【高考復(fù)習(xí)方案】2022年高考數(shù)學(xué)(理)復(fù)習(xí)一輪作業(yè)手冊：第45講-空間角的求法-

課時(shí)作業(yè)(四十五)[第45講第1課時(shí)空間角的求法](時(shí)間：45分鐘分值：100分)基礎(chǔ)熱身1．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且cos〈a，b〉＝eq\f(8,9)，則λ＝()A．2B．－2C．－2或eq\f(2,55)D．2或－eq\f(2,55)2．如圖K45-1所示，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則BC1與AB1所成角的余弦值為圖K45-1A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3,5)3．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，平面OAB的法向量為n＝(2，－2，1)，已知P(－1，3，2)，則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于()A．4B．2C．3D4．如圖K45-2所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1，AB，CC1的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，則EF與A1G所成的A．30°B．45°C．60°D．90°圖K45-2圖K45-35．如圖K45-3所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)，則異面直線C1D圖K45-46．如圖K45-4所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3).若以DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________________________________________________________________________．力量提升7．[2022·沈陽調(diào)研]在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA＝90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BD1與AF1A.eq\f(\r(30),10)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15)D.eq\f(\r(15),10)8．如圖K45-5所示，正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長為eq\r(2)，底面邊長為eq\r(3)，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°圖K45-5圖K45-69．如圖K45-6所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DCA.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)10．[2022·皖北五校聯(lián)考]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1CA.eq\f(\r(6),4)B．－eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(10),4)D．－eq\f(\r(10),4)11．已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，E為OC的中點(diǎn)，且OA＝1，OB＝OC＝2，則平面EAB與平面ABC所成角的余弦值是()A.eq\f(\r(6),6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(2\r(6),9)D.eq\f(7\r(6),18)12．[2022·佛山質(zhì)檢]已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，則直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值為________13．[2022·合肥調(diào)研]已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是________14．(10分)如圖K45-7所示，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值圖K45-715．(13分)[2022·惠州模擬]如圖K45-8所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB1C1(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長；(2)求二面角A-BD-C的余弦值．圖K45-8難點(diǎn)突破16．(12分)[2022·天津十二區(qū)縣聯(lián)考]如圖K45-9所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，頂點(diǎn)A1在底面ABC上的射影恰為點(diǎn)B，且AB＝AC＝A1B＝(1)證明：平面A1AC⊥平面AB1B(2)求棱AA1與BC所成角的大小；(3)若點(diǎn)P為B1C1的中點(diǎn)，懇求出二面角P-AB-A1的余弦值圖K45-9課時(shí)作業(yè)(四十五)[第2課時(shí)空間向量的應(yīng)用](時(shí)間：45分鐘分值：60分)基礎(chǔ)熱身1．(12分)[2022·石家莊二模]在四邊形ABCD中，BC∥AD，BC⊥CD，AD＝4，BC＝CD＝2，E，P分別為AD，CD的中點(diǎn)(如圖K45-10(1)所示)，將△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C為直二面角，如圖(2)，在線段AE上，是否存在一點(diǎn)M，使得PM∥平面ABC？若存在，請指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．圖K45-102．(12分)如圖K45-11所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求證：AD⊥PB.(2)在棱AB上是否存在點(diǎn)F，使DF與平面PDC所成角的正弦值為eq\f(2\r(5),5)？若存在，確定線段AF的長度；若不存在，請說明理由．圖K45-11力量提升3．(12分)[2022·北京東城區(qū)模擬]如圖K45-12所示，四棱錐E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.(1)求證：BD⊥平面ADE.(2)求BE和平面CDE所成角的正弦值．(3)在線段CE上是否存在一點(diǎn)F，使得平面BDF⊥平面CDE？請說明理由．圖K45-124．(12分)如圖K45-13所示，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上的動點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AC＝1，BC＝2，AA1(1)當(dāng)E是棱CC1的中點(diǎn)時(shí)，求證：CF∥平面AEB1.(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A-EB1-B的余弦值是eq\f(2\r(17),17)？若存在，求出CE的長；若不存在，請說明理由．圖K45-13難點(diǎn)突破5．(12分)[2022·北京石景山區(qū)一模]如圖K45-14所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，側(cè)棱長是eq\r(3)，D是AC的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面A1(2)求二面角A1-BD-A的大小．(3)在線段AA1上是否存在一點(diǎn)E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由圖K45-14

課時(shí)作業(yè)(四十五)(第1課時(shí))1．C2.A3.B4.B5.eq\f(\r(15),15)6.(1，1，1)7.A8.C9．D10.A11.D12.eq\f(\r(10),5)13.eq\f(4,3)14．解：方法一：(1)證明：由于BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，且BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D.由于B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.(2)由于B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為如圖所示，連接A1D.由于棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90所以A1B1⊥平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1.又A1D∩A1B1＝A1所以AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.由(1)知，AC⊥B1D，且AD1∩AC＝A，所以B1D⊥平面ACD1，故∠ADB1＝90°－θ.在直角梯形ABCD中，由于AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故eq\f(AB,DA)＝eq\f(BC,AB)，即AB＝eq\r(DA·BC)＝eq\r(3).連接AB1，易知△BB1D是直角三角形，且B1D2＝BBeq\o\al(2,1)＋BD2＝BBeq\o\al(2,1)＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝eq\r(21)，所以在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝eq\f(AD,B1D)＝eq\f(3,\r(21))＝eq\f(\r(21),7)，即cos(90°－θ)＝eq\f(\r(21),7)，從而可得sinθ＝eq\f(\r(21),7)，即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).方法二：(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直．如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝t，則有A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)，從而eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－t，3，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(t，1，0)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－t，3，0)．由于AC⊥BD，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝eq\r(3)或t＝－eq\r(3)(舍去)．于是eq\o(B1D,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，3，－3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)．由于eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(B1D,\s\up6(→))＝－3＋3＋0＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(B1D,\s\up6(→))，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(0，3，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，1，0)，eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝(0，1，0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD,\s\up6(→))1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＝0，,3y＋3z＝0，))令x＝1，則n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3))．設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成的角為θ，sinθ＝|cos〈n，eq\o(B1C1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|n·\o(B1C1,\s\up6(→))|,|n|·|\o(B1C1,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為eq\f(\r(21),7).15．(1)側(cè)棱長為2eq\r(2)(2)余弦值為eq\f(\r(10),10)16．解：(1)證明：∵A1B⊥平面ABC，∴A1B⊥AC，又AB⊥AC，AB∩A1B＝B，∴AC⊥平面AB1B，∵AC?平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面AB1(2)以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，C1(2，2，2)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，2，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－2，0)，cos〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AA,\s\up6(→))1·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AA,\s\up6(→))1|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－4,\r(8)×\r(8))＝－eq\f(1,2)，故棱AA1與BC所成的角是eq\f(π,3).(3)∵P為棱B1C1的中點(diǎn)，∴易求得P(1，3，2設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n1＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AP,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))＝（1，3，2），,\o(AB,\s\up6(→))＝（0，2，0），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋2z＝0，,2y＝0，))令z＝1，則n1＝(－2，0，1)，而平面ABA1的一個(gè)法向量為n2＝(1，0，0)，∴cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1||n2|)＝－e