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第十章10.5第5課時(shí)高考數(shù)學(xué)(理)黃金配套練習(xí)一、選擇題1.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案D解析分別從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù),共有15種取法,其中滿足b>a的有3種取法,故所求大事的概率為P=eq\f(3,15)=eq\f(1,5).2.羊村村長(zhǎng)慢羊羊打算從喜羊羊、美羊羊、懶羊羊、暖羊羊、沸羊羊中選派兩只羊去割草,則喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(6,7)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析從5只羊中任選兩只,有Ceq\o\al(2,5)=10種選法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的結(jié)果有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)=6種,故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被選中的概率為eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))=eq\f(3,5).選C.3.袋中裝有1個(gè)白球和3個(gè)黑球,從中摸出2個(gè)球正好一白一黑的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案B解析白球記作A,3個(gè)黑球分別記為a,b,c.基本大事為Aa,Ab,Ac,ab,ac,bc,一白一黑共有3個(gè)基本大事.∴P=eq\f(1,2).4.從甲地到乙地有A1、A2、A3共3條路線,從乙地到丙地有B1、B2共2條路線,其中A2B1是從甲到丙的最短路線,某人任選了1條從甲地到丙地的路線,它正好是最短路線的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案D解析基本大事,等可能大事的概率.n=3×2=6,m=1.∴P(A)=eq\f(1,6).5.投擲兩顆骰子,得到其向上點(diǎn)數(shù)分別為m和n,則復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)為實(shí)數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)答案C解析復(fù)數(shù)(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i為實(shí)數(shù),則n2-m2=0?m=n,∴投擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)相同的狀況只有6種,∴所求概率為eq\f(6,6×6)=eq\f(1,6),故選C.6.某公司規(guī)定,每位職工可以在每周的7天中任選2天休息(如選定星期一、星期三),其余5天工作,以后不再改動(dòng),則甲、乙、丙三位職工恰好同時(shí)工作、同時(shí)休息的概率是()A.eq\f(2,7)B.eq\f(1,21)C.eq\f(1,441)D.eq\f(1,147)答案C解析甲、乙、丙三位職工恰好同時(shí)工作、同時(shí)休息就是指三個(gè)人選定的休息日相同.由于每位職工從每周的7天中任選2天,有Ceq\o\al(2,7)種不同選法,所以甲、乙、丙三人一共有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,7)種不同的選法,而他們選擇的休息日相同的選法有C27,所以所求概率為P=eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,7)·C\o\al(2,7)·C\o\al(2,7))=eq\f(1,441).7.甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是()A.eq\f(3,18)B.eq\f(4,18)C.eq\f(5,18)D.eq\f(6,18)答案C解析甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線,所得的直線共有eq\f(6×6,2)=18(對(duì)),而相互垂直的有5對(duì),故依據(jù)古典概型概率公式得P=eq\f(5,18).二、填空題8.2022年倫敦奧運(yùn)會(huì)我國(guó)將派5名正式運(yùn)動(dòng)員和3名替補(bǔ)運(yùn)動(dòng)員參與體操競(jìng)賽,最終將有3人上場(chǎng)競(jìng)賽,其中甲、乙兩名替補(bǔ)運(yùn)動(dòng)員均不上場(chǎng)競(jìng)賽的概率是__________.答案eq\f(5,14)解析由等可能大事知概率為eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))=eq\f(5,14).9.在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同,從中摸出3個(gè)球,則摸出白球的個(gè)數(shù)多于黑球的個(gè)數(shù)的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(2,7)解析依題意,白球的個(gè)數(shù)多于黑球的個(gè)數(shù)的狀況有2白1黑、3白兩種,其概率為eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3)+C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))=eq\f(2,7).10.若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m,n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo),則點(diǎn)P在直線x+y=5的下方的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(1,6)解析點(diǎn)P在直線x+y=5下方的狀況有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六種可能,故P=eq\f(6,6×6)=eq\f(1,6).11.古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、水、火、土五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,”從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取兩種,則抽取的兩種物質(zhì)不相克的概率是________.答案eq\f(1,2)解析從五種不同屬性物質(zhì)中抽取兩種共有如下所示10種狀況.其中相克的(金,木),(金,火),(木,土),(水,火),(水,土)五種狀況,故所求的大事的概率為1-eq\f(5,10)=eq\f(1,2).三、解答題12.為了對(duì)某課題進(jìn)行爭(zhēng)辯,用分層抽樣方法從三所高校A,B,C的相關(guān)人員中,抽取若干人組成爭(zhēng)辯小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位:人).高校相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)A18xB362C54y(1)求x,y;(2)若從高校B,C抽取的人中選2人作專(zhuān)題發(fā)言,求這2人都來(lái)自高校C的概率.解析(1)由題意可得,eq\f(x,18)=eq\f(2,36)=eq\f(y,54),所以x=1,y=3.(2)記從高校B抽取的2人為b1,b2,從高校C抽取的3人為c1,c2,c3,則從高校B,C抽取的5人中選2人作專(zhuān)題發(fā)言的基本大事有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10種.設(shè)選中的2人都來(lái)自高校C的大事為X,則X包含的基本大事有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3種.因此P(X)=eq\f(3,10).故選中的2人都來(lái)自高校C的概率為eq\f(3,10).13.有編號(hào)為A1,A2,…,A10的10個(gè)零件,測(cè)量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品.(1)從上述10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率;(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個(gè).(ⅰ)用零件的編號(hào)列出全部可能的抽取結(jié)果;(ⅱ)求這2個(gè)零件直徑相等的概率.解析(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個(gè),設(shè)“從10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取一個(gè)為一等品”為大事A,則P(A)=eq\f(6,10)=eq\f(3,5).(2)(ⅰ)一等品零件的編號(hào)為A1,A2,A3,A4,A5,A6.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè),全部可能的結(jié)果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共有15種.(ⅱ)“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為大事B)的全部可能結(jié)果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有6種.所以P(B)=eq\f(6,15)=eq\f(2,5).14.一個(gè)袋中裝有四個(gè)外形大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率;(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為m,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為n,求n<m+2的概率.解析(1)從袋中隨機(jī)取出兩個(gè)球,其一切可能的結(jié)果組成的基本條件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6個(gè).從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的大事共有1和2,1和3兩個(gè).因此所求大事的概率P=eq\f(2,6)=eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,登記編號(hào)為m,放回后,再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,登記編號(hào)為n,其一切可能的結(jié)果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個(gè).又滿足條件n≥m+2的大事為(1,3),(1,4),(2,4),共3個(gè),所以滿足條件n≥m+2的大事的概率為P1=eq\f(3,16).故滿足條件n<m+2的大事的概率為1-P1=1-eq\f(3,16)=eq\f(13,16).15.從2009年夏季入學(xué)的高二新生開(kāi)頭,我省一般高中全面實(shí)施新課程.新課程的一個(gè)最大亮點(diǎn)就是實(shí)行課程選修制.現(xiàn)在某校開(kāi)出語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三門(mén)學(xué)科的選修課各一門(mén),假如有4位同學(xué),每位同學(xué)選語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)選修課的概率均為eq\f(1,3),求:①有三位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)選修課的概率;②這4位同學(xué)中有幾個(gè)人選數(shù)學(xué)選修課的概率最大.解析(1)設(shè)“有三位同學(xué)選擇數(shù)學(xué)選修課”為大事A,則P(A)=eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)=eq\f(8,81).(2)設(shè)ξ的全部可能的取值為0,1,2,3,4由等可能性大事的概率公式可得:P(ξ=0)=(eq\f(2,3))4=eq\f(16,81),P(ξ=1)=eq\f(C\o\al(1,4)·23,34)=eq\f(32,81),P(ξ=2)=eq\f(C\o\al(2,4)·22,34)=eq\f(8,27),P(ξ=3)=eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)=eq\f(8,81),P(ξ=4)=(eq\f(1,3))4=eq\f(1,81)所以這4位同學(xué)中只有1個(gè)同學(xué)選數(shù)學(xué)選修課的概率最大.拓展練習(xí)·自助餐1.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點(diǎn)分別為x,y,則log2xy=1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析要使log2xy=1,則要求2x=y(tǒng),∴毀滅的基本大事數(shù)為3,∴概率為eq\f(3,36)=eq\f(1,12).2.有一對(duì)酷愛(ài)運(yùn)動(dòng)的年輕夫婦給他們12個(gè)月大的嬰兒拼排3塊分別寫(xiě)有“20”,“10”和“北京”的字塊,假如嬰兒能夠排成“2010北京”或者“北京2010”,則他們就給嬰兒嘉獎(jiǎng).假設(shè)嬰兒能將字塊橫著正排,那么這個(gè)嬰兒能得到嘉獎(jiǎng)的概率是(A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C3.一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1000塊大小相同的小正方體,若將這些小正方體均勻攪混在一起,任取一個(gè),其兩面涂有油漆的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,25)D.eq\f(12,125)答案D解析每條棱上有8塊,共8×12=96塊,∴P=eq\f(96,1000)=eq\f(12,125)4.三張卡片上分別寫(xiě)上字母E,E,B,將三張卡片隨機(jī)地排成一行,恰好排成英文單詞BEE的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(1,3)解析BE1E2E2E1E1BE2E2BE2BE1E1B基本大事總數(shù)為6,所含基本大事個(gè)數(shù)為2,所以所求的概率是P=eq\f(2,6)=eq\f(1,3).老師備選題1.若隨機(jī)從集合{2,22,23,…,210}中選出兩個(gè)不同的元素a、b,則logab為整數(shù)的概率為_(kāi)_________.答案eq\f(17,90)解析a=2時(shí),有9個(gè);a=22時(shí),b=24或26或28或210,共4個(gè);a=24時(shí),b=28有1個(gè);a=23時(shí),b=26或29有2個(gè);a=25時(shí),b=210有1個(gè);使logab為整數(shù)的有17個(gè),∴概率為eq\f(17,A\o\al(2,10))=eq\f(17,90).2.現(xiàn)有7名數(shù)理化成果優(yōu)秀者,其中A1,A2,A3的數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀,B1,B2的物理成果優(yōu)秀,C1,C2的化學(xué)成果優(yōu)秀.從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀者各1名,組成一個(gè)小組代表學(xué)校參與競(jìng)賽.(1)求C1被選中的概率;(2)求A1和B1不全被選中的概率.解析(1)從7人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成果優(yōu)秀者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的12個(gè)基本大事為:(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2).C1恰被選中有6個(gè)基本大事:(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1).因而C1被選中的概率P=eq\f(6,12)=eq\f(1,2).(2)用N表示“A1,B1不全被選中”這一大事,則其對(duì)立大事eq\x\to(N)表示“A1,B1全被選中”,由于eq\x\to(N)={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以大事eq\x\to(N)由兩個(gè)基本大事組成,所以P(eq\x\to(N))=eq\f(2,12)=eq\f(1,6),由對(duì)立大事的概率公式得P(N)=1-P(eq\x\to(N))=1-eq\f(1,6)=eq\f(5,6).3.在平行四邊形ABCD中,O是AC與BD的交點(diǎn),P,Q,M,N分別是線段OA,OB,OC,OD的中點(diǎn),在A,P,M,C中任取一點(diǎn)記為E,在B,Q,N,D中任取一點(diǎn)記為F.設(shè)G為滿足向量eq\o(OG,\s\up6(→))=eq\o(OE,\s\up6(→))+eq\o(OF,\s\up6(→))的點(diǎn),則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn),落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為_(kāi)_______.答案eq\f(3,4)
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