備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第十三章-§13-2-參數(shù)方程

第十三章

系列4選講§13.2

參數(shù)方程考試要求1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義.2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)

并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么此方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程.(2)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以通過_________而從參數(shù)方程得到普通方程.消去參數(shù)2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線___________________________圓__________橢圓________________________x2＋y2＝r2雙曲線拋物線y2＝2px(p>0)判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)×√√×1.參數(shù)方程

(t為參數(shù))的圖象是A.離散的點 B.拋物線C.圓

D.直線√可得3x＋y＋1＝0，所以該參數(shù)方程的圖象為直線.√得y＝xtanα，設(shè)k＝tanα，得直線l的方程為y＝kx，由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圓心坐標為(2,0)，半徑為1，則圓心到直線y＝kx的距離為探究核心題型第二部分例1

已知曲線C1，C2的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).(1)將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；題型一參數(shù)方程與普通方程的互化(2)若點P是曲線C1上的動點，求點P到C2的距離的最小值.所以點P到C2的距離的最小值為2－1＝1.所以點P到C2的距離的最小值為1.消去方程中的參數(shù)一般有三種方法(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式，然后代入消去參數(shù).(2)利用三角恒等式消去參數(shù).(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù).思維升華跟蹤訓練1

(2022·全國甲卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

(t為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為

(s為參數(shù)).(1)寫出C1的普通方程；所以曲線C1的普通方程為y2＝6x－2(y≥0).(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C3的極坐標方程為2cosθ－sinθ＝0，求C3與C1交點的直角坐標，及C3與C2交點的直角坐標.曲線C3的極坐標方程可化為2ρcosθ－ρsinθ＝0，所以C3的直角坐標方程為y＝2x.題型二參數(shù)方程的應用例2

在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

(λ為參數(shù)).(1)求曲線C的普通方程；(1)解決直線與曲線的參數(shù)方程的應用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與曲線的位置關(guān)系來解決.(2)對于形如

(t為參數(shù))的方程，當a2＋b2≠1時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題.思維升華跟蹤訓練2

(2023·榆林模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為C：

(t為參數(shù))，以直角坐標的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C的極坐標方程；極坐標方程和參數(shù)方程的綜合應用例3

(2022·全國乙卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為

＋m＝0.(1)寫出l的直角坐標方程；題型三直線l的極坐標方程為(2)若l與C有公共點，求m的取值范圍.曲線C的參數(shù)方程為得曲線C的普通方程為聯(lián)立直線l與曲線C的方程，消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2).方法一若直線l與曲線C有公共點，則Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，方法二所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，所以當－2≤y≤2時，解決參數(shù)方程和極坐標的綜合問題的方法涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.思維升華跟蹤訓練3

在平面直角坐標系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程是

(α為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C1的極坐標方程是ρcosθ－3＝0，點P是曲線C2上的動點.(1)求點P到曲線C1的距離的最大值；由曲線C2的參數(shù)方程，得其普通方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，表示以(－2，－1)為圓心，以1為半徑的圓.由曲線C1的極坐標方程，得其直角坐標方程為x＝3.則圓心C2到直線x＝3的距離d＝2＋3＝5，所以點P到曲線C1的距離的最大值dmax＝1＋d＝6.課時精練第三部分(1)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系，并說明理由；1234512345∴直線l和圓C相離.1234512345123452.(2021·全國乙卷)在直角坐標系xOy中，圓C的圓心為C(2,1)，半徑為1.(1)寫出圓C的一個參數(shù)方程；12345(2)過點F(4,1)作圓C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程.1234512345當直線斜率不存在時，直線方程為x＝4，此時圓心到直線的距離為2>r，不符合題意，舍去；當直線斜率存在時，設(shè)切線為y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，12345這兩條切線的極坐標方程為3.(2020·全國Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)且t≠1)，C與坐標軸交于A，B兩點.(1)求|AB|；1234512345令x＝0，則t2＋t－2＝0，解得t＝－2或t＝1(舍去)，則y＝2＋6＋4＝12，即A(0,12).令y＝0，則t2－3t＋2＝0，解得t＝2或t＝1(舍去)，則x＝2－2－4＝－4，即B(－4,0).(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.12345則直線AB的方程為y＝3(x＋4)，即3x－y＋12＝0.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，直線AB的極坐標方程為3ρcosθ－ρsinθ＋12＝0.1234512345即ρ－ρsinθ＝2，即x2＋y2＝(y＋2)2(y≥－2)，整理得x2＝4y＋4.所以曲線C2的直角坐標方程為x2＝4y＋4.12345(2)設(shè)曲線C1，C2的交點為A，B，求|AB|的值.5.(2022·萍鄉(xiāng)模擬)在平面直角坐標系中，P為曲線C1：

(α為參數(shù))上的動點，將P點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?縱坐標不變)得到Q點，記Q點的軌跡為C2，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求曲線C