中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題30 圓冪定理（原卷版）

專題30圓冪定理模型的概述：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等。弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角讀數(shù)。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。圓冪定理實(shí)質(zhì)上是反映兩條相交直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)定理，其本質(zhì)與比例線段相關(guān)。相交弦定理模型：如左圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P,則AP?DP=BP?CP證明：如中圖，連接AB、CD在△APB和△CPD中∠1=∠2（同弧所對(duì)圓周角相等）∴△APB∽△CPD∴APCP=BPDP則AP?∠3=∠4【進(jìn)階】如右圖，OP所在直線與⊙O交于M、N兩點(diǎn)，r為⊙O的半徑，則AP?DP=BP?CP=MP?NP=(r-OP)(r+OP)=割線定理模型：若從圓外一點(diǎn)P引圓的兩條割線PAB和PCD，則AP?BP=CP?DP?].’=證明（方法一）：如中圖，連接AC、BD∵∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°∴∠1=∠3在△APC和△DPB中∠1=∠3，∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴APDP=CPBP則AP證明（方法二）：如右圖，連接AD、BC在△PAD和△PCB中∠PAD=∠PCB（∠1=∠2），∠P=∠P∴△PAD∽△PCB∴APCP=DPBP則AP?【進(jìn)階】若從圓外一點(diǎn)P引圓的兩條割線PAB和PMN，且割線PMN經(jīng)過(guò)圓心，r為⊙O的半徑，則AP?BP=MP?NP=(OP-r)(OP+r)=OP2弦切角定理模型：線段AB切⊙O于點(diǎn)B，線段BC、CD為⊙O的弦，則∠1=∠2=12∠證明：連接OB、OD，則∠4=∠5∵線段AB切⊙O于點(diǎn)B∴∠1+∠4=90°∵∠3+∠4+∠5=180°∴∠3+2∠4=180°又∵∠3=2∠2∴∠2+∠4=90°∴∠1=∠2則∠1=∠2=12∠切割線定理模型：如右圖，線段ADC是⊙O的一條割線，AB是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，則AB2=AD?證明：∵∠1=∠2（弦切角定理模型），∠A=∠A∴△ABD∽△ACB∴ABAC=ADAB則AB【能力培優(yōu)練】1．如圖，PA切⊙O于點(diǎn)，PBC是⊙O的一條割線，且PA=23，BC=2A．2 B．

6 C．4 D．22．如圖，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，如果PB=2，PC=4，則PA的長(zhǎng)為_(kāi)_______．3．弗朗索瓦·韋達(dá)是十六世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，最早提出“切割線定理”（圓冪定理之一），指的是從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，則切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，下面緊跟著圓的切線作圖的思路嘗試證明與運(yùn)用．(1)作圖（保留作圖痕跡）：已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，①作線段OP的中垂線MN交OP于點(diǎn)Q；②以Q為圓心，PQ為半徑作圓，交圓O于點(diǎn)E、F；③連接PE和PF；試說(shuō)明PE是圓O切線的理由．(2)計(jì)算：若圓O半徑OB=4，PB=14，嘗試證明“切割線定理”并計(jì)算出PE的長(zhǎng)度．4．圓冪定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割線定理、割線定理以及它們的推論，其中切割線定理的內(nèi)容是：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．你能給出證明嗎？下面是證明的開(kāi)頭：已知：如圖①，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，切線PA與圓相切于A，割線PBC與圓相交于點(diǎn)B、C．求證：PA2＝PB?PC證明：如圖②，連接AB、AC、B0、AO，因?yàn)镻A切⊙0于點(diǎn)A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°．閱讀以上材料，完成下列問(wèn)題：(1)補(bǔ)充完成上面的證明過(guò)程；(2)如圖③，割線PDE與⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的長(zhǎng)．5．在數(shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，張明同學(xué)突發(fā)奇想，特殊線與圓在不同的位置情況下會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》，這本書(shū)是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作．它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)．其中第三卷命題36-2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)比例中項(xiàng)．（比例中項(xiàng)的定義：如果a、b、c三個(gè)量成連比例即a:b=b:c，則b叫做a和c的比例中項(xiàng)）(1)為了說(shuō)明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程．已知：如圖，A是圓O外一點(diǎn)，AB是圓O的切線，直線ACD為圓O的割線．求證：證明：(2)已知AC=2，CD=4，則AB的長(zhǎng)度是．6．復(fù)習(xí)鞏固切線：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).如圖1，直線l1為⊙O的切線割線：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.如圖1，直線l2為⊙O的割線切線長(zhǎng)：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).閱讀材料《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所普的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐州數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).為了說(shuō)明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程已知：如圖2，A是⊙O外一點(diǎn)，．求證：[提示]輔助線可先考慮作⊙O的直徑DE．7．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達(dá)，法國(guó)杰出數(shù)學(xué)家．第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)（切割線定理）．如圖1，P是⊙O外一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，PA是⊙O的一條割線，與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則PC證明：如圖2，連接AC、BC，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的直徑CD，連接AD．∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥∴，即∠PCB+∠……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，連接PO并延長(zhǎng)與⊙O交于點(diǎn)B、C，∠P=∠BAD，BC=8，AP=3BP，連接CD．①CD與AP的位置關(guān)系是．②求BD的長(zhǎng)．8．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．切割線定理揭示了從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線時(shí)，切線與割線之間的關(guān)系．如圖1，P是⊙O外一點(diǎn)，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于點(diǎn)B（即PA是⊙O的割線），則PT下面是切割線定理的證明過(guò)程：證明：如圖2，連接TO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．∵PT切⊙O于點(diǎn)T，∴∠∴∠∵CT是⊙O……(1)根據(jù)前面的證明思路，補(bǔ)全剩余的證明過(guò)程；(2)在圖1中，已知AB=6，PB=5，則PT=______，ATTB9．讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．下面是不完整的證明過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：P為⊙O外一點(diǎn)，PA與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，PM與⊙O相切于點(diǎn)M求證：PM證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，連接BC∵PM為⊙O的切線，∴_______=90°，∴∠CMB+∠BMP=90°，∵CM為⊙O的直徑，∴_______=90°，∴∠CMB+∠MCB=90°，∴∠MCB=_______，∵∠MAB=∠MCB，∴∠BMP=∠MAB．∵∠P=∠P，∴△PBM∽_______．∴PMPA=PBPM學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖，若線段AB與⊙O相交于C，D兩點(diǎn)，且，射線AB，BF為⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：AE=BF；(2)若BF=6，CD=2BD，∠FBC=60°，求△BCF10．我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)（即直線與圓相交）時(shí)，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關(guān)的定理．比如，割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：如圖①，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條割線，一條交⊙O于A、B點(diǎn)，另一條交⊙O于C、D點(diǎn)．求證：PA?證明一：連接AD、BC，∵∠A和∠C為BD所對(duì)的圓周角，∴______．又∵∠P=∠P，∴即PA?研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD，即可得到學(xué)習(xí)過(guò)的圓內(nèi)接四邊形ABDC．那么或許割線定理也可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來(lái)證明．請(qǐng)根據(jù)提示，獨(dú)立完成證明二．證明二：連接AC、BD，11．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，割線POB與⊙O相交于A、B，切線PC與⊙O相切于C，若PA=2，PC=3，求⊙0的半徑．12．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．證明過(guò)程如下：如圖1：已知：點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PF是切線，F(xiàn)是切點(diǎn)，PBA是割線，點(diǎn)A，B是它與⊙O的交點(diǎn)，求證：P證明：連接FO并延長(zhǎng)交⊙O于C，連接AF，BF，BC，∵PF是⊙O的切線，∴∠∵CF是⊙O的直徑，∴∠∴∠C+∠CFB=90°

∴又∵∠C=∴......任務(wù)：(1)完成材料證明部分中的“依據(jù)”，填入空格．(2)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)定理應(yīng)用：已知PT為⊙O的切線，T是切點(diǎn)，PBA是⊙O的割線，交OC于D，為⊙O的直徑，OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB的長(zhǎng)．13．閱讀與思考九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū)，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，O的兩弦AB，CD相交于點(diǎn)P．求證：APBP證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴APBP∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整．根據(jù)：；@：．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是O的弦，P是AB上一點(diǎn)，，PA=3cm，OP=15cm，求⊙14．閱讀與思考九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū)，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，⊙O的兩弦AB，CD相交于點(diǎn)P．求證：AP?證明：如圖1，連接AC，BD．∵∠C=∠B，∠A=∴△APC∴APDP∴AP?∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是⊙O的弦，P是AB上一點(diǎn)，AB=10cm，PA=4cm，，求⊙15．九年級(jí)學(xué)生小剛是一個(gè)喜歡看書(shū)的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），非常好奇，仔細(xì)閱讀原來(lái)就是：PA?PB=PC?PD，小剛很想知道是如何證明的，可異證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)AC、BD．聰明的你一定能幫他證出，請(qǐng)?jiān)趫D1中做出輔助線，并寫出詳細(xì)的證明過(guò)程．小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是⊙O弦，P是AB上一點(diǎn)，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半徑，愁壞了小剛，樂(lè)于助人的你肯定會(huì)幫助他，請(qǐng)寫出詳細(xì)的證明過(guò)程．16．小高同學(xué)在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個(gè)與圓相關(guān)的角——弦切角（弦切角的定義：把頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．【證明】在證明時(shí)，細(xì)心的小高考慮了三種情況，圓心在弦切角∠PAB的一條邊上，圓心在弦切角外，圓心在弦切角內(nèi)．如圖1，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，AB為直徑，當(dāng)圓心O在AB上時(shí)，容易得到∠PAB=90°，所以弦切角∠PAB=(1)如圖2，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，AC為直徑，∠PAB夾弧所對(duì)的圓周角為∠C，求證：∠(2)如圖3，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∠PAB夾弧所對(duì)的圓周角為∠C．求證；∠【解決問(wèn)題】(3)如圖4，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，直接寫出∠CBD與∠CAB17．閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務(wù)：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．如圖1，直線NM與⊙O相切于點(diǎn)A，AB為⊙O的弦，∠BAM叫弦切角，AB叫做弦切角∠BAM所夾的弧，∠C是AB所對(duì)的圓周角，AC為直徑時(shí)，很容易證明∠BAM=小華同學(xué)認(rèn)為這是一種特殊情況，若AC不是直徑會(huì)如何呢？即在圖2中∠BAM=∠C嗎？她連接AO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)