建筑工程測(cè)量高等教育出版社88課件講解

高等教育出版社建筑工程測(cè)量（第三版）

李仲

4.4全站儀

第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)第三節(jié)觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

5.3

觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

一、算術(shù)平均值設(shè)對(duì)某一個(gè)量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，得觀測(cè)值為l1、l2、…ln，則該量的最或然值就是算術(shù)平均值x，即下面將說明算術(shù)平均值為什么是最或然值。若設(shè)觀測(cè)量的真值為X，則觀測(cè)值的真誤差△1，△2，…，△n可由真值X與觀（5.5）

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

測(cè)值l1，l2，…，ln算出，即：:將上列等式相加并除以n，得：根據(jù)偶然誤差第四特性：

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

所以 才最接近于真值X。但實(shí)際上對(duì)某量觀測(cè)的次數(shù)是有限的，這樣由觀測(cè)值算出的算術(shù)平均值雖不等于真值X，但比所有觀測(cè)值都更為可靠。因此，人們總是把算術(shù)平均值看作最或然值。上式說明，只有當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，算術(shù)平均值x

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

二、算術(shù)平均值的中誤差

同一量的等精度觀測(cè)值的算術(shù)平均值，仍是一個(gè)有誤差的量，其中誤差以mx表示，則第四節(jié)將會(huì)證明：所以說算術(shù)平均值比觀測(cè)值最為可靠。（5.6）

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

三、觀測(cè)值的改正數(shù)

如前所述，當(dāng)觀測(cè)值的真誤差為已知時(shí)，觀測(cè)值的中誤不知道的，因此，只有根據(jù)算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，即最或然誤差v（v=x－l），按下式來計(jì)算觀測(cè)值的中誤差，（5-7）

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

現(xiàn)將（5.7）式證明于下；按真誤差和最或然誤差的定義可以寫出：

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

式（b）取總和得：[v]=nx－[l]所以[v]=0 （5.8）由于公式（5.8）通常作為計(jì)算檢核用。由式（a）－式（b）得

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

△1=v1+(X－x)△2=v2+(X－x)……△n=vn+(X－x)將（c）式兩邊平方并相加得： [△△]=[vv]+n（X－x）2+2（X－x）[v]（C）因?yàn)? [v]=0

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

所以 [△△]=[vv]+n（X－x）2上式兩邊除以n，得式中（X－x）是算術(shù)平均值的真誤差，該值無法求得，故常用算術(shù)平均值中誤差代替，于是上式變成考慮公式（5.3）、（5.6），上式可寫為：

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

化簡(jiǎn)整理得公式（5-7），即

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

【例5.2】設(shè)對(duì)線段AB丈量五次，其結(jié)果列于表5.4中。試求線段AB的算術(shù)平均值、算術(shù)平均值中誤差及其相對(duì)誤差。

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

因?yàn)椋簐i=x－li，

【解】：所以：v1=x－l1=121.351-121.361=-0.010mv2=x－l2=121.351-121.330=+0.021mv3=x－l3=121.351-121.344=+0.007mv4=x－l4=121.351-121.352=-0.001m

v5=x－l5=121.351-121.368=-0.017m

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

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觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差

【解】：