2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（蘇科版）第十一章 反比例函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第十一章反比例函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)解析式。能畫出反比例函數(shù)圖像，理解圖像的性質(zhì)和坐標(biāo)特征，解決k值相關(guān)面積問題能用反比例解決實(shí)際應(yīng)用問題【知識(shí)點(diǎn)1、反比例函數(shù)的概念】一般地，形如(為常數(shù)，)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)，自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).反比例函數(shù)的等價(jià)形式：eq\o\ac(○,1)（）②()③xy=k()【知識(shí)點(diǎn)2、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)】1、反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限．它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與軸、軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交．觀察反比例函數(shù)的圖象可得：和的值都不能為0，并且圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)．①的圖象是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為兩條直線；②的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)（0，0）；③(k≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于軸對(duì)稱.注：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱.2、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）圖象位置與反比例函數(shù)性質(zhì)當(dāng)時(shí)，同號(hào)，圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，異號(hào)，圖象在第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.（2）若點(diǎn)()在反比例函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（）也在此圖象上，故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（3）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)比較正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式圖像直線有兩個(gè)分支組成的曲線（雙曲線）位置，一、三象限，二、四象限，一、三象限

，二、四象限增減性，隨的增大而增大

，隨的增大而減小，在每個(gè)象限，隨的增大而減小

，在每個(gè)象限，隨的增大而增大【知識(shí)點(diǎn)3、反比例函數(shù)y＝中的意義】①過雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.②過雙曲線(≠0)上任意一點(diǎn)作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)，所得三角形的面積為.1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=題型一反比例函數(shù)的定義【例1】下列各式中，是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【例2】下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．【例3】．下列函數(shù)不是反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．下列各項(xiàng)中，是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．題型二判斷反比例函數(shù)關(guān)系【例4】下列兩個(gè)變量成反比例函數(shù)關(guān)系的是（

）A．圓的面積S與它的半徑r之間的關(guān)系 B．電壓一定時(shí)，電流I與電阻R之間的關(guān)系C．速度一定時(shí)，路程S與時(shí)間t之間的關(guān)系 D．在等腰三角形中，頂角y與底角x之間的關(guān)系鞏固訓(xùn)練4．下列各變量之間的關(guān)系屬于反比例函數(shù)關(guān)系的有（）①當(dāng)路程一定時(shí)，汽車行駛的平均速度v與行駛時(shí)間t之間的關(guān)系；②當(dāng)商品的進(jìn)價(jià)一定時(shí)，利潤k與售價(jià)a之間的函數(shù)關(guān)系；③當(dāng)矩形的面積一定時(shí)，矩形的長a與寬b之間的函數(shù)關(guān)系；④當(dāng)電壓一定時(shí)，電路中通過的電流強(qiáng)度I與電阻R之間的函數(shù)關(guān)系．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)題型三根據(jù)反比例性質(zhì)求參數(shù)【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)不在該反比例函數(shù)的圖象上，則的值可以為（

）A． B． C． D．【例6】若在反比例函數(shù)圖象的每一支上，y都隨x的增大而增大，數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練5．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，則a的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型四判斷反比例函數(shù)圖像【例7】如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象大致可以是（）A．

B．

C．

D．

【例8】反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練7．一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．8．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（）A．B．C． D．9．函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A． B．C． D．題型五反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征【例9】已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．【例10】已知點(diǎn)與點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是．【例11】在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．鞏固訓(xùn)練10．如圖，正比例函數(shù)（）與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．求點(diǎn)的坐標(biāo)．

11．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，試判斷點(diǎn)，是否在此函數(shù)的圖象上．12．下列四個(gè)點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上的是（

）A． B． C． D．13．如圖，過原點(diǎn)的一條直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．14．如圖，雙曲線與直線相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．題型六反比例函數(shù)中k值的幾何意義【例12】如圖，在中，，軸，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（

）A．6 B． C． D．【例13】平行四邊形的邊在軸上，頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，與軸相交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，若平行四邊形的面積為8，則的值為（

）A． B．2 C． D．4【例14】如圖，為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，垂直軸于點(diǎn)，若，則的值為（

）

A．8 B．4 C．2 D．不能確定鞏固訓(xùn)練15．如圖，是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，若的面積為18，則的值為（

）A．9 B．12 C．18 D．2016．如圖，點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和圖象上，分別過A、B兩點(diǎn)向x軸，y軸作垂線，形成的陰影部分的面積為5，則k的值為．17．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖像上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，的面積為3，則的值為．18．如圖，點(diǎn)、均在反比例函數(shù)（，）的圖像上，連接、，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知點(diǎn)為的中點(diǎn)，且的面積為4，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．題型七待定系數(shù)法求反比例解析式【例15】已知反比例函數(shù)的解析式，并且當(dāng)時(shí)，．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．鞏固訓(xùn)練19．已知關(guān)于x的反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求m的值；(2)判斷該反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的象限；(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大怎樣變化？題型八反比例函數(shù)性質(zhì)的綜合判斷【例16】如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，則以下說法不正確的是（

）A．若圖中矩形的面積為2，則 B．，y隨x的增大而減小C．圖象也經(jīng)過點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，【例17】已知點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，有，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練20．已知點(diǎn)，都在雙曲線上，且，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．21．若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或題型九反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例18】如圖，已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流Ⅰ（単位：）與電阻（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過，那么用電器可變電阻的變化范圍為．【例19】驗(yàn)光師通過檢測發(fā)現(xiàn)近視眼鏡的度數(shù)（度）與鏡片焦距（米）成反比例，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖所示．經(jīng)過一段時(shí)間的矯正治療后，小雪的鏡片焦距由米調(diào)整到米，則近視眼鏡的度數(shù)減少了度．【例20】數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)，物理研究也離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的支撐．密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積V（單位：）變化時(shí)，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示，當(dāng)時(shí)，．(1)求密度關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求V的值．鞏固訓(xùn)練22．如圖，一輛汽車勻速通過某段公路，所需時(shí)間與行駛速度的圖象為雙曲線的一段，若這段公路行駛速度不得超過，則該汽車通過這段公路最少需要（

）A．40分鐘 B．45分鐘 C．55分鐘 D．60分鐘23．某校對(duì)數(shù)室采用藥薰法進(jìn)行滅蚊，根據(jù)藥品使用說明，藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與藥物點(diǎn)燃后的時(shí)間成正比例，藥物燃盡后，與成反比例，已知藥物點(diǎn)燃后燃盡，此時(shí)室內(nèi)每立方米空氣中含藥量為．根據(jù)滅蚊藥品使用說明，當(dāng)每立方米空氣中含藥量不低于且持續(xù)時(shí)間不低于時(shí)，才能有效殺滅室內(nèi)的蚊蟲，那么此次滅蚊的有效時(shí)間為分鐘．24．某校組織活動(dòng)，一小組需在室外搭建臨時(shí)木屋，板對(duì)地面的壓強(qiáng)p（）是木板面積S（）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示，當(dāng)木板的壓強(qiáng)為500時(shí)，求木板的面積．25．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓(千帕)是氣球的體積(立方米)的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示．(千帕是一種壓強(qiáng)單位)

(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)氣球的體積為立方米時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕?(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，求氣球的體積應(yīng)控制的范圍．26．裝卸工人往一輛大型運(yùn)貨車上裝載貨物，裝完貨物所需時(shí)間與裝載速度x之間的函數(shù)關(guān)系如圖：(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果以的速度裝貨，需要多長時(shí)間才能裝完貨物？題型十反比例函數(shù)與一次函數(shù)的結(jié)合【例21】已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；(2)在同一坐標(biāo)系中畫出上述兩個(gè)函數(shù)圖象，觀察圖象：當(dāng)時(shí)，直接寫出自變量x的取值范圍．【例22】已知反比例（為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1)求的