的判定；線面角的求法.G5G11【答案】【解析】（1）證明：見解析；（2）.解析：解：（1）由，得，又由于，且，所以面，…4分且面．所以，面面.……6分（2）過點(diǎn)作，連結(jié)，由于，且，所以平面，又由平面，所以平面平面，平