四川省涼山州2024屆高三二診理科數(shù)學(xué)試題

四川省涼山州2024屆高三二診理科數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知復(fù)數(shù)z=1+i，則|zA．12 B．1 C．2 2．已知集合A={y|y=x+1,?1≤x≤1}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，則A．[0,2] B．[2,+∞) C．3．已知A(2,2)在拋物線C:y2A．1 B．32 C．2 D．4．已知X～N(1,σ2)，且P(x≤a?1)=P(x≥2)，則在A．5 B．10 C．15 D．205．已知命題“?x∈R，sin2(π+x)+2A．[?2,+∞) B．(?2,+∞) C．6．為了傳承和弘揚雷鋒精神，凝聚榜樣力量.3月5日學(xué)雷鋒紀念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時代力量”的征文比賽．此次征文共5個題目，每位參賽學(xué)生從中隨機選取一個題目準備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（）A．35 B．45 C．9257．已知正數(shù)a,b滿足a+2b=1A．2 B．22 C．1228．若曲線y=x在x=1處的切線與圓C：x2+y2=4交于A．5 B．25 C．955 9．若實數(shù)x，y滿足不等式|x|+|y|≤2，則x2A．π8 B．π6 C．π410．已知在三棱錐P?ABC中，PA=3，PB=PC=2，底面ABCA．3π B．13π3 C．4π D．11．若f(x)=xsinx+cosx?1，A．0 B．1 C．2 D．312．已知點P(x,y)是曲線y=xA．25?1510 B．25?二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3+14．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB?bcosA15．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點，且BE=6，BF=3，?BE,BF?=π16．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．點A在C三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，（1）求an（2）設(shè)bn=log12|18．常言道：文史不分家，其實數(shù)學(xué)與物理也不分家．“近代物理學(xué)之父”——牛頓大約在1671年，完成了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》這部書，標志著微積分的正式創(chuàng)立．某學(xué)校課題小組針對“高中學(xué)生物理學(xué)習(xí)成績與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的關(guān)系”進行了一系列的研究，得到了高中學(xué)生兩學(xué)科的成績具有線性相關(guān)的結(jié)論．現(xiàn)從該校隨機抽取6名學(xué)生在一次考試中的物理和數(shù)學(xué)成績，如表（單位：分）物理成績x636874768590數(shù)學(xué)成績y9095110110125130（1）經(jīng)過計算，得到學(xué)生物理學(xué)習(xí)成績x與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績y滿足回歸方程y=1.（2）若要從抽取的這6名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生參加一項問卷調(diào)查，記數(shù)學(xué)成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于F．（1）求證：PA//平面BDE；（2）求二面角F?CD?B的正切值．20．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到：橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知F1是橢圓C：x2a2+y2（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)點A(t,0)，(t>?1)，以F1A為直徑的圓與橢圓C在x軸上方交于M，21．已知函數(shù)f(x)=x+asin（1）若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）設(shè)g(x)=x?12sinx?ln22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2?2t21+t2y=2t1+t2（1）求曲線C的普通方程與直線l1（2）若與直線l1垂直的直線l2交曲線C于A，B兩點，求23．已知函數(shù)f(x)=|x|．（1）求不等式f(ln（2）若函數(shù)g(x)=f(x)?f(x?1)的最小值為m，且正數(shù)a，b，c滿足a+b+c+2m=0，求a2

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：復(fù)數(shù)z=1+i，則z=1?i，zz=故答案為：B.【分析】先求共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡求復(fù)數(shù)的模即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：易知集合A=[0,2]，集合B=(?∞,a]，因為A∪B=B，得故答案為：B.【分析】求出函數(shù)值域求得集合A，再利用集合關(guān)系求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因為點A(2,2)在拋物線C上，代入可得4p=4，解得p=1，

所以拋物線準線方程為由拋物線定義知：點A到C的焦點的距離為2+1故答案為：D.【分析】由點在拋物線上代入求得p的值，從而得拋物線的準線方程，再結(jié)合拋物線定義求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：因為隨機變量服從X～N(1,σ2)，且P(x≤a?1)=P(x≥2)，所以則(x+2a)5=(x+2)5，含故答案為：B.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出a，再利用二項式定理求含x25．【答案】B【解析】【解答】解：因為命題“?x∈R，sin所以命題的否定“?x0∈R則m>?sin2又?si因為cosx∈[?1,1]，所以(?sin2(π+x)?2cosx)故答案為：B.【分析】由題意可知原命題的否定為真命題，分離參數(shù)將存在問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可知：甲、乙、丙同學(xué)選擇一個題目各有5種選法，則3人到四個社區(qū)參加志愿服務(wù)共有53若甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目，共有A53=60故答案為：D.【分析】根據(jù)分步計算原理求得3名同學(xué)選題的不同方法總數(shù)，再計算甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的選法數(shù)，最后利用古典概率的計算公式計算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：因為a>0，b>0，1e1x則aba當且僅當ab=2ba，即a=1故答案為：C.【分析】由題意，利用定積分求得a+2b=1，代入aba8．【答案】D【解析】【解答】解：曲線y=fx=x，求導(dǎo)可得y'=f'x=12x，即f'1=12，則切線AB的斜率為12點C(0,0)到直線AB故答案為：D.【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線AB的方程，再利用圓的弦長公式計算即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：|x|+|y|=x+y則x2+y故答案為：A.【分析】由題意，畫出不等式|x|+|y|≤2以及x210．【答案】B【解析】【解答】解：因為PA=3，PB=PC=2，△ABC所以PA2+AB2=4=PB2，即PA⊥AB，同理于是PA⊥平面ABC，設(shè)△ABC的外心為O1，三棱錐P?ABC外接球球心為O則OO1⊥平面ABC，顯然球心O在線段PA的中垂面上，取PA的中點D，如圖所示，則OD⊥PA而OO1//PA，則四邊形所以球半徑R=OP=OD2+PD故答案為：B.【分析】根據(jù)給定條件，證得PA⊥平面ABC，再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑即可求三棱錐的外接球的表面積.11．【答案】C【解析】【解答】解：函數(shù)f(x)=xsinx+cos當f'(x)<0時，x∈(?π2,當f'(x)>0時，x∈(0,π2又f(?π2)=π2?1>0，則f(x)=xsin由圖象可得函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.故答案為：C.【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，畫出函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷函數(shù)的零點個數(shù).12．【答案】D【解析】【解答】解：原式化簡可得3x+y+1x2+(y+1)聯(lián)立直線與曲線方程3x+y+1=0y=x2，消元整理可得即直線l與曲線y=x2相離，且x2+3x+1=0，則曲線過P作PH⊥l于H，

則|PH|=3x+y+1(令過點A的直線與曲線y=x2相切的切點為(t,t故切線的斜率2t=t2+1t?0，解得而點A在曲線y=x2的對稱軸上，曲線y=x當點P的坐標為(1,1)時，銳角∠PAH最大，此時|PH|=所以3x+y+1x2故答案為：D.【分析】化簡原式，令直線l：3x+y+1=0，判斷直線3x+y+1=0與曲線y=x2的位置關(guān)系，

利用式子3x+y+1x13．【答案】27【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3+a5=10，得則數(shù)列{an}的公差d=a9故答案為：27.【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d14．【答案】π【解析】【解答】解：因為acosB?bcos又因為A+B+C=π，所以sinC=sinπ-整理得sinAcosB?又因為sinB>0，所以cosA=12，而故答案為：π【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式計算即可.15．【答案】12【解析】【解答】解：?ABCD中，延長BF與AD的延長線交于點O，連接BD，如圖所示：

因為E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點，所以S△ABE=S△DBE由BC//DO，得F是BO的中點，且S△EFOS△DEF=13S故?ABCD的面積123故答案為：123【分析】延長BF與AD的延長線交于點O，求出△BEF的面積，并探討△DEF與△OEF面積的關(guān)系即可求解.16．【答案】y=±【解析】【解答】解：因為F1A→2=F1A→?(OA→?OB→)，所以F1又因為|AF1|?|A在直角三角形AF1B中，因為|AB|2=所以|AF2|=2a，|F2B|=|F又cos∠整理得9a2=5c2，所以9故雙曲線C的漸近線方程為y=±2故答案為：y=±2【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的運算得F1B⊥F1A，設(shè)|AF2|=2m，利用勾股定理得a=m，在17．【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由8則a4+a5+而a1+a2+所以an（2）解：由（1）知，|an|則Tn于是2T兩式相減得?T即Tn【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)已知條件，求出數(shù)列{（2）由（1）即可求bn18．【答案】（1）解：依題意，x=63+68+74+76+85+906于是110=1.5×76+m，解得m=?4，因此y=1.5x?4所以物理成績?yōu)?5分，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績?yōu)?38.（2）解：依題意，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績低于100分的有2人，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績不低于100分的有4人，因此X的可能值為1，2，3，P(X=1)所以X的分布列為X123P131數(shù)學(xué)期望E(【解析】【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)，求物理和數(shù)學(xué)的平均成立，代入回歸方程求出m的值，并預(yù)測數(shù)學(xué)成績即可；（2）由題意，求出X的可能值以及對應(yīng)的概率，列出分布列并求數(shù)學(xué)期望即可.19．【答案】（1）證明：連接AC交BD于點O，連接EO，因為四邊形ABCD為正方形，所以O(shè)為AC中點，又E為PC中點，所以O(shè)E//PA，因為OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以PA//平面BDE.（2）解：因為PD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD?平面PAD，所以PD⊥平面ABCD，又AD⊥CD，所以以D為坐標原點，DA,DC,則B(2,2,0)，E(0,1,所以BE→=(?2,?1,設(shè)BF=λBP，則BF=(?2λ因為EF⊥PB，所以EF→?BP所以BF→=(?43,設(shè)平面FCD的法向量n=(x,y,z)，則DC?n=2y=0DF?n因為z軸⊥平面BCD，所以平面BCD的一個法向量m=(0由圖形可知：二面角F?CD?B為銳二面角，設(shè)其為θ，則cosθ=|n即二面角F?CD?B的正切值為2.【解析】【分析】（1）連接AC交BD于點O，連接EO，由中位線性質(zhì)可得OE//PA，根據(jù)線面平行的判定證明即可；（2）由面面垂直性質(zhì)可得PD⊥平面ABCD，以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，令BF=λBP，結(jié)合EF⊥PB可構(gòu)造方程求得λ，從而得20．【答案】（1）解：由題意可得ab=23ca所以橢圓C的標準方程為：x2（2）解：因為A(t,0)，F(xiàn)1(?1,0)，所以以設(shè)M(x1,y1由韋達定理可得：x1又|F同理，|F所以1t+1【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)列方程組，求出a,（2）根據(jù)已知條件，求出以F1A為直徑的圓的方程，聯(lián)立橢圓和圓方程，消元整理，由韋達定理得x121．【答案】（1）解：函數(shù)f(x)因為f(x)在R上為增函數(shù)，所以f'(x)=1+acosx≥0在R上恒成立，

所以a的取值范圍為[?1（2）證明：函數(shù)g(x)由g(x1由（1）知，函數(shù)f(x)不妨令x2>x1>0亦即12(x于是lnx2?下面證明：x2?x1ln令t=x2x1,(求導(dǎo)得φ'(t)=于是φ(t)<φ(【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為f'x≥0在（2）由（1）可知函數(shù)f(x)=x?sinx在22．【答案】（1）解：曲線C的參數(shù)方程為x=2?2t2又y2=4即曲線C的普通方程為x2根據(jù)ρcosθ=xρ即直線l1的直角坐標方程為x+y?8=0（2）解：設(shè)與直線