2022年中考數(shù)學(xué)試題專項匯編：銳角三角函數(shù)

（9）銳角三角函數(shù)—2022年中考數(shù)學(xué)真題專項匯編

1.【2022年天津】tan45。的值等于（）

A.2B.lC.—口.由

23

2.【2022年陜西A】如圖，是△ABC的高.若皮＞=2。=6,tanC=2,則邊AB的長為（）

A.3枝B.3小C.3/7D.6V2

3.【2022年四川樂山】如圖，在RtAABC中，ZC=90°,8C=下，點〃是AC上一點，連結(jié)8D

若tanNA=1,tanNABD=-,則CD的長為（）

23

A.26B.3C.6D.2

4.【2022年浙江杭州】某項目學(xué)習(xí)小組為了測量直立在水平地面上的旗桿AB的高度，把標(biāo)桿。E

直立在同一水平地面上（如圖），同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光下的影長分別是

BC=8.72m,EF=2.18m.已知8,C,E,尸在同一直線上，AB1BC,DE1EF,

BCEF

5.【2022年陜西A】如圖，在菱形ABC。中，AB=4,BD=7.若M,N分別是邊A。，BC上的動

點，S.AM=BN,作ME_LBD,NF1BD,垂足分別為E,F,則ME+NF的值為.

AMD

BNC

6.【2022年浙江紹興】圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀

器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱

為“圭”），當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為

冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表

AC垂直圭BC,已知該市冬至正午太陽高度角（即乙"C）為37。，夏至正午太陽高度角（即

（2）求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）.

34319

（參考數(shù)據(jù)：sin37°a—,cos37°?，tan37°~—,tan84°。一）

5542

7.【2022年江西】圖（1）是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖（2）所示的示意圖，已知

ABHCDHFG,A,D,H,G四點在同一直線上，測得NFEC=/A=72.9。，AD=1.6m,

EF=6.2m.

圖（1）圖（2）

（1）求證：四邊形。E尸G為平行四邊形;

（2）求雕塑的高（即點G到A8的距離）.

（結(jié)果保留小數(shù)點后一位.參考數(shù)據(jù)：sin72.9°?0.96,cos72.9°工0.29,tan72.9°。3.25）

8.【2022年陜西A】小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所示，在某

一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物。B的影長OC為16米，0A的影長。。為20米，小明

的影長尸G為2.4米，其中。，C,D,F,G五點在同一直線上，A,B,O三點在同一直線上，且

AO1OD,EF_1_用.已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AA

CFDC0

9.【2022年河南】開封清明上河圖是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是

園內(nèi)最高的建筑.某數(shù)學(xué)小組測量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測角儀測得拂云閣頂端D的

仰角為34。，沿AC方向前進15m到達B處，又測得拂云閣頂端〃的仰角為45。.已知測角儀的高

度為1.5m,測量點A,8與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精

確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin340?0.56,cos34°?0.83,tan34°?0.67）.

10.【2022年山東青島】如圖，A8為東西走向的濱海大道，小宇沿濱海大道參加“低碳生活.綠色出

行”健步走公益活動.小宇在點A處時，某艘海上觀光船位于小宇北偏東68。的點C處，觀光船到濱

海大道的距離CB為200米.當(dāng)小宇沿濱海大道向東步行200米到達點E時，觀光船沿北偏西40。的

方向航行至點〃處，此時，觀光船恰好在小宇的正北方向，求觀光船從C處航行到。處的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,sin68°°0.93,cos68°70.37,

tan68°x2.48）

b

11.【2022年天津】如圖，某座山A8的頂部有一座通訊塔BC,且點A,B,C在同一條直線上.從

地面尸處測得塔頂C的仰角為42。，測得塔底2的仰角為35。.已知通訊塔BC的高度為32m,求這

座山的高度（結(jié)果取整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：tan35°?0.70,tan42°?0.90）

12.【2022年重慶A】如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形是沿湖泊修建的人行步道.

經(jīng)測量，點C在點A的正東方向，AC=200米.點E在點A的正北方向.點8,。在點C的正北方

向，瓦）=100米，點2在點A的北偏東30。，點。在點E的北偏東45。方向.

（1）求步道。E的長度（精確到個位）；

（2）點。處有直飲水，小紅從A出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過點8到達點也可以經(jīng)過點

E到達點。請計算說明他走哪一條路較近.（參考數(shù)據(jù)：1.414,6*1.732）

13.【2022年山西】隨著科技的發(fā)展，無人機已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們在高空測量距

離和角度.某?！熬C合與實踐”活動小組的同學(xué)要測量AB，C。兩座樓之間的距離，他們借助無人機

設(shè)計了如下測量方案：無人機在AB,兩樓之間上方的點。處，點。距地面AC的高度為60

m,此時觀測到樓A8底部點A處的俯角為70。，樓C。上點E處的俯角為30。，沿水平方向由點。

飛行241n到達點尸，測得點E處俯角為60。，其中點A,B,C,D,E,F,。均在同一豎直平面

內(nèi).請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求樓A3與CD之間的距離AC的長（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù)：

sin70°a0.94,cos70°?0.34,tan70°a2.75,/，1.73).

14.【2022年山東濟寧】如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,NA,ZB,2C的對邊分別為a,

b,c.

.a.cb

sinA=-,sinB——,

cc

ab

..c—-------,c---------?

sinAsinB

a_b

sinAsinB

拓展探究

如圖2,在銳角△回（7中，ZA,ZB,NC的對邊分別為a,b,c.

請?zhí)骄?，—，?￡之間的關(guān)系，并寫出探究過程.

sinAsinBsinC

解決問題

如圖3,為測量點A到河對岸點8的距離，選取與點A在河岸同一側(cè)的點C,測得AC=60m,

ZA=75°,/C=60。.請用拓展探究中的結(jié)論，求點A到點8的距離.

15.【2022年江西】綜合與實踐

問題提出

某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF

（/尸=90。，ZF=60°）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角

板P即與正方形ABC。重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖⑶

操作發(fā)現(xiàn)

（1）如圖（1）,若將三角板的頂點尸放在點。處,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)。/與重合時，重疊部

分的面積為;當(dāng)。/與BC垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為

S,在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S與S的關(guān)系為.

1

類比探究

（2）若將三角板的頂點廠放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，0E,。尸分別與正方形的邊相交于點M,

N.

①如圖（2）,當(dāng)時，試判斷重疊部分△0W的形狀，并說明理由；

②如圖（3）,當(dāng)CM=CW時，求重疊部分四邊形。MCN的面積（結(jié)果保留根號）.

拓展應(yīng)用

（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGO//（設(shè)NGOH=a）,將

NGOH繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NGOH的兩邊與正方形A8C。的邊所圍成的圖形的

面積為S,請直接寫出S的最小值與最大值（分別用含a的式子表示）.

22

（參考數(shù)據(jù)：sinl5°=—~,cosl5°=.6+、2,tanl5°=2->J3）

44

答案以及解析

L答案：B

2.答案：D

解析：BD=2CD=6,.-.CD=3.vtanC=2,AD=6.在RtAABD中，AD=6,BD=6,由

勾股定理可知AB=6>/I.

3.答案：C

解析：過。點作于E,

AE2BE3

1BC[51

.,.2DE+30E=5Z)E=AB,在RtZVlBC中，tanNA=-，BC=君，；.="=,解得

2ACAC2

AC=2卡,AB=1AC?+BC?=5,DE-1,AE=2,

AD=>JAE2+DE2=Viz+22=5/5,:.CD=AC-AD=-j5,故選：C.

4.答案：9.88

解析：…ACHDF,ZACB=ZDFE,tanZACB=tanZDFE,即"

BCEF8.722.18

/.AB=9.88m.

5.答案:7記

2

77

解析：連接AC父3。于點0,則OB=OD=-，AC_L&).在Rt/XAOB中，AB=4,BO=-,

22

AO=店.在菱形ABCD中,ADIIBC,:.ZCBD=ZADBAM=BN,MELBD,

2

NFLBD,

ME+NF=MDsinZMDE+BNsinANBF=MDsinZADO+AMsinZADO=ADsinZADO

=4。=叵

2

6.答案：(1)47°

(2)3.3米

解析：(1)?.?NADC=84。，ZABC=31°,

:.ZBAD=ZADC-AABC,

:.ZBAD=47°.

答：/胡。的度數(shù)是47。.

AT

（2）在中,tan37°=——

BC

BC=AC

tan37°

有心高

同理，在Rt^ADC中,

?.?BD=4,

AT

...BC—DC=-----------=BD=4.

tan37°tan84°

42

:.-AC——AC?4,

319

AC?3.3（米）.

答：表AC的長是3.3米.

7.答案：（1）證明見解析

（2）雕像的高約為7.5m

解析：（1）AB//CD,A,D,H,G四點共線,

:.ZGDE=ZA.

NFEC=ZA,

:.ZGDE=ZFEC,

EFIIDG.

又rCDIIFG,

二.四邊形OEFG為平行四邊形.

(2)?四邊形。EFG為平行四邊形，EF=62m,

DG=EF=6.2m,

AG=AD+DG=1.6+6.2=7.8(m).

如圖，過點6作6加LAB于點M.

在中，AG=7.8m,NA=72.9°,

GM=AG-sin72.9°a7.8x0.96a7.5(m).

答：雕塑的高約為7.5m.

8.答案：旗桿的高48為3米

解析：AD/IEG,:.ZADO=ZEGF.

又；ZAOD=ZEFG=90°,:.AAOD?△EFG,

AO_OD￡FOZ)1.8x20

AO=

EF-FGFG2.4

同理，△BOC-△AOD,

吆=也，力。=把空=巨學(xué)

AOODOD20

:.AB=OA-OB=3（米），

.?.旗桿的高為3米.

9.答案:32m

解析：如圖，延長所交。C于點"，由題意知，EH1DC.

沒DH=x.

在RtAD//F中，ZDFH=45°,

：.FH=DH=x.

在RtADHE中，ZDEH=34°,

PH_x

EH=

tan34°tan34°

Y

EF=15,EH-FH=15,即-------x=15,

tan34°

x~30.5,

DC=30.5+1.5=32.

答：拂云閣。C的高度約為32m.

10.答案：觀光船從C處航行到D處的距離為462.5米.

解析：解：過點C作CF_LDE于點F,

D

由題意得，ZD=40°,ZACB=68°,

在中，ZCBA=90°,

?/tanZACB=—

CB

AB=CBxtan68°=200x2.48=496

BE=AB-AE=496-200=296

?.?ZCFE=ZFEB=ZCBE=90°

.?.四邊形尸EBC為矩形

/.CF=BE=296.

在RtZ\CD尸中，ZDFC=90°

?/sinZD=—

CD

CF296

CD=---------?——=462.5

sin40°0.64

答：觀光船從。處航行到。處的距離為462.5米.

11.答案：112m

解析：如圖，根據(jù)題意，5。=32,ZAPC=42°,ZAPB=35°.

Ar

在RtZkR4C中，tan/APC=——

PA

?pA=___________

-tanZAPC

在中，tanZAPB=——，

PA

PA=-------------.

tan/APB

?.?AC=AB+BC,

AB+BC_AB

tanZAPCtanZAPB

「一。(

?B—____B__C__-_t_a_n_Z__A_P__B_________3__2__x_t_a_n__3__5_°____~___3_2__x_0__._7_0__—iio(JYI

tanZAPC-tanZAPBtan42°-tan35°0.90-0.70

答：這座山AB的高度約為112m.

12.答案：（1）步道DE的長度約為283米

（2）小紅經(jīng)過點B到達點D的路線較近

解析：（1）如圖，過點E作團，0c于點

在Rt^EHD中，ZD=45°,

DE=近EH?1.414x200=282.8a283.

答：步道。E的長度約為283米.

(2)在RtAEHD中，Z￡>=45°,

DH=EH=100.

又8D=100,

BH=DH-BD=100.

在Rt△ACS中，ZABC=30°,

Ar-

AB=2AC=400,BC=---------=20。/,

tan30°

AE=HC=BC-BH=20073-100.

從點A經(jīng)過點B到達點D的路線長為/15+BD=400+100=500；

從點A經(jīng)過點E到達點D的路線長為

AE+DE=200>/3-100+200"?200x(1.732+1.414)-100=529.2.

答：小紅經(jīng)過點B到達點D的路線較近.

13.答案：58m

解析：分別延長AB,C。與直線。月交于點G,點、H,如圖，

G0FH

A

貝?。軿AGO=ZEHO=90°.

又「NG4c=90。，，四邊形ACHG是矩形，

GH=AC.

由題意，得AG=60,OF=2.4,ZAOG=70°,/EOF=30°，ZEFH=60°.

在RtAAGO中，ZAGO=90°,tanZAOG=—

OG

“AG6060…

OG=--------------=----------?-------?21.8.

tanZAOGtan70°2.75

?.?/EFH是△K9尸的外角，

:./FEO=/EFH-ZEOF=60°-30°=30°,

:"EOF=NFEO,EF=OF=24.

FH

在RtAEHF中，/EHF=90。，cosZEFH=——

EF

:.FH=EF-cosZEFH=24xcos60°=12,

,\AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12?58(m).

答：樓與C。之間的距離AC的長約為58m.

14.答案：拓展探究：見解析

解答問題：點A到點5的距離為30Wm.

解析：（拓展探究）證明：作CCAB于點，AEIBC于點E.

CD

同理：sinB=

BCa

烏，sin〃G4二處AE

sinABAC=—

ACbACb

AE=csinB,AE=bsinZBCA,

CD=asin5,CD=bsinABAC.

/.csinB=/?sinZBCA，asin5二bsinABAC.

b_ca_b

sinBsinZBCAsinABACsinB

a_Z?_c

sinABACsinBsinZBCA

（解答問題）解：在△ABC中，ZCBA=180°-ZAZC=180o-75°-60o=45°.

??AB—AC,?AB—60.

sinCsinZCBAsin60°sin45°

解得：AB=3046.

答：點A到點B的距離為30而m.

15.答案：（1）1,1,S=-S

i4

（2）①/XOMN是等邊三角形

②6-1

（3）S的最小值為tan%，S的最大值為l-tan（45-a）

*i2

222

解析：（2）①△OAW是等邊三角形.

理由：

方法一：如圖（1）,連接08,OC.

圖⑴

???四邊形A5c。是正方形,

OB=OC,ZOBC=ZOCB=45°.

??,在八OBM與/\OCN中，

OB=OC,

<ZOBC=ZOCB,

BM=CN,

=AOCN,

:.0M=ON.

X-/AMON=60。，

:./\OMN為等邊三角形.

方法二：如圖（2）,連接05,OC,過點。作0。，5c于點0.

圖（2）

???四邊形A5CZ）是正方形，

/.OB=OC.

0QLBC,

：.BQ=CQ.

?.?BM=CN,

BQ-BM=CQ-CN,BPMQ=NQ.

?.?OQLMN,

:.OM=ON.

???AMON=60°,

:.^OMN為等邊三角形.

②連接OC

???四邊形ABCD是正方形，

:.ZOCM=ZOCN=45°.

在△OCM與△OGV中,

CM=CN,

<ZOCM=/OCN,

oc=oc,

:△OCM=Z\OCN,

:"COM=ZCON.

?.?AMON=60°，

:.ZCOM=ZCON=30。，

:.ZOMB=NCOM+ZOCB=30。+45。=75。，

ZOND=ZCON+ZOCN=30。+45。=75。.

方法一：如圖(3),過點。分別作OKJ_5C于點K,作OR_LCD于點R.

/.MK=OK-tanZKOM=2-也,

：.s=-OKMK=2~^.

△OMK22

同理可得s=石史，

△ONR2

:.S=S-S-S=l-2~^-2-^=73-l.

四邊形OMCN正方形。KCRAOMKAONR22

方法二：如圖（4）,過點O分別作OU1BC于點U,OTLOP交BC于點T.

AD

圖（4）

在△O7M中，ZOMT=75°,ZMOT=90°-60°=30°,

:.ZOTM=180°-ZOMT-ZMOT=75°,

:.ZOMT=ZOTM，

OT=OM.

又OUIBC,

TM=2MU.

在RtZkOMZ/中，OU=1,AMOU=9Q°-ZOMU=15°,

MU=OU-tanZUOM=2-5

:.TM=2MU=4-273>

:.S=-MT-OU=2-^3.

△OMT2

由(1)的結(jié)論可知：s=1,

四邊形OTCN

:.S