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文檔簡介
與集09三角備敷的囹象易促質(zhì)木敷除合
十年考情-探規(guī)律
考點十年考情(2015-2024)命題趨勢
考點1任意角和1.了解任意角和弧度制的概
弧度制及求扇形念,能進行弧度與角度的互化,
的弧長、面積計2022?全國甲卷、2020?浙江卷、2015?山東卷借助單位圓理解三角函數(shù)(正
算弦、余弦、正切)的定義,并能
(10年3考)利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)
考點2任意角的問題,理解并掌握同角三角函
三角函數(shù)2020?山東卷、2020?全國卷、2018?北京卷數(shù)的基本關(guān)系式(平方關(guān)系+商
(10年3考)數(shù)關(guān)系),夠利用公式化簡求
2024?全國甲卷、2023?全國乙卷、2021.全國甲卷值,能借助單位圓的對稱性利
考點3同角三角
2021?全國新I卷、2020?全國卷、2019?江蘇卷用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公
函數(shù)的基本關(guān)系
2018?全國卷、2018?全國卷、2016?全國卷式,能夠運用誘導(dǎo)公式解決相
(含弦切互化)
2016?全國卷、2015?重慶卷、2015?福建卷關(guān)問題,該內(nèi)容是新高考卷的
(10年8考)
2015?四川卷必考內(nèi)容,一般會考查三角函
考點4誘導(dǎo)公式數(shù)化簡求值或特殊角求三角函
2023?全國甲卷、2022?浙江卷
及其化簡求值數(shù)值,需加強復(fù)習(xí)備考
2017?全國卷、2017?北京卷
(10年3考)
2024?全國甲卷、2024?天津卷、2024?上海卷2.能用五點作圖法作出正弦、
考點5三角函數(shù)
2024?北京卷、2022?全國新H卷、2022?全國乙卷余弦和正切函數(shù)圖象,并掌握
的圖象與性質(zhì)
2022?天津卷、2021?北京卷、2021?全國甲卷圖象及性質(zhì),能用五點作圖法
(基礎(chǔ))
2021?全國乙卷、2019?北京卷、2018?全國卷作出正弦型、余弦型和正切型
(10年6考)
2017?山東卷、2017?全國卷函數(shù)圖象,并掌握圖象及性質(zhì)
考點6三角函數(shù)2024.天津卷、2024.全國新I卷、2024?全國新H會求參數(shù)及函數(shù)解析式
的圖象與性質(zhì)卷該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)
(拔高)2024.全國新II卷、2023?全國甲卷、2023?全國乙容,一般會綜合考查三角函數(shù)
(10年10考)卷2023?天津卷、2023?全國新I卷、2023?全國新的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,需
II卷加強復(fù)習(xí)備考
2022?全國甲卷、2022?北京卷、2022?全國新I卷
2021?全國新I卷、2021?全國甲卷、2020?全國卷3.理解并掌握三角函數(shù)的圖象
2020?山東卷、2020?全國卷、2019?全國卷與性質(zhì),會先平移后伸縮或先
2019?全國卷、2019?全國卷、2019?全國卷伸縮后平移來綜合解決三角函
2019?全國卷、2018?江蘇卷、2018?全國卷數(shù)的伸縮平移變換,該內(nèi)容是
2018?全國卷、2018?北京卷、2017?全國卷新高考卷的載體內(nèi)容,一般會
2017?全國卷、2017?全國卷、2017?全國卷結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜
2016?全國卷、2016?全國卷、2016?山東卷合考查三角函數(shù)的伸縮平移變
2016?浙江卷、2016?上海、2015?四川卷、換,需加強復(fù)習(xí)備考
2015?安徽卷、2015?北京卷、2015?浙江卷
2015?湖南卷
考點7三角函數(shù)
的圖象與性質(zhì)2017?天津卷、2017?上海卷、2016?天津卷
(壓軸)2016?全國卷、2015?上海卷
(10年3考)
2023?全國甲卷、2022?天津卷、2022?浙江卷
2022?全國甲卷、2021?全國乙卷、2020?天津卷
考點8三角函數(shù)2020?江蘇卷、2019?天津卷、2018?天津卷
的伸縮平移變換2018?天津卷、2017?全國卷、2016?四川卷
(10年9考)2016?全國卷、2016?北京卷、2016?全國卷
2016?四川卷、2016?全國卷、2016?全國卷
2015?山東卷、2015?山東卷、2015?湖南卷
分考點二精準練工
考點01任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算
1.(2022?全國甲卷?高考真題)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度
的“會圓術(shù)",如圖,AB是以。為圓心,0A為半徑的圓弧,C是AB的中點,。在A8上,"會
CD1
圓術(shù)〃給出A3的弧長的近似值s的計算公式:s=AB^^~.當。4=2,NAO6=60。時,s=()
OA
11-3A/3dll-45/3-9-3/n9-473
2222
【答案】B
【分析】連接OC,分別求出AB,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解:如圖,連接OC,
因為C是A8的中點,
所以O(shè)CJ_AB,
又CDLAB,所以。,CD三點共線,
即OD=OA=OB=2,
又NAG?=60。,
所以AB=Q4=O3=2,
貝U0C=5故CD=2-0,
所以s=AB+支=2+31=上速?
OA22
故選:B.
2.(2020?浙江?高考真題)已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2兀,且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓,則
這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是.
【答案】1
【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組,由此求得底面半徑.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為〃,母線長為/,則
兀xrxl=2兀
-?1,,,解得r=l,/=2.
2x^-xr=—x2x^x/
I2
故答案為:1
【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.
3.(2015?山東?高考真題)終邊在y軸的正半軸上的角的集合是()
II2JII2J
C.<xx=-—+2fai,k^Z\D.sxx=+kn,k^z\
II2JII2J
【答案】A
【分析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解
【詳解】終邊在y軸正半軸上的角的集合是X]+2kit,k&Z
故選:A
考點02任意角的三角函數(shù)
1.(2020?山東?高考真題)已知直線/:y=xsine+cosd的圖像如圖所示,則角。是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
【答案】D
【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出sin,<0、cos6>0,即可得出結(jié)果.
【詳解】結(jié)合圖像易知,sin<0,cos8>0,
則角。是第四象限角,
故選:D.
2.(2020?全國?高考真題)若a為第四象限角,則()
A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.
【詳解】方法一:由a為第四象限角,可得q+2%乃<。<2?+2%匹
所以3〃+4左"<2a<4TT+4kjc,keZ
此時2c的終邊落在第三、四象限及>軸的非正半軸上,所以sin2av0
故選:D.
方法二:當二=一看時,cos2a=cos]-(J>0,選項B錯誤;
當a=時,cos2a=cosl---1<0,選項A錯誤;
由a在第四象限可得:sincif<0,costz>0,貝ijsin2a=2sinacosa<0,選項C錯誤,選項D正確;
故選:D.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號,二倍角公式,特殊角的三角函數(shù)值等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化
能力和計算求解能力.
3.(2018?北京?高考真題)在平面直角坐標系中,AB,CD,EF,G”是圓尤?+y2=1上的四段?。ㄈ鐖D),點P
在其中一段上,角a以Qr為始邊,OP為終邊,若tana<coscr<sina,則尸所在的圓弧是
C.EFD.GH
【答案】C
【詳解】分析:逐個分析A、B、C、D四個選項,利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.
詳解:由下圖可得:有向線段加為余弦線,有向線段MP為正弦線,有向線段AT為正切線.
A選項:當點尸在AS上時,cosa=x,sina=y,
..cosor>sin?,故A選項錯誤;
B選項:當點P在CD上時,cos(z=x,sina=y,tana=-,
/.tana>sina>cosa,故B選項錯誤;
C選項:當點P在庚上時,cosa=x,sina=yftancr=—,
.\sina>cosa>tancr,故C選項正確;
D選項:點尸在GH上且GH在第三象限,tana>0,sina<0,cosa<0,故D選項錯誤.
綜上,故選C.
點睛:此題考查三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想,作出圖形,找到
sin?,cosa,tana所對應(yīng)的三角函數(shù)線進行比較.
考點03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(含弦切互化)
1.(2024?全國甲卷?高考真題)已知一——=百,貝|tan[a+r]=()
cosi-siniv4)
A.2肉1B.2后一1C.是D.1-垂)
2
【答案】B
ccqa
【分析】先將一弦化切求得tan。,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
cosa-sina
【詳解】因為c°sc=6,
cosa-sina
所以-------=6,=>tana=1--,
1-tana3
廣廣…(兀、tana+1八不°
所以tana+—=----------=243-1,
V4J1-tana
故選:B.
2.(2023?全國乙卷?高考真題)若8£(0,3)」@118=;,則sin6-cose=.
【答案】-好
5
【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求sin。,進而可得結(jié)果.
【詳解】因為ee,則Sin"0,cos"0,
又因為tane=^^=g,則cos6=2sin。,
cos。2
且cos20+sin23=4sin20+sin20=5sin26=1,解得sin0=或sin6=(舍去),
55
所以sin6-cos6=sin6-2sin6=-sin6=-.
5
故答案為:一好.
5
(冗、cosa
3.(2021?全國甲卷?高考真題)若0,丁1*112(/=;;;~:—,則tana=()
V272-sincr
A715R75r45NA/15
15533
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得tan2a=羋里=智華等,再結(jié)合己知可求得sina=;,利用同角三角函數(shù)
cos2al-2sina4
的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】tan2aj…
2-sina
八sin2a2sinacosacosa
/.tan2a=--------=------------——=-----------
coslal-2sina2-sincr
(八二)八2sma1中,曰.1
ae0,—,「.coscwO,「?-----z—=------------,解得sina=一,
l2)l-2sin2a32-sintz4
r,」一V15sinaJ15
cosa=VI-sina=-----,/.tana=--------=------
4cosa15
故選:A.
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題考查三角函數(shù)的化簡問題,解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sina.
4.(2021?全國新I卷?高考真題)若tan6=-2,則吧£@士史竺)=()
sin0+cos6
6226
A.——B.——C.-D.-
5555
【答案】C
[分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡,然后增添分母(1=sin20+cos2夕),進行齊次化處理,
化為正切的表達式,代入tan。=-2即可得到結(jié)果.
【詳解】將式子進行齊次化處理得:
sin0(1+sin20)sin0(sin20+cos261+2sincos,、
-------------------=---------------------------------------------=sin6(sin6+cos0)
sin0+cos0sin0+cos6
_sin61(sin61+cos6*1)_tan2夕+tan。_4-2_2
sin2+cos201+tan261+45
故選:C.
【點睛】易錯點睛:本題如果利用tan。=-2,求出sindcos。的值,可能還需要分象限討論其正負,通過齊
次化處理,可以避開了這一討論.
5.(2020?全國,高考真題)已知ae(。,兀),且3cos26z—8cosc=5,貝。sino;=()
A布
31
1D.叵
C.一
39
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式,將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosa的一元二次方程,求解得出costz,再用同角間
的三角函數(shù)關(guān)系,即可得出結(jié)論.
【詳解】3cos2a-8cosa=5,得6cos2a—8cosa-8=0,
2
即3cos2?!?cosa—4=0,解得cosa=—§或cosa=2(舍去),
又二ae(0,^),sina-Vl-cos2a-.
故選:A.
【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值,熟記公式是解題的關(guān)鍵,考查計算求解能
力,屬于基礎(chǔ)題.
tancr_2x、
6.(2019?江蘇?高考真題)已知可二^=一耳,貝1Jsin12a+:j的值是.
【答案】也.
10
【分析】由題意首先求得tan。的值,然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求
值的問題,最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.
tana_tana_tana(l-tana)_2
【詳解】由,(7i\~tan?+l-tana+1—3,
tana+-----------
I4)1-tancr
得3tan26Z—5tanc-2=0,
解得tan。=2,或tan。二一;.
si?nIc2a+—冗I=sm-2cacos—兀+cosc2asi?n—兀
I44
A/2Z.小小、A/2(2sincrcosa+cos2cr-sin2
二--(sm2a+cos2a---------------;-------;--------
2'2(sin26Z+cos2cif)
2tana+1-tan2a)
tan2or+1J?
2x2+1-22、V2
22l}=W
<+
<
綜上,sinf2a+—=—.
I4j10
【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值,滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法,利用分類討論和轉(zhuǎn)
化與化歸思想解題.
7.(2018?全國?高考真題)已知sina+cos/?=l,coscr+sin/7=0,則sin(a+/7)
【答案】-:
【分析】方法一:將兩式平方相加即可解出.
【詳解】[方法一]:【最優(yōu)解】
兩式兩邊平方相加得2+2sin(a+^)=1,sin(?+尸)=-J.
[方法二]:利用方程思想直接解出
兩式兩邊平方相加得;
sino=l-cos氏cosa=-sinJ3,cos^=則sina=—.
2
上
cosa=cosa=——
2所以sin(a+/?)=-(.
又<或“
顯,R屆
sin(3=sinp=_--
2
[方法三]:誘導(dǎo)公式十二倍角公式
由cosa+sin/=0,可得sin0=一cosa=sin——+a,則夕=2k"-----Fa或夕=2左乃+萬———+a(%£Z).
3冗
若。=2k7i+—+a(kGZ)代入得sina+cos/=2sin6r=l,即
sina=—,sin(cr+〃)=sinIlk7i+—+laI=一cos2a=2sin26Z-l=--.
IT
若/3=2k兀-5-a(keZ),代入得sina+cos#=0,與題設(shè)矛盾.
綜上所述,sin(a+尸)=一;.
[方法四]:平方關(guān)系+誘導(dǎo)公式
由cos2/3+sin2/3=(1-sinaf+(-cosa)2=2-2sina=1,得sina=(.
又tana=^^=^^^=—tan2=tan1—2],a=k7r-—(keZ),即2a=2左"一,,貝|
cosa—sin夕2v2J2
a+/3=2k7v-a(kGZ).從而sin(a+〃)=sin(2Z〃一a)=—sino=—g.
[方法五]:和差化積公式的應(yīng)用
由已知得(sina+cos尸)(cosa+sin/3)=—(sin2a+sin2/3)+cos(a-0)
=sin(a+/?)cos(a-/?)+cos(a—/?)=0,貝ijcos(a—尸)=0或sin(a+/7)=-1,
TTTT
若cos(a—分)=0,則a—〃=Jbr+5(aEZ),即a=〃+%萬+,(%£Z).
當人為偶數(shù)時,sina=cos(3,由sina+cos/?=l,^sina=cos/?=-,又
3131
cosa+sin/3=0,cosasin/3--sm113---,所以sin(a+/?)=sinacos尸+cosasin月=
當人為奇數(shù)時,since=-cos/?,得sinc+cos6=。,這與己知矛盾.
若sin(a+£)=_1,則a+£=2左;(笈eZ).貝I]sine==_cos',得sine+cos,=0,這
與已知矛盾.
綜上所述,sin(a+Q)=-;.
【整體點評】方法一:結(jié)合兩角和的正弦公式,將兩式兩邊平方相加解出,是該題的最優(yōu)解;
方法二:通過平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個三角函數(shù)值,進而解出;
方法三:利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系,從而解出;
方法四:基本原理同方法三,只是尋找角度關(guān)系的方式不同;
方法五:將兩式相乘,利用和差化積公式找出角度關(guān)系,再一一驗證即可解出,該法稍顯麻煩.
8.(2018?全國?高考真題)函數(shù)〃尤)=,‘a(chǎn)n:的最小正周期為
1+tanx
nn一
A.—B.—C.?D.27r
42
【答案】C
【詳解】分析:將函數(shù)“%)=產(chǎn)>進行化簡即可
1+tanx
sinx
詳解:由已知得f(%)=—tanx——cos2c———sinxeosx=-sin2x|k7i+—,kGZ\
'7l+tan2x]?(smx)22(2)
cosx
f(x)的最小正周期T=§=71
故選c.
點睛:本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式,屬于中檔題
3
9.(2016?全國考真題)若tana=—,則cos2a+2sin2a=
4
644816
A.—B.—C.1D.—
252525
【答案】A
33434
【詳解】試題分析:由tana=-,得sina=-,cos。=一或sina=--,cosa=——,所以
45555
c?c16,1264./>4*
cos2i+2sin2a-----F4x—=—,A.
252525
【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,倍角公式.
【方法點撥】三角函數(shù)求值:①"給角求值"將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化,通過相消或相約消去非特殊角,進
而求出三角函數(shù)值;②"給值求值"關(guān)鍵是目標明確,建立已知和所求之間的聯(lián)系.
10.(2016?全國?高考真題)若tan6=;,則8s2夕=
4114
A.——B.——C.一D.
5557
【答案】D
【詳解】cos2"cos2?!獫睂嬔贼?
1
2八I-
1-tan0_94
分子分母同時除以cos?。,即得:cos26=
1+tar^O]+15
9
故選D.
COS(dZ--)
11.(2015?重慶?高考真題)若tana=2tan2,則--------)
5sin(?-1)
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
=cosL^-
【詳解】cosa+
l5
.71.71
sincrcos——Fcosasm——
所以原式=55
.71.71
sinacos-——cosasm—
55
兀c71
tan(7+tan—3tan—
-----1=—f
nn
tana-tan—tan—
55
故選C.
點睛:三角恒等變換的主要題目類型是求值,在求值時只要根據(jù)求解目標的需要,結(jié)合已知條件選用合適
的公式計算即可.本例應(yīng)用兩角和與差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角關(guān)系式使得已知條件
可代入后再化簡,求解過程中注意公式的順用和逆用.
本題主要考查兩角和與差的公式.
12.(2015?福建?高考真題)若sine=-?,且a為第四象限角,貝hana的值等于
【答案】D
【詳解】函na=$且。為第四象限角,
r---7T~iz
團cosa=V1-sina=——,
cosa12
故選D.
13.(2015?四川?高考真題)已知sina+2cosa=0,則2sinacosa—cos2a的值是.
【答案】一1
【詳解】由已知可得,sina=-2cosa,即tana=—2
r.2sinacosa-cos2a2tana-l-4-1,
2smacosa—cos92a=---------------=--------=-----=-1
sina+cosatana+\4+1
考點:本意考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等變形等基礎(chǔ)知識,考查綜合處理問題的能力.
考點04誘導(dǎo)公式及其化簡求值
1.(2023?全國甲卷?高考真題)若/⑺+-獷+依+而卜+今為偶函數(shù),貝匹=
【答案】2
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到/1從而求得a=2,再檢驗即可得解.
【詳解】因為y=/(x)=(x-iy+辦+sin[x+]]=(x-l)2+ax+cosx為偶函數(shù),定義域為R,
所以《9=45即卜尸)一色+cos'曰=匕一"+自+8S?
則Tia=+1]—=2兀,故〃=2,
止匕時/(x)=(x—1)2+2x+cosx=x2+1+cosx,
所以/(-%)=(一尤)2+1+COS(-X)=x2+l+cosx=/(x),
又定義域為R,故/(X)為偶函數(shù),
所以〃=2.
故答案為:2.
2.(2022?浙江?高考真題)若3sina—sinQ="56,0+夕=',貝!|sina=,cos2(3=
3V104
【答案】
10?
【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形,得到a的同角等式關(guān)系,再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程,可求
出a,接下來再求夕.
【詳解】[方法一]:利用輔助角公式處理
^\a+p=—,團sin/7=cosc,即3sina—cosa=M,
3回.A/W=回,令sin*亟,cos”亞
即------sina--------cosa
10101010
貝[]sin(</—〃)=J56,Ela-6=g+2左乃,k&Z,即a=6+9+2左左,
Elsina=sin(e+工兀+2上萬)=cos6=^^,
210
i。o4
則cos2/3=2cos2/7-1=2sin2a—1=—.
故答案為:零;I
[方法二]:直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程
團a+6二會,IEsinp=cosa,即3sini—cosa=A/IU,
又sin2a+cos2a=1,將cosa=3sina-V10代入得lOsin2a-6jIUsina+9=0,解得sina-3y
10
°o4
則cos2/?=2cos277-1=2sin2cr-1=—,
故答案為:嚕;I
1yrjr
3.(2017?全國?高考真題)函數(shù)/(x)=二sin(x+;)+cos(x-:)的最大值為
536
631
A.-B.1C.一D.-
555
【答案】A
71
【詳解】由誘導(dǎo)公式可得coscos=sin
2
則〃71].(71]6.[71
x)=gsinx+—+sin%+—=—sinx+—
3353r
函數(shù)”X)的最大值為,
所以選A.
【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合,通過
變換把函數(shù)化為〉=45皿0X+夕)+8的形式,再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì),解題時注意
觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征.
4.(2017?北京?高考真題)在平面直角坐標系xQy中,角。與角夕均以。x為始邊,它們的終邊關(guān)于>軸對稱.
若sina=g,貝!]sin(3=.
【答案】|
【詳解】試題分析:因為角a與角夕的終邊關(guān)于y軸對稱,所以e+A=%+2E,左eZ,所以
sin/3=sin(7t+2fot-a)=sina=-.
【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系,以及誘導(dǎo)公式,常用的一些對稱關(guān)系包含:若a與夕的終邊關(guān)于y
軸對稱,則。+£=無+2防r,AeZ,若a與a的終邊關(guān)于x軸對稱,則。+尸=2左肛左eZ,若a與夕的終邊
關(guān)于原點對稱,貝IJc-#=兀+2E,左eZ.
5.(2016?四川,高考真題)sin750°=.
【答案】|
【詳解】試題分析:由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得$也750。=5皿720。+30。)=$皿30。=;.
【考點】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
【名師點睛】本題也可以看作來自于課本的題,直接利用課本公式解題,這告訴我們一定要立足于課本.有
許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解.
考點05三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(基礎(chǔ))
1.(2024?全國甲卷?高考真題)函數(shù)"x)=sinx-&cosx在[0,可上的最大值是
【答案】2
【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù),再求給定區(qū)間最值即可.
【詳解】〃x)=sinx-退cosx=2sin]x-gj,當xe[0,可時-,x-ye
當xjq時,即X?時,?。?.
故答案為:2
2.(2024?天津?高考真題)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()
八。"_冗2-cosx+x2-e-xsinx+4x
A.y=—^——BC.y=-------D.尸
x2+lx+1
【答案】B
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.
【詳解】對A,設(shè)/")==匚,函數(shù)定義域為R,但〃-1)=£匕,〃1)=號,則/(—1卜/⑴,故A
x+122
錯誤;
對B,設(shè)g(x)=cosl,函數(shù)定義域為R,
且g(T)=cos)[:(X)=COS:+:=g(x),則g(x)為偶函數(shù),故B正確;
(一X)+1X+1
對C,設(shè)可力=三1,函數(shù)定義域為{尤IxH-l},不關(guān)于原點對稱,則可力不是偶函數(shù),故C錯誤;
對D,設(shè)0(x)=sm::4x,函數(shù)定義域為R,因為0(1)=sinl+4,9(一])=011二1,
eee
則。⑴則0(x)不是偶函數(shù),故D錯誤.
故選:B.
3.(2024?上海?高考真題)下列函數(shù)“X)的最小正周期是2兀的是()
A.sinx+cosxB.sinxcosx
C.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x
【答案】A
【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】對A,sinx+cosx=&sin]x+:J,周期T=2?t,故A正確;
|27r
對B,sinxcos;c=—sin2x,周期T=一=兀,故B錯誤;
22
對于選項C,sin2x+cos2x=l,是常值函數(shù),不存在最小正周期,故C錯誤;
對于選項D,sit?尤一cos?x=-cos2無,周期T=亨=兀,故D錯誤,
故選:A.
4.(2024?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=sin0x(o>O).已知=且|尤1-馬帕勺最小值為彳,
則。=()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性,結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.
【詳解】由題意可知:為為/(元)的最小值點,巧為"》)的最大值點,
則上721nlm=(=],即7=無,
且啰>0,所以口=干=2.
故選:B.
5.(2022?全國新H卷?高考真題)(多選)已知函數(shù)/'(彳受嶺+⑼仁心力的圖像關(guān)于點號,中心對
稱,貝U()
A.Ax)在區(qū)間單調(diào)遞減
B./(x)在區(qū)間詈J有兩個極值點
7兀
c.直線尤=:是曲線y=/(x)的對稱軸
D.直線y=1-x是曲線y=〃x)的切線
2
【答案】AD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項,即可解出.
【詳解】由題意得:/[/J=sin[?+°]=0,所以事+0=也,左eZ,
4元
即。=一一—+E,左£Z,
又0<。<兀,所以左=2時,夕=會,故/(x)=sin12x+g).
對A,當時,由正弦函數(shù)V=sin”圖象知y=〃x)在[0,正)上是單調(diào)遞減;
對B,當皆]時,2x+'e[*],由正弦函數(shù)y=sintz圖象知y=/(x)只有1個極值點,由
\J.乙X乙JJ\乙乙J
2x+笄=?,解得x=*即x=為函數(shù)的唯一極值點;
J.Z_L/
對c,當X77r時,2X+247r=3TT,/(772r)=0,直線x=7q7r不是對稱軸;
6366
2兀(2兀
對D,由V=2cos|2x+一=-1彳導(dǎo)?cosI2xH——
321
2冗2冗27r4
解得2%+臼=臼+2版或2x+'="+2E#EZ,
3333
兀
從而得:X=航或x=—+E%£Z,
O<TT
所以函數(shù)y=/(x)在點。,處的切線斜率為k=y'L。=2cosy=-1,
切線方程為:y-^=-(x-O)^y=^--x.
故選:AD.
6.(2022?全國乙卷?高考真題)記函數(shù)/(力=。05(3+協(xié)(0>0,0<。<兀)的最小正周期為7,若/(7)=#,
尤=巳為的零點,則。的最小值為.
【答案】3
【分析】首先表示出T,根據(jù)/(7)=孝求出。,再根據(jù)x=巳為函數(shù)的零點,即可求出。的取值,從而得
解;
【詳解】解:因為/(x)=cos(0x+e),(0>0,?!聪Α簇#?/p>
27r(2兀小\73
所以最小正周期T=*,因為/(T)=COSCD--------\-(p=COS(271+^?)=COS(P=—,
I①
71
又0<0<71,所以夕=5,即/(尤)=cosCOXH----
66
又x=W為“X)的零點,所以+F=E+解得。=3+9匕左wZ,
9962
因為(y>0,所以當左=0時0m=3;
故答案為:3
7.(2022?天津?高考真題)已知/(x)=gsin2無,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法:
①/⑶的最小正周期為2兀;
②F(x)在V上單調(diào)遞增;
③當xe時,/(尤)的取值范圍為-乎;
_03」44
④fM的圖象可由g(x)=[sin(2x+2)的圖象向左平移白個單位長度得到.
24o
以上四個說法中,正確的個數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及變換法則即可判斷各說法的真假.
【詳解】因為/(x)=:sin2x,所以的最小正周期為7=笄=兀,①不正確;
令r=2xe,而y=;sinf在上遞增,所以/5)在上單調(diào)遞增,②正確;因為
乙乙乙乙乙??
t=2xe-y,—,sin/e--^-,1,所以7(x)e,③不正確;
由于g(x)=1sin(2x+()=:sin2所以/(%)的圖象可由g(x)=1sin(2x+今的圖象向右平移5個單
位長度得到,④不正確.
故選:A.
8.(2021?北京?高考真題)函數(shù)/O)=cos九-cos2x是
A.奇函數(shù),且最大值為2B.偶函數(shù),且最大值為2
C.奇函數(shù),且最大值為9D.偶函數(shù),且最大值為99
OO
【答案】D
【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性;利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可
判斷最大值.
【詳解】由題意,/(-X)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函
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