重慶市主城區(qū)2024屆高三上學(xué)期第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（原卷版）

第6頁/共6頁高2024屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測（第一次）數(shù)學(xué)試卷（數(shù)學(xué)試題卷共6頁，考試時間120分鐘，滿分150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考號填寫在答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡指定位置上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，其中i為虛數(shù)單位，則等于（）Ai B. C.1 D.2.已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A. B. C. D.3.2023年10月31日，神州十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對航天熱愛.某校組織高中學(xué)生參加航天知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取100名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則（）A. B.C. D.4.英國著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（）A. B.C. D.5.已知某社區(qū)居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（）A.0.642 B.0.648 C.0.722 D.0.7486.已知定義在R上的函數(shù)滿足：，且時，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.7.過點作圓的兩條切線，切點分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.8.2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉樣物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學(xué)校科技廣場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A.50 B.36 C.26 D.14二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A B.C. D.10.已知函數(shù)，則在有兩個不同零點的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.11.已知拋物線的焦點為為坐標(biāo)原點，其準(zhǔn)線與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于不同兩點，則下列說法正確的是（）AB.存在C.不存在以為直徑且經(jīng)過焦點的圓D.當(dāng)?shù)拿娣e為時，直線的傾斜角為或12.如圖，在邊長為1的正方體中，是的中點，是線段上的一點，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)點與點重合時，直線平面B.當(dāng)點移動時，點到平面的距離為定值C.當(dāng)點與點重合時，平面與平面夾角的正弦值為D.當(dāng)點為線段中點時，平面截正方體所得截面面積為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量滿足，則________．14.已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時，的最大值為________．15.已知點為橢圓的右焦點，過坐標(biāo)原點作一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點，，則該橢圓的離心率為________．16.已知數(shù)列的前項和為，且，記，則________；若數(shù)列滿足，則的最小值是________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在梯形中，為鈍角，，．（1）求；（2）設(shè)點為的中點，求的長．18.已知首項為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．19.實現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”是黨中央作出的重大戰(zhàn)略決策，新能源汽車、電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用．為了解某市電動汽車的銷售情況，調(diào)查了該市某電動汽車企業(yè)近6年產(chǎn)值情況，數(shù)據(jù)如下表所示：年份201820192020202120222023編號x123456產(chǎn)值y/百萬輛91830515980（1）若用模型擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗回歸方程（精確到0.01）；（2）為了進(jìn)一步了解車主對電動汽車的看法，從某品牌汽車4S店當(dāng)日5位購買電動汽車和3位購買燃油汽車的車主中隨機選取4位車主進(jìn)行采訪，記選取的4位車主中購買電動汽車的車主人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望，參考數(shù)據(jù)：，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率截距的最小二乘估計分別為．20.如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，．（1）若為的中點，求證：平面平面；（2）若平面與平面所成的角的余弦值為．（?。┣缶€段的長；（ⅱ）設(shè)為內(nèi)（含邊界）的一點，且，求滿足條件的所有點組成的軌跡的長度．21.已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點．（1）求點的軌跡