【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-1教案：第2章-夾角的計(jì)算

2.5夾角的計(jì)算一、學(xué)法指導(dǎo)本小節(jié)主要包括三個(gè)部分的學(xué)問：直線間的夾角；平面間的夾角；直線與平面間的夾角.在學(xué)習(xí)時(shí)要留意的問題有：（1）直線間的夾角：直線間夾角的范圍是（2）求平面間的夾角時(shí)求平面的法向量是解題的關(guān)鍵.（3）求直線與平面間的夾角時(shí)用的是直線的方向向量和平面的法向量所成的夾角，此角與直線和平面所成角互余.用向量作工具來爭(zhēng)辯空間的夾角問題時(shí)，重要的是明確直線的方向向量、平面的法向量以及它們之間的關(guān)系.二、學(xué)問精要學(xué)問點(diǎn)1:直線間的夾角1.兩直線的夾角當(dāng)兩條直線與共面時(shí)，我們把兩條直線交角中，范圍在內(nèi)的角叫做兩直線的夾角2.異面直線的夾角:當(dāng)兩條直線與是異面直線時(shí)，在直線上任取一點(diǎn)A作AB∥，我們把直線和直線AB的夾角叫做異面直線與的夾角3.(重點(diǎn))空間兩直線的夾角與它們方向向量的夾角的關(guān)系:已知直線與的方向向量分別為，，當(dāng)0<<時(shí)，直線與的夾角等于；當(dāng)<時(shí)，直線與的夾角等于－.注:確定直線的方向向量是解決兩直線夾角的關(guān)鍵.學(xué)問點(diǎn)2(重難點(diǎn))平面間的夾角1.平面間的夾角:在兩個(gè)平面所成的二面角的平面角中，稱范圍在內(nèi)的角為這兩個(gè)平面的夾角.注:平面間的夾角與平面的二面角不是同一概念.2.(重點(diǎn))求兩平面間的二面角的向量求法方法一：在兩個(gè)半平面內(nèi)任取兩個(gè)與棱垂直的向量，則這兩個(gè)向量所成的角或其補(bǔ)角即為所求的二面角的大小；注：要特殊關(guān)注兩個(gè)向量的方向方法二：設(shè)，分別是兩個(gè)面的法向量，則向量與的夾角(或其補(bǔ)角)即為所求二面角的平面角的大小.注:通過向量法求出二面角有利于求兩平面的夾角.3.(難點(diǎn))兩平面的夾角與兩平面法向量所成的角的關(guān)系.平面和的法向量為和，為兩個(gè)平面所成二面角的平面角，與的關(guān)系：當(dāng)0時(shí)，=；（2）當(dāng)<時(shí)，=－學(xué)問點(diǎn)3(重難點(diǎn))直線與平面間的夾角.1.直線與平面的夾角平面外一條直線與他在該平面內(nèi)的投影的夾角叫做該直線與此平面的夾角.注:直線與平面間的夾角的范圍為2直線與平面的夾角的計(jì)算方法在平面內(nèi)作出直線的投影，找到直線與平面的夾角，通過解三角形求出.利用直線的方向向量和平面的法向量所成的角求直線與平面的夾角.3.(難點(diǎn))直線的方向向量與平面的法向量的夾角與平面間的夾角的關(guān)系：始終線的方向向量為，一平面的法向量為，則此直線與該平面的夾角與的關(guān)系為=.三、學(xué)問深化學(xué)問點(diǎn)1:直線間的夾角兩直線的夾角是指兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中不超過的角，由于異面直線既不相交也不平行，因此通過平移的方式使兩異面直線相交然后定義其夾角，故空間兩條直線的夾角由它們的方向向量的夾角確定。運(yùn)用向量法求異面直線的夾角就是在異面直線上取方向向量，運(yùn)用公式，求出兩向量的夾角.注:用向量的夾角公式求異面直線所成角時(shí)要留意其范圍。學(xué)問點(diǎn)2:平面間的夾角注:用向量法求二面角的大小時(shí)要留意向量的夾角與二面角是否相等.學(xué)問點(diǎn)3:直線與平面間的夾角在求直線與平面所成的角時(shí)，可以先求出直線及其射影對(duì)應(yīng)的方向向量，再利用向量的內(nèi)積求出直線與平面所成的角，或利用直線的方向向量與平面的法向量求得四、高考鏈接1、如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為和的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)學(xué)問；考查空間想像力氣、推理論證力氣和探究問題、解決問題的力氣，利用空間向量將線面角和二面角將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決．答案：解：如圖分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得、、、、、、、．（1）取中點(diǎn)，則，，又，由，∴與共線．從而∥，∵平面，平面，∴∥平面．（2）∵，，∴異面直線與所成角的余弦值為．（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，可設(shè)點(diǎn)（），平面的一個(gè)法向量為，則∵，∴?。字矫娴囊粋€(gè)法向量，依題意知，或，∴，即，解得∵，∴在棱上存在一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，二面角的大小為.2、如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：直線；（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。解析：本題考查線面平行，異面直線所成角即點(diǎn)到平面的距離，在用向量解決時(shí)留意異面直線所成角的范圍.答案：方法一（綜合法）（1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE∵∴又∵∴∴（2）∵∴為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接∵∴∵∴，∴所以與所成角的大小為（3）∵∴點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，∵∴∴又∵∴,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離∵，∴，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建