【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第七章-立體幾何7-3-

第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．若空間三條直線a，b，c滿(mǎn)足a⊥b，b⊥c，則直線a與c()A．肯定平行B．肯定相交C．肯定是異面直線D．平行、相交或異面都有可能解析當(dāng)a，b，c共面時(shí)，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，a與c可能異面也可能相交．答案D2．如圖是某個(gè)正方體的側(cè)面開(kāi)放圖，l1，l2是兩條側(cè)面對(duì)角線，則在正方體中，l1與l2()A．相互平行B．異面且相互垂直C．異面且?jiàn)A角為eq\f(π,3)D．相交且?jiàn)A角為eq\f(π,3)解析將側(cè)面開(kāi)放圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點(diǎn)重合．故l1與l2相交，連接AD，則△ABD為正三角形，所以l1與l2的夾角為eq\f(π,3).故選D.答案D3．l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1⊥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面解析A選項(xiàng)，l1⊥l2，l2⊥l3，則l1與l3的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面；B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)l1∥l2∥l3，則l1，l2，l3既可能共面，也可能異面；D選項(xiàng)，如長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三條棱為l1，l2，l3，但這三條直線不共面．答案B4．在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1A．3 B．4C．5 D．6解析由條件知，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條．答案C5．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α、β的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．答案D6．(2021·淮安模擬)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1A．30° B．45°C．60° D．90°解析分別取AB，AA1，A1C1的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)則BA1∥DE，AC1∥EF.所以異面直線BA1與AC1所成的角為∠DEF(或其補(bǔ)角)，設(shè)AB＝AC＝AA1＝2，則DE＝EF＝eq\r(2)，DF＝eq\r(6)，由余弦定理得，cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝－eq\f(1,2)，則∠DEF＝120°，從而異面直線BA1與AC1所成的角為60°.答案C二、填空題7．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是________．①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b解析當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面γ，但γ經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P，∴γ與α重合，∴b?α，故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確．答案③④8．在空間中，①若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線；②若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線．以上兩個(gè)命題中，逆命題為真命題的是________(把符合要求的命題序號(hào)都填上)．解析對(duì)于①可舉反例，如AB∥CD，A，B，C，D沒(méi)有三點(diǎn)共線，但A，B，C，D共面．對(duì)于②由異面直線定義知正確，故填②.答案②9．已知空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列推斷：①M(fèi)N≥eq\f(1,2)(AC＋BD)；②MN>eq\f(1,2)(AC＋BD)；③MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)；④MN<eq\f(1,2)(AC＋BD)．其中正確的是________．解析如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接MO，NO，則MO＝eq\f(1,2)AC，ON＝eq\f(1,2)BD，在△MON中，MN<OM＋ON＝eq\f(1,2)(AC＋BD)，∴④正確．答案④三、解答題10．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R證明(1)如圖所示，由于EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方體AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(2)在正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.由于Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β則Q是α與β的公共點(diǎn)．同理，P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn)．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．11．(2022·湖南卷)如圖，已知二面角α－MN－β的大小為60°，菱形ABCD在面β內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥面α，垂足為O.(1)證明：AB⊥平面ODE；(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值．解(1)證明：如圖，由于DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB.連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形．又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.(2)由于BC∥AD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即∠ADO是BC與OD所成的角．由(1)知，AB⊥面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α—MN—β的平面角，從而∠DEO＝60°.不妨設(shè)AB＝2，則AD＝2.易知DE＝eq\r(3).在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝eq\f(3,2).連接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝eq\f(DO,AD)＝eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與OD所成角的余弦值為eq\f(3,4).eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．如圖是三棱錐D—ABC的三視圖，點(diǎn)O在三個(gè)視圖中都是所在邊的中點(diǎn)，則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(2),2)解析由題意得如圖的直觀圖，從A動(dòng)身的三條線段AB，AC，AD兩兩垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中點(diǎn)，取AC中點(diǎn)E，連接DE，DO，OE，則OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即為所求兩異面直線所成的角或其補(bǔ)角．在直角三角形DAE中，DE＝eq\r(2)，由于O是中點(diǎn)，在直角三角形ABC中可以求得AO＝eq\r(2)，在直角三角形DAO中可以求得DO＝eq\r(3).在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝eq\f(1＋3－2,2×1×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，故所求余弦值為eq\f(\r(3),3).答案A2．如圖，E，F(xiàn)是AD上互異的兩點(diǎn)，G，H是BC上互異的兩點(diǎn)，由圖可知，①AB與CD互為異面直線；②FH分別與DC，DB互為異面直線；③EG與FH互為異面直線；④EG與AB互為異面直線．其中敘述正確的是()A．①③ B．②④C．①④ D．①②解析依據(jù)圖形，AB與CD互為異面直線，故①正確；當(dāng)F點(diǎn)與D重合時(shí)，B，F(xiàn)，C，H四點(diǎn)共面，F(xiàn)H與DC，DB不為異面直線，故②錯(cuò)誤；由于EG與FH不行能共面(否則A，B，C，D四點(diǎn)共面)，所以EG與FH互為異面直線，故③正確；當(dāng)G與B重合時(shí)，AB與EG為共面直線，故④錯(cuò)誤．所以應(yīng)選A.答案A3．在如圖所示的棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，作與平面ACD1解析截得的三角形中，面積最大的三角形A1C1B，面積為eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2eq\r(3).截得的平面圖形中，面積最大的是正六邊形，如圖，面積為6×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝3eq\r(3).答案2eq\r(3)3eq\r(3)4．如圖，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)．(1)證明：AD⊥C1E；(2)當(dāng)異面直線AC，C1E所成的角為60°時(shí)，求三棱錐C1－A1B1E的體積．解(1)證明：由于AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.由①，②得AD⊥平面BB1C由點(diǎn)E在棱BB1上運(yùn)動(dòng)，得C1E?平面BB1C1C，所以AD⊥C(2)由于AC∥A1C1，所以∠A1C1E是異面直線AC，C1E所成的角，由題設(shè)，∠A1C由于∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，從而A1C1⊥平面A1ABB1，于是