2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市和平區(qū)高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一.選擇題(共9小題)1.已知集合A=x∣?5<A.{?1,0}B.{2,【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合交集的定義,即可求解.解:集合A=?3則A∩故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2.已知x∈R,則“x2>0”是A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)題意,分別驗(yàn)證充分性與必要性即可得到結(jié)果.解:由題意可得,“x2>0”與“故“x2>0”是“故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件、必要條件的定義,屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)fx=x1+m1A.-2B.-1C.1D.2【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)的定義可得f?x=fx解:由題意得f?x即?x1所以?1?m1?e?x=整理得m=?故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了偶函數(shù)定義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.已知a=30.1,b=3A.a<b<cB.c【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,及中間量1,即可求解.解:a=由指數(shù)函數(shù)y=3b=33=3∴c故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.5.設(shè)α,β是兩個(gè)平面,m,A.若α⊥β,m//α,l//β,則C.若α∩β=m,l//α,l//β【分析】根據(jù)題意,由線面平行性質(zhì)依次分析選項(xiàng),綜合可得答案.解:根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,直線m,l可能平行,相交或異面,故A對(duì)于B,平面α,β可能相交或平行,故B對(duì)于C,由直線與平面平行性質(zhì),分析可得C正確;對(duì)于D,平面α,β可能相交或平行,故D故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面的位置關(guān)系,涉及平面與平面、直線與平面平行的性質(zhì)和應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)fx=?sin2ωxω>0的最小正周期為π,若將其圖象沿x軸向右平移aa>0個(gè)單位,A.πB.π3C.3π4【分析】由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,求得實(shí)數(shù)a的最小值.解:函數(shù)fx=?sin2ωx=cos若將其圖象沿x軸向右平移aa>0個(gè)單位,可得再根據(jù)所得圖象關(guān)于x=π3對(duì)稱,可得2×π3?2a=kπ,k∈故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換,余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,屬于中檔題.7.已知圓C:x?42+y2=4,點(diǎn)M在直線y=x上,過M作圓A.π2B.3π4C.2π【分析】由題意作圖,根據(jù)相似三角形以及勾股定理,建立所求圓的半徑與CM的等量關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合,可得答案.解:由圓C:x?42+y2=由題意可作圖如下:∵M(jìn)A,MB與圓C分別相切于設(shè)AB∩CM=D,易知△ADC～△MDA,則ADMD=DCAD,可得在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2由圖可知MD+CD=CM整理可得R2由圖易知當(dāng)CM垂直于直線y=x時(shí),CM取得最小值,則由函數(shù)R2=4?16CM2在[以AB為直徑的圓的面積S=πR2,∴故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,是中檔題.8.設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0A.3B.33C.3D.【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出MF1,在Rt△MOF1中,求出cos∠OF1M,在解:F1在Rt△MOF1中,在△MF1F2即3b所以2c2=3b所以e=c故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì),屬于中檔題.9.在三棱錐S?ABC中,∠BAC=3∠SCAA.25πB.256πC.1253π【分析】先證明AB⊥平面SAC,再根據(jù)正弦定理求解△SAC外接圓的半徑,進(jìn)而根據(jù)外接球的性質(zhì)確定球心的位置,解:∵∠BAC又∵SA⊥AB,SA在Rt△SAB中,SB又∵∠SCA=30°,則△SAC取BC,AC的中點(diǎn)D,E,△SAC的外心為F,過D作平面過F作平面SAC的垂線交l于點(diǎn)O,即為球心,連接DE,EF,FA,OA則FA=∴OA即三棱錐S?ABC外接球的半徑為∴三棱錐S?ABC外接球的體積為故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積計(jì)算,關(guān)鍵是求出球的半徑,屬于中檔題.二.填空題(共6小題)10.若復(fù)數(shù)z=3+i1?3i【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)乘法進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算,再根據(jù)實(shí)部虛部概念計(jì)算即可.解:復(fù)數(shù)z=則z的實(shí)部與虛部之積為23故答案為:?4【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.2x3?【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,令k=3解:2x3?1k=令k=則T4故第四項(xiàng)的系數(shù)為-160.故答案為:-160.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12.過拋物線x2=4y上一點(diǎn)P作切線與y軸交于點(diǎn)Q,直線PQ被圓x2+y2=1截得的弦長(zhǎng)為2【分析】由題意,利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線的切線方程,再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離以及弦長(zhǎng)進(jìn)行求解.解:因?yàn)閤2即y=可得y′設(shè)切點(diǎn)Px此時(shí)切線斜率為k=x所以切線方程為yx即2x令x=解得y=所以Q0因?yàn)橹本€PQ被圓x2+y2=所以圓心到直線PQ的距離d=此時(shí)?x即x0解得x02=4或所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0,-1).故答案為:(0,-1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了邏輯推理和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13.A,B,C,D,E五種活動(dòng),甲、乙都要選擇三個(gè)活動(dòng)參加,甲選到A的概率為?35;已知乙選了【分析】設(shè)事件A表示“選到A”,事件B表示“選到B”,則甲從中選3個(gè).甲選到A的概率為PA=C11C42C53解:設(shè)事件A表示“選到A”,事件B表示“選到B”,則甲從中選3個(gè).甲選到A的概率為PAP∴乙選了A活動(dòng),他再選擇B活動(dòng)的概率為:P故答案為:35【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.14.如圖,△ABC是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形,若AD=4,BD=2,那么BE?CD=_____-6；點(diǎn)M為線段CE【分析】由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,結(jié)合余弦定理求解即可.解:在△ABD中,AD=4,BD=2,∠則BE×2由余弦定理可得:AB=在△ABD中,由余弦定理可得:則cos∠ACE設(shè)CM=則MA?即當(dāng)λ=58時(shí),MA?MC故答案為:-6;-254【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,重點(diǎn)考查了余弦定理,屬中檔題.15.已知函數(shù)fx=ax2+2x2?ax+【分析】根據(jù)函數(shù)gx=2x2?ax+1是否有零點(diǎn)進(jìn)行分類討論:當(dāng)Δ<0時(shí),gx≥0恒成立,結(jié)合題意求解即可;當(dāng)Δ>0且a>0時(shí),fx>解:設(shè)gx=2x2?(1)當(dāng)Δ=a2?8≤0,即?2x2因?yàn)閒x有兩個(gè)零點(diǎn),所以a≠?2且a2?4a?8>0綜上所述,當(dāng)?22≤a≤22時(shí),滿足?(2)當(dāng)Δ=a2?8>0,即設(shè)gx=2x2?ax+1=0的兩個(gè)根為m,n當(dāng)a<?22時(shí),關(guān)于x的方程因?yàn)?a>2,可知a4<0,所以y=?ax2當(dāng)x∈?∞,m時(shí),y=?ax2與gx所以y=?ax2與因此,要使方程?ax2=2x即方程2?ax2?ax+1=結(jié)合?2?23<?綜上所述,滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為?2故答案為:?2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根的判別式、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用,屬于中檔題.三.解答題(共5小題)16.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a(I)求角B的大小;(II)若c=3,a+b(III)若b=2a,求【分析】(I)由正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得cosB=32,結(jié)合B∈0(II)由題意利用余弦定理可得a2?b2+3=3a,又(III)由題意利用正弦定理可得sinA解:(I)由正弦定理得:2sin可得2sin顯然sinA則cosB=3又B∈故B=π(II)∵B=π∴由余弦定理可得cosB=a2+3?又a+b=2∴SΔABC(III)由正弦定理得:sinB則sinA∵b=2a,即則B>故A為銳角,cosA=1∴sin2cos2∴sin2A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理,三角函數(shù)恒等變換,余弦定理以及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.17.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3(I)求證:A1F//平面(II)求平面ACC1A1與平面(III)求點(diǎn)A1到平面BDE【分析】(I)取BE中點(diǎn)G,連接FG、DG,即可得到FG//A1D且FG=A1D,從而得到A1(II)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求出平面ACC1A1與平面(III)利用向量法點(diǎn)A1到平面BDE(I)證明:取BE的中點(diǎn)G,連接FG,DG,則因?yàn)镕為B1C所以FG=C所以FG//A1D所以四邊形A1DGF所以A1又A1F?平面BDE,DGA1F//平面(II)解:直三棱柱ABC?A1B1以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC1的方向?yàn)閤軸、y軸、z所以BE=設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n=則n?BE=0n?BD=0,即?易知平面ACC1A1設(shè)平面ACC1A1與平面BDE則cosθ所以平面ACC1A1與平面BDE(III)解:因?yàn)锳1所以點(diǎn)A1到平面BDE的距離d【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的證明以及平面與平面所成的角的計(jì)算,屬于中檔題.18.已知橢圓C:x2a2+y2?b2=1a>b>0過點(diǎn)H3,1,離心率為63,斜率為?13的直線(1)求橢圓C的方程；(2)若MN=10,P為橢圓的上頂點(diǎn),求△(3)記直線HM,HN的斜率分別為k1,k2,證明:k【分析】(1)由題意列方程,求出a,b(2)借助弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得m=2或m=?2,再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算點(diǎn)P0,2(3)設(shè)出直線的方程,與橢圓聯(lián)立后可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理表示出k1k解:(1)由題可得9a2+1b故橢圓C的方程為x2(2)由題,設(shè)直線l的方程為y=1聯(lián)立y=13x+則Δ=6m2?144所以x1因?yàn)橹本€HM,HN均不與x軸垂直,所以x1≠3,x2≠則MN==10解得:m=2或當(dāng)m=2時(shí),直線l的方程y=13x+2當(dāng)m=?2時(shí),點(diǎn)P0,2到直線l的距離故△PMN的面積S=(3)證明:由(2)可得,k=====13,故k【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于難題.19.已知數(shù)列an,bn,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知對(duì)于任意n∈N?,都有3an=(1)求數(shù)列an和bn(2)記dn=bn+2?1bnbn+1(3)記c【分析】(1)首先根據(jù)an與Sn的關(guān)系得到an,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到(2)利用裂項(xiàng)相消法即可得結(jié)果;(3)將分組求和與錯(cuò)位相減法相結(jié)合即可得結(jié)果.解:(1)當(dāng)n=1時(shí),3a1=當(dāng)n≥2時(shí),所以3a即an是以首先a1=3,公比為3因?yàn)閎1=所以b4+12=解得d=所以bn(2)由(1)得dn則T==1(3)k=因?yàn)閏2n設(shè)dn=2n?1?9n則Kn9?K所以k=【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式,以及數(shù)列的分組求和、裂項(xiàng)相消求和與錯(cuò)位相減法求和,考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.2