【名師一號(hào)】2022屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)練習(xí)：第六章-不等式、推理與證明6-6-

第六節(jié)直接證明與間接證明時(shí)間：45分鐘分值：100分eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1．(2022·山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析“至少有一個(gè)”的否定為“沒有”．答案A2．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C.eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0.答案D3．(2021·臨沂模擬)若P＝eq\r(a)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋3)＋eq\r(a＋4)(a≥0)，則P，Q的大小關(guān)系()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a取值打算解析假設(shè)P<Q，∵要證P<Q，只要證P2<Q2，只要證：2a＋7＋2eq\r(aa＋7)<2a＋7＋2eq\r(a＋3a＋4)，只要證：a2＋7a<a2＋7只要證：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．答案C4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0，故選A.答案A5．不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，并且x是a，b的等比中項(xiàng)，y是b，c的等比中項(xiàng)，則x2，b2，y2三數(shù)()A．成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B．成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列解析由已知條件，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a＋c＝2b，,①,x2＝ab，,②,y2＝bc，,③)))由②③得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(x2,b)，,c＝\f(y2,b)，))代入①，得eq\f(x2,b)＋eq\f(y2,b)＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差數(shù)列，故選B.答案B6．設(shè)x，y，z>0，則三個(gè)數(shù)eq\f(y,x)＋eq\f(y,z)，eq\f(z,x)＋eq\f(z,y)，eq\f(x,z)＋eq\f(x,y)()A．都大于2B．至少有一個(gè)大于2C．至少有一個(gè)不小于2D．至少有一個(gè)不大于2解析假設(shè)這三個(gè)數(shù)都小于2，則三個(gè)數(shù)之和小于6，又eq\f(y,x)＋eq\f(y,z)＋eq\f(z,x)＋eq\f(z,y)＋eq\f(x,z)＋eq\f(x,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,z)＋\f(z,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(x,z)))≥2＋2＋2＝6，與假設(shè)沖突，故這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.另取x＝y(tǒng)＝z＝1，可排解A、B.答案C二、填空題7．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，則a，b的大小關(guān)系為________．解析a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明顯，eq\r(6)<eq\r(7).∴a<b.答案a<b8．在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，則a5和b5的大小關(guān)系為______________．解析方法一：設(shè)公比為q，公差為d，則a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，故由a3＝b3，得2d＝a1(q2－1)．又∵a1≠a3，∴q2≠1.∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1q4－[a1＋2a1(q2＝a1(q2－1)2＞0.∴a5＞b5.方法二：∵在等比數(shù)列{an}中，a1≠a3，∴公比不為1.∴a1≠a5.又∵a1＝b1，a3＝b3，a5＝a3q2＞0(q為公比)，∴b3＝eq\f(b1＋b5,2)＝a3＝eq\r(a1a5)＜eq\f(a1＋a5,2)＝eq\f(b1＋a5,2).∴a5＞b5.答案a5＞b59．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)的圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為__________．解析an＝eq\r(n2＋1)，bn＝n.方法一：cn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)隨n的增大而減小，為減函數(shù)，∴cn＋1＜cn.方法二：cn＋1＝eq\r(n＋12＋1)－(n＋1)，cn＝eq\r(n2＋1)－n，∴eq\f(cn,cn＋1)＝eq\f(\r(n2＋1)－n,\r(n＋12＋1)－n＋1)＝eq\f(\r(n＋12＋1)＋n＋1,\r(n2＋1)＋n)＞1.∴cn＞cn＋1.答案cn＞cn＋1三、解答題10．設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且對(duì)全部正整數(shù)n，有Sn＝eq\f(1－qn,1－q)，推斷{an}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．解(1)方法一：設(shè){an}的公差為d，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝eq\f(na1＋an,2).方法二：設(shè){an}的公差為d，則Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2){an}是等比數(shù)列．證明如下：∵Sn＝eq\f(1－qn,1－q)，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1－qn＋1,1－q)－eq\f(1－qn,1－q)＝eq\f(qn1－q,1－q)＝qn.∵a1＝1，q≠0，∴當(dāng)n≥1時(shí)，有eq\f(an＋1,an)＝eq\f(qn,qn－1)＝q，因此，{an}是首項(xiàng)為1且公比為q的等比數(shù)列．11．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若f(c)＝0，且0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試用反證法證明eq\f(1,a)>c.證明(1)∵f(x)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2.∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝eq\f(c,a)，∴x2＝eq\f(1,a)(eq\f(1,a)≠c)，∴eq\f(1,a)是f(x)＝0的一個(gè)根，即eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．(2)假設(shè)eq\f(1,a)<c，又eq\f(1,a)>0，由0<x<c時(shí)，f(x)>0，知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>0與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝0沖突，∴eq\f(1,a)≥c，又∵eq\f(1,a)≠c，∴eq\f(1,a)>c.eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1．設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a、b中至少有一個(gè)大于1”解析若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對(duì)于③，即a＋b>2，則a、b中至少有一個(gè)大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2沖突，因此假設(shè)不成立．故a、b中至少有一個(gè)大于1.答案③2．若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f(c)>0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是________．解析方法一：(補(bǔ)集法)令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝－2p2＋p＋1≤0，,f1＝－2p2－3p＋9≤0，))解得p≤－3或p≥eq\f(3,2)，故滿足條件的p的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).方法二：(直接法)依題意有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，得－eq\f(1,2)<p<1或－3<p<eq\f(3,2)，故滿足條件的p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))3．(2022·天津卷)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)．設(shè)集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．(1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，用列舉法表示集合A；(2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.證明：若an<bn，則s<t.解(1)當(dāng)q＝2，n＝3時(shí)，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，