2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編:三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)小題綜合(解析版)_第1頁
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文檔簡介

與集09三角備敷的囹象易促質(zhì)木敷除合

十年考情-探規(guī)律

考點十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點1任意角和1.了解任意角和弧度制的概

弧度制及求扇形念,能進行弧度與角度的互化,

的弧長、面積計2022?全國甲卷、2020?浙江卷、2015?山東卷借助單位圓理解三角函數(shù)(正

算弦、余弦、正切)的定義,并能

(10年3考)利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)

考點2任意角的問題,理解并掌握同角三角函

三角函數(shù)2020?山東卷、2020?全國卷、2018?北京卷數(shù)的基本關(guān)系式(平方關(guān)系+商

(10年3考)數(shù)關(guān)系),夠利用公式化簡求

2024?全國甲卷、2023?全國乙卷、2021.全國甲卷值,能借助單位圓的對稱性利

考點3同角三角

2021?全國新I卷、2020?全國卷、2019?江蘇卷用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公

函數(shù)的基本關(guān)系

2018?全國卷、2018?全國卷、2016?全國卷式,能夠運用誘導(dǎo)公式解決相

(含弦切互化)

2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?福建卷關(guān)問題,該內(nèi)容是新高考卷的

(10年8考)

2015?四川卷必考內(nèi)容,一般會考查三角函

考點4誘導(dǎo)公式數(shù)化簡求值或特殊角求三角函

2023?全國甲卷、2022?浙江卷

及其化簡求值數(shù)值,需加強復(fù)習(xí)備考

2017?全國卷、2017?北京卷

(10年3考)

2024?全國甲卷、2024?天津卷、2024?上海卷2.能用五點作圖法作出正弦、

考點5三角函數(shù)

2024?北京卷、2022?全國新H卷、2022?全國乙卷余弦和正切函數(shù)圖象,并掌握

的圖象與性質(zhì)

2022?天津卷、2021?北京卷、2021?全國甲卷圖象及性質(zhì),能用五點作圖法

(基礎(chǔ))

2021?全國乙卷、2019?北京卷、2018?全國卷作出正弦型、余弦型和正切型

(10年6考)

2017?山東卷、2017?全國卷函數(shù)圖象,并掌握圖象及性質(zhì)

考點6三角函數(shù)2024.天津卷、2024.全國新I卷、2024?全國新H會求參數(shù)及函數(shù)解析式

的圖象與性質(zhì)卷該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)

(拔高)2024.全國新II卷、2023?全國甲卷、2023?全國乙容,一般會綜合考查三角函數(shù)

(10年10考)卷2023?天津卷、2023?全國新I卷、2023?全國新的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,需

II卷加強復(fù)習(xí)備考

2022?全國甲卷、2022?北京卷、2022?全國新I卷

2021?全國新I卷、2021?全國甲卷、2020?全國卷3.理解并掌握三角函數(shù)的圖象

2020?山東卷、2020?全國卷、2019?全國卷與性質(zhì),會先平移后伸縮或先

2019?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷伸縮后平移來綜合解決三角函

2019?全國卷、2018?江蘇卷、2018?全國卷數(shù)的伸縮平移變換,該內(nèi)容是

2018?全國卷、2018?北京卷、2017?全國卷新高考卷的載體內(nèi)容,一般會

2017?全國卷、2017?全國卷、2017?全國卷結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜

2016?全國卷、2016?全國卷、2016?山東卷合考查三角函數(shù)的伸縮平移變

2016?浙江卷、2016?上海、2015?四川卷、換,需加強復(fù)習(xí)備考

2015?安徽卷、2015?北京卷、2015?浙江卷

2015?湖南卷

考點7三角函數(shù)

的圖象與性質(zhì)2017?天津卷、2017?上海卷、2016?天津卷

(壓軸)2016?全國卷、2015?上海卷

(10年3考)

2023?全國甲卷、2022?天津卷、2022?浙江卷

2022?全國甲卷、2021?全國乙卷、2020?天津卷

考點8三角函數(shù)2020?江蘇卷、2019?天津卷、2018?天津卷

的伸縮平移變換2018?天津卷、2017?全國卷、2016?四川卷

(10年9考)2016?全國卷、2016?北京卷、2016?全國卷

2016?四川卷、2016?全國卷、2016?全國卷

2015?山東卷、2015?山東卷、2015?湖南卷

分考點二精準練工

考點01任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算

1.(2022?全國甲卷?高考真題)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度

的“會圓術(shù)",如圖,AB是以。為圓心,0A為半徑的圓弧,C是AB的中點,。在A8上,"會

CD1

圓術(shù)〃給出A3的弧長的近似值s的計算公式:s=AB^^~.當。4=2,NAO6=60。時,s=()

OA

11-3A/3dll-45/3-9-3/n9-473

2222

【答案】B

【分析】連接OC,分別求出AB,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解:如圖,連接OC,

因為C是A8的中點,

所以O(shè)CJ_AB,

又CDLAB,所以。,CD三點共線,

即OD=OA=OB=2,

又NAG?=60。,

所以AB=Q4=O3=2,

貝U0C=5故CD=2-0,

所以s=AB+支=2+31=上速?

OA22

故選:B.

2.(2020?浙江?高考真題)已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2兀,且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓,則

這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是.

【答案】1

【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組,由此求得底面半徑.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為〃,母線長為/,則

兀xrxl=2兀

-?1,,,解得r=l,/=2.

2x^-xr=—x2x^x/

I2

故答案為:1

【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.

3.(2015?山東?高考真題)終邊在y軸的正半軸上的角的集合是()

II2JII2J

C.<xx=-—+2fai,k^Z\D.sxx=+kn,k^z\

II2JII2J

【答案】A

【分析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解

【詳解】終邊在y軸正半軸上的角的集合是X]+2kit,k&Z

故選:A

考點02任意角的三角函數(shù)

1.(2020?山東?高考真題)已知直線/:y=xsine+cosd的圖像如圖所示,則角。是()

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出sin,<0、cos6>0,即可得出結(jié)果.

【詳解】結(jié)合圖像易知,sin<0,cos8>0,

則角。是第四象限角,

故選:D.

2.(2020?全國?高考真題)若a為第四象限角,則()

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.

【詳解】方法一:由a為第四象限角,可得q+2%乃<。<2?+2%匹

所以3〃+4左"<2a<4TT+4kjc,keZ

此時2c的終邊落在第三、四象限及>軸的非正半軸上,所以sin2av0

故選:D.

方法二:當二=一看時,cos2a=cos]-(J>0,選項B錯誤;

當a=時,cos2a=cosl---1<0,選項A錯誤;

由a在第四象限可得:sincif<0,costz>0,貝ijsin2a=2sinacosa<0,選項C錯誤,選項D正確;

故選:D.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號,二倍角公式,特殊角的三角函數(shù)值等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化

能力和計算求解能力.

3.(2018?北京?高考真題)在平面直角坐標系中,AB,CD,EF,G”是圓尤?+y2=1上的四段?。ㄈ鐖D),點P

在其中一段上,角a以Qr為始邊,OP為終邊,若tana<coscr<sina,則尸所在的圓弧是

C.EFD.GH

【答案】C

【詳解】分析:逐個分析A、B、C、D四個選項,利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.

詳解:由下圖可得:有向線段加為余弦線,有向線段MP為正弦線,有向線段AT為正切線.

A選項:當點尸在AS上時,cosa=x,sina=y,

..cosor>sin?,故A選項錯誤;

B選項:當點P在CD上時,cos(z=x,sina=y,tana=-,

/.tana>sina>cosa,故B選項錯誤;

C選項:當點P在庚上時,cosa=x,sina=yftancr=—,

.\sina>cosa>tancr,故C選項正確;

D選項:點尸在GH上且GH在第三象限,tana>0,sina<0,cosa<0,故D選項錯誤.

綜上,故選C.

點睛:此題考查三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想,作出圖形,找到

sin?,cosa,tana所對應(yīng)的三角函數(shù)線進行比較.

考點03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(含弦切互化)

1.(2024?全國甲卷?高考真題)已知一——=百,貝|tan[a+r]=()

cosi-siniv4)

A.2肉1B.2后一1C.是D.1-垂)

2

【答案】B

ccqa

【分析】先將一弦化切求得tan。,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【詳解】因為c°sc=6,

cosa-sina

所以-------=6,=>tana=1--,

1-tana3

廣廣…(兀、tana+1八不°

所以tana+—=----------=243-1,

V4J1-tana

故選:B.

2.(2023?全國乙卷?高考真題)若8£(0,3)」@118=;,則sin6-cose=.

【答案】-好

5

【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求sin。,進而可得結(jié)果.

【詳解】因為ee,則Sin"0,cos"0,

又因為tane=^^=g,則cos6=2sin。,

cos。2

且cos20+sin23=4sin20+sin20=5sin26=1,解得sin0=或sin6=(舍去),

55

所以sin6-cos6=sin6-2sin6=-sin6=-.

5

故答案為:一好.

5

(冗、cosa

3.(2021?全國甲卷?高考真題)若0,丁1*112(/=;;;~:—,則tana=()

V272-sincr

A715R75r45NA/15

15533

【答案】A

【分析】由二倍角公式可得tan2a=羋里=智華等,再結(jié)合己知可求得sina=;,利用同角三角函數(shù)

cos2al-2sina4

的基本關(guān)系即可求解.

【詳解】tan2aj…

2-sina

八sin2a2sinacosacosa

/.tan2a=--------=------------——=-----------

coslal-2sina2-sincr

(八二)八2sma1中,曰.1

ae0,—,「.coscwO,「?-----z—=------------,解得sina=一,

l2)l-2sin2a32-sintz4

r,」一V15sinaJ15

cosa=VI-sina=-----,/.tana=--------=------

4cosa15

故選:A.

【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查三角函數(shù)的化簡問題,解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sina.

4.(2021?全國新I卷?高考真題)若tan6=-2,則吧£@士史竺)=()

sin0+cos6

6226

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】C

[分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡,然后增添分母(1=sin20+cos2夕),進行齊次化處理,

化為正切的表達式,代入tan。=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進行齊次化處理得:

sin0(1+sin20)sin0(sin20+cos261+2sincos,、

-------------------=---------------------------------------------=sin6(sin6+cos0)

sin0+cos0sin0+cos6

_sin61(sin61+cos6*1)_tan2夕+tan。_4-2_2

sin2+cos201+tan261+45

故選:C.

【點睛】易錯點睛:本題如果利用tan。=-2,求出sindcos。的值,可能還需要分象限討論其正負,通過齊

次化處理,可以避開了這一討論.

5.(2020?全國,高考真題)已知ae(。,兀),且3cos26z—8cosc=5,貝。sino;=()

A布

31

1D.叵

C.一

39

【答案】A

【分析】用二倍角的余弦公式,將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的一元二次方程,求解得出costz,再用同角間

的三角函數(shù)關(guān)系,即可得出結(jié)論.

【詳解】3cos2a-8cosa=5,得6cos2a—8cosa-8=0,

2

即3cos2?!?cosa—4=0,解得cosa=—§或cosa=2(舍去),

又二ae(0,^),sina-Vl-cos2a-.

故選:A.

【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值,熟記公式是解題的關(guān)鍵,考查計算求解能

力,屬于基礎(chǔ)題.

tancr_2x、

6.(2019?江蘇?高考真題)已知可二^=一耳,貝1Jsin12a+:j的值是.

【答案】也.

10

【分析】由題意首先求得tan。的值,然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求

值的問題,最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.

tana_tana_tana(l-tana)_2

【詳解】由,(7i\~tan?+l-tana+1—3,

tana+-----------

I4)1-tancr

得3tan26Z—5tanc-2=0,

解得tan。=2,或tan。二一;.

si?nIc2a+—冗I=sm-2cacos—兀+cosc2asi?n—兀

I44

A/2Z.小小、A/2(2sincrcosa+cos2cr-sin2

二--(sm2a+cos2a---------------;-------;--------

2'2(sin26Z+cos2cif)

2tana+1-tan2a)

tan2or+1J?

2x2+1-22、V2

22l}=W

<+

<

綜上,sinf2a+—=—.

I4j10

【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值,滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法,利用分類討論和轉(zhuǎn)

化與化歸思想解題.

7.(2018?全國?高考真題)已知sina+cos/?=l,coscr+sin/7=0,則sin(a+/7)

【答案】-:

【分析】方法一:將兩式平方相加即可解出.

【詳解】[方法一]:【最優(yōu)解】

兩式兩邊平方相加得2+2sin(a+^)=1,sin(?+尸)=-J.

[方法二]:利用方程思想直接解出

兩式兩邊平方相加得;

sino=l-cos氏cosa=-sinJ3,cos^=則sina=—.

2

cosa=cosa=——

2所以sin(a+/?)=-(.

又<或“

顯,R屆

sin(3=sinp=_--

2

[方法三]:誘導(dǎo)公式十二倍角公式

由cosa+sin/=0,可得sin0=一cosa=sin——+a,則夕=2k"-----Fa或夕=2左乃+萬———+a(%£Z).

3冗

若。=2k7i+—+a(kGZ)代入得sina+cos/=2sin6r=l,即

sina=—,sin(cr+〃)=sinIlk7i+—+laI=一cos2a=2sin26Z-l=--.

IT

若/3=2k兀-5-a(keZ),代入得sina+cos#=0,與題設(shè)矛盾.

綜上所述,sin(a+尸)=一;.

[方法四]:平方關(guān)系+誘導(dǎo)公式

由cos2/3+sin2/3=(1-sinaf+(-cosa)2=2-2sina=1,得sina=(.

又tana=^^=^^^=—tan2=tan1—2],a=k7r-—(keZ),即2a=2左"一,,貝|

cosa—sin夕2v2J2

a+/3=2k7v-a(kGZ).從而sin(a+〃)=sin(2Z〃一a)=—sino=—g.

[方法五]:和差化積公式的應(yīng)用

由已知得(sina+cos尸)(cosa+sin/3)=—(sin2a+sin2/3)+cos(a-0)

=sin(a+/?)cos(a-/?)+cos(a—/?)=0,貝ijcos(a—尸)=0或sin(a+/7)=-1,

TTTT

若cos(a—分)=0,則a—〃=Jbr+5(aEZ),即a=〃+%萬+,(%£Z).

當人為偶數(shù)時,sina=cos(3,由sina+cos/?=l,^sina=cos/?=-,又

3131

cosa+sin/3=0,cosasin/3--sm113---,所以sin(a+/?)=sinacos尸+cosasin月=

當人為奇數(shù)時,since=-cos/?,得sinc+cos6=。,這與己知矛盾.

若sin(a+£)=_1,則a+£=2左;(笈eZ).貝I]sine==_cos',得sine+cos,=0,這

與已知矛盾.

綜上所述,sin(a+Q)=-;.

【整體點評】方法一:結(jié)合兩角和的正弦公式,將兩式兩邊平方相加解出,是該題的最優(yōu)解;

方法二:通過平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個三角函數(shù)值,進而解出;

方法三:利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系,從而解出;

方法四:基本原理同方法三,只是尋找角度關(guān)系的方式不同;

方法五:將兩式相乘,利用和差化積公式找出角度關(guān)系,再一一驗證即可解出,該法稍顯麻煩.

8.(2018?全國?高考真題)函數(shù)〃尤)=,‘a(chǎn)n:的最小正周期為

1+tanx

nn一

A.—B.—C.?D.27r

42

【答案】C

【詳解】分析:將函數(shù)“%)=產(chǎn)>進行化簡即可

1+tanx

sinx

詳解:由已知得f(%)=—tanx——cos2c———sinxeosx=-sin2x|k7i+—,kGZ\

'7l+tan2x]?(smx)22(2)

cosx

f(x)的最小正周期T=§=71

故選c.

點睛:本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式,屬于中檔題

3

9.(2016?全國考真題)若tana=—,則cos2a+2sin2a=

4

644816

A.—B.—C.1D.—

252525

【答案】A

33434

【詳解】試題分析:由tana=-,得sina=-,cos。=一或sina=--,cosa=——,所以

45555

c?c16,1264./>4*

cos2i+2sin2a-----F4x—=—,A.

252525

【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,倍角公式.

【方法點撥】三角函數(shù)求值:①"給角求值"將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化,通過相消或相約消去非特殊角,進

而求出三角函數(shù)值;②"給值求值"關(guān)鍵是目標明確,建立已知和所求之間的聯(lián)系.

10.(2016?全國?高考真題)若tan6=;,則8s2夕=

4114

A.——B.——C.一D.

5557

【答案】D

【詳解】cos2"cos2?!獫睂嬔贼?

1

2八I-

1-tan0_94

分子分母同時除以cos?。,即得:cos26=

1+tar^O]+15

9

故選D.

COS(dZ--)

11.(2015?重慶?高考真題)若tana=2tan2,則--------)

5sin(?-1)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

=cosL^-

【詳解】cosa+

l5

.71.71

sincrcos——Fcosasm——

所以原式=55

.71.71

sinacos-——cosasm—

55

兀c71

tan(7+tan—3tan—

-----1=—f

nn

tana-tan—tan—

55

故選C.

點睛:三角恒等變換的主要題目類型是求值,在求值時只要根據(jù)求解目標的需要,結(jié)合已知條件選用合適

的公式計算即可.本例應(yīng)用兩角和與差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角關(guān)系式使得已知條件

可代入后再化簡,求解過程中注意公式的順用和逆用.

本題主要考查兩角和與差的公式.

12.(2015?福建?高考真題)若sine=-?,且a為第四象限角,貝hana的值等于

【答案】D

【詳解】函na=$且。為第四象限角,

r---7T~iz

團cosa=V1-sina=——,

cosa12

故選D.

13.(2015?四川?高考真題)已知sina+2cosa=0,則2sinacosa—cos2a的值是.

【答案】一1

【詳解】由已知可得,sina=-2cosa,即tana=—2

r.2sinacosa-cos2a2tana-l-4-1,

2smacosa—cos92a=---------------=--------=-----=-1

sina+cosatana+\4+1

考點:本意考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等變形等基礎(chǔ)知識,考查綜合處理問題的能力.

考點04誘導(dǎo)公式及其化簡求值

1.(2023?全國甲卷?高考真題)若/⑺+-獷+依+而卜+今為偶函數(shù),貝匹=

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到/1從而求得a=2,再檢驗即可得解.

【詳解】因為y=/(x)=(x-iy+辦+sin[x+]]=(x-l)2+ax+cosx為偶函數(shù),定義域為R,

所以《9=45即卜尸)一色+cos'曰=匕一"+自+8S?

則Tia=+1]—=2兀,故〃=2,

止匕時/(x)=(x—1)2+2x+cosx=x2+1+cosx,

所以/(-%)=(一尤)2+1+COS(-X)=x2+l+cosx=/(x),

又定義域為R,故/(X)為偶函數(shù),

所以〃=2.

故答案為:2.

2.(2022?浙江?高考真題)若3sina—sinQ="56,0+夕=',貝!|sina=,cos2(3=

3V104

【答案】

10?

【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形,得到a的同角等式關(guān)系,再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程,可求

出a,接下來再求夕.

【詳解】[方法一]:利用輔助角公式處理

^\a+p=—,團sin/7=cosc,即3sina—cosa=M,

3回.A/W=回,令sin*亟,cos”亞

即------sina--------cosa

10101010

貝[]sin(</—〃)=J56,Ela-6=g+2左乃,k&Z,即a=6+9+2左左,

Elsina=sin(e+工兀+2上萬)=cos6=^^,

210

i。o4

則cos2/3=2cos2/7-1=2sin2a—1=—.

故答案為:零;I

[方法二]:直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程

團a+6二會,IEsinp=cosa,即3sini—cosa=A/IU,

又sin2a+cos2a=1,將cosa=3sina-V10代入得lOsin2a-6jIUsina+9=0,解得sina-3y

10

°o4

則cos2/?=2cos277-1=2sin2cr-1=—,

故答案為:嚕;I

1yrjr

3.(2017?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=二sin(x+;)+cos(x-:)的最大值為

536

631

A.-B.1C.一D.-

555

【答案】A

71

【詳解】由誘導(dǎo)公式可得coscos=sin

2

則〃71].(71]6.[71

x)=gsinx+—+sin%+—=—sinx+—

3353r

函數(shù)”X)的最大值為,

所以選A.

【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,通過

變換把函數(shù)化為〉=45皿0X+夕)+8的形式,再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì),解題時注意

觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征.

4.(2017?北京?高考真題)在平面直角坐標系xQy中,角。與角夕均以。x為始邊,它們的終邊關(guān)于>軸對稱.

若sina=g,貝!]sin(3=.

【答案】|

【詳解】試題分析:因為角a與角夕的終邊關(guān)于y軸對稱,所以e+A=%+2E,左eZ,所以

sin/3=sin(7t+2fot-a)=sina=-.

【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系,以及誘導(dǎo)公式,常用的一些對稱關(guān)系包含:若a與夕的終邊關(guān)于y

軸對稱,則。+£=無+2防r,AeZ,若a與a的終邊關(guān)于x軸對稱,則。+尸=2左肛左eZ,若a與夕的終邊

關(guān)于原點對稱,貝IJc-#=兀+2E,左eZ.

5.(2016?四川,高考真題)sin750°=.

【答案】|

【詳解】試題分析:由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得$也750。=5皿720。+30。)=$皿30。=;.

【考點】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

【名師點睛】本題也可以看作來自于課本的題,直接利用課本公式解題,這告訴我們一定要立足于課本.有

許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解.

考點05三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(基礎(chǔ))

1.(2024?全國甲卷?高考真題)函數(shù)"x)=sinx-&cosx在[0,可上的最大值是

【答案】2

【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù),再求給定區(qū)間最值即可.

【詳解】〃x)=sinx-退cosx=2sin]x-gj,當xe[0,可時-,x-ye

當xjq時,即X?時,?。?.

故答案為:2

2.(2024?天津?高考真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

八。"_冗2-cosx+x2-e-xsinx+4x

A.y=—^——BC.y=-------D.尸

x2+lx+1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)/")==匚,函數(shù)定義域為R,但〃-1)=£匕,〃1)=號,則/(—1卜/⑴,故A

x+122

錯誤;

對B,設(shè)g(x)=cosl,函數(shù)定義域為R,

且g(T)=cos)[:(X)=COS:+:=g(x),則g(x)為偶函數(shù),故B正確;

(一X)+1X+1

對C,設(shè)可力=三1,函數(shù)定義域為{尤IxH-l},不關(guān)于原點對稱,則可力不是偶函數(shù),故C錯誤;

對D,設(shè)0(x)=sm::4x,函數(shù)定義域為R,因為0(1)=sinl+4,9(一])=011二1,

eee

則。⑴則0(x)不是偶函數(shù),故D錯誤.

故選:B.

3.(2024?上海?高考真題)下列函數(shù)“X)的最小正周期是2兀的是()

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x

【答案】A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對A,sinx+cosx=&sin]x+:J,周期T=2?t,故A正確;

|27r

對B,sinxcos;c=—sin2x,周期T=一=兀,故B錯誤;

22

對于選項C,sin2x+cos2x=l,是常值函數(shù),不存在最小正周期,故C錯誤;

對于選項D,sit?尤一cos?x=-cos2無,周期T=亨=兀,故D錯誤,

故選:A.

4.(2024?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=sin0x(o>O).已知=且|尤1-馬帕勺最小值為彳,

則。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性,結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.

【詳解】由題意可知:為為/(元)的最小值點,巧為"》)的最大值點,

則上721nlm=(=],即7=無,

且啰>0,所以口=干=2.

故選:B.

5.(2022?全國新H卷?高考真題)(多選)已知函數(shù)/'(彳受嶺+⑼仁心力的圖像關(guān)于點號,中心對

稱,貝U()

A.Ax)在區(qū)間單調(diào)遞減

B./(x)在區(qū)間詈J有兩個極值點

7兀

c.直線尤=:是曲線y=/(x)的對稱軸

D.直線y=1-x是曲線y=〃x)的切線

2

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項,即可解出.

【詳解】由題意得:/[/J=sin[?+°]=0,所以事+0=也,左eZ,

4元

即。=一一—+E,左£Z,

又0<。<兀,所以左=2時,夕=會,故/(x)=sin12x+g).

對A,當時,由正弦函數(shù)V=sin”圖象知y=〃x)在[0,正)上是單調(diào)遞減;

對B,當皆]時,2x+'e[*],由正弦函數(shù)y=sintz圖象知y=/(x)只有1個極值點,由

\J.乙X乙JJ\乙乙J

2x+笄=?,解得x=*即x=為函數(shù)的唯一極值點;

J.Z_L/

對c,當X77r時,2X+247r=3TT,/(772r)=0,直線x=7q7r不是對稱軸;

6366

2兀(2兀

對D,由V=2cos|2x+一=-1彳導(dǎo)?cosI2xH——

321

2冗2冗27r4

解得2%+臼=臼+2版或2x+'="+2E#EZ,

3333

從而得:X=航或x=—+E%£Z,

O<TT

所以函數(shù)y=/(x)在點。,處的切線斜率為k=y'L。=2cosy=-1,

切線方程為:y-^=-(x-O)^y=^--x.

故選:AD.

6.(2022?全國乙卷?高考真題)記函數(shù)/(力=。05(3+協(xié)(0>0,0<。<兀)的最小正周期為7,若/(7)=#,

尤=巳為的零點,則。的最小值為.

【答案】3

【分析】首先表示出T,根據(jù)/(7)=孝求出。,再根據(jù)x=巳為函數(shù)的零點,即可求出。的取值,從而得

解;

【詳解】解:因為/(x)=cos(0x+e),(0>0,?!聪Α簇#?/p>

27r(2兀小\73

所以最小正周期T=*,因為/(T)=COSCD--------\-(p=COS(271+^?)=COS(P=—,

I①

71

又0<0<71,所以夕=5,即/(尤)=cosCOXH----

66

又x=W為“X)的零點,所以+F=E+解得。=3+9匕左wZ,

9962

因為(y>0,所以當左=0時0m=3;

故答案為:3

7.(2022?天津?高考真題)已知/(x)=gsin2無,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法:

①/⑶的最小正周期為2兀;

②F(x)在V上單調(diào)遞增;

③當xe時,/(尤)的取值范圍為-乎;

_03」44

④fM的圖象可由g(x)=[sin(2x+2)的圖象向左平移白個單位長度得到.

24o

以上四個說法中,正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及變換法則即可判斷各說法的真假.

【詳解】因為/(x)=:sin2x,所以的最小正周期為7=笄=兀,①不正確;

令r=2xe,而y=;sinf在上遞增,所以/5)在上單調(diào)遞增,②正確;因為

乙乙乙乙乙??

t=2xe-y,—,sin/e--^-,1,所以7(x)e,③不正確;

由于g(x)=1sin(2x+()=:sin2所以/(%)的圖象可由g(x)=1sin(2x+今的圖象向右平移5個單

位長度得到,④不正確.

故選:A.

8.(2021?北京?高考真題)函數(shù)/O)=cos九-cos2x是

A.奇函數(shù),且最大值為2B.偶函數(shù),且最大值為2

C.奇函數(shù),且最大值為9D.偶函數(shù),且最大值為99

OO

【答案】D

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性;利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可

判斷最大值.

【詳解】由題意,/(-X)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函

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