人教版八年級數(shù)學(xué)下冊全冊 教學(xué)教案

2．能根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念及性質(zhì)，會求二次根式中被開方數(shù)中字母的取值范圍．(重點)一、情境導(dǎo)入(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與落下的高度h(單位：h二、合作探究探究點一：二次根式的定義解析：要判斷一個根式是不是二次根式，一是看根指數(shù)是不是2，二是看被開方數(shù)是不是非負數(shù).3－x(x≤3)-5x(x≥0)x2－5的被開方數(shù)小于0，所以不是二次根式.方法總結(jié)：判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“v廠”；(2)被開方數(shù)是非負數(shù).探究點二：二次根式有意義的條件【類型一】根據(jù)二次根式有意義求字母的取值范圍求使下列式子有意義的x的取值范圍.解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0且分母不等于0，列不等式(組)求解.(3)由題意得{lx≠0，解得x≥-5且x≠0.當x≥-5且x≠0時，x有意義.方法總結(jié)：含二次根式的式子有意義的條件：(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.【類型二】利用二次根式的非負性求解(2)已知x、y都是實數(shù)，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根.解析：(1)根據(jù)二次根式的非負性和絕對值的非負性求解即可；(2)根據(jù)二次根式的非負性即可求得x的值，進而求得y的值，進而可求出yx的平方根.＝－＝－方法總結(jié)：二次根式和絕對值都具有非負性，幾個非負數(shù)的和為0，這幾個非負數(shù)都為探究點三：和二次根式有關(guān)的規(guī)律探究性問題先觀察下列等式，再回答下列問題.(2)請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用解析：(1)從三個等式中可以發(fā)現(xiàn)，等號右邊第一個加數(shù)都是1，第二個加數(shù)是個分數(shù)，設(shè)分母為n，第三個分數(shù)的分母就是n＋1，結(jié)果是一個帶分數(shù)，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子也是1，分母是前項分數(shù)的分母的積；(2)根據(jù)(1)找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子.為正整數(shù))．讀找出題目隱含條件并用關(guān)系式表示出來.三、板書設(shè)計一般地，我們把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意義的條件被開方數(shù)(式)為非負數(shù)；a有意義a≥0.通過將新知識與舊知識進行聯(lián)系與對比，隨后由學(xué)生熟悉的實際問題出發(fā)，用已有的知識進行探究，由此引入二次根式．在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到研究二次根式是實際的需要，體會到數(shù)學(xué)與實際生活間的緊密聯(lián)系，以此充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣．2．了解并掌握二次根式的性質(zhì)，會運用其進行有關(guān)計算．(重點，難點)一、情境導(dǎo)入我們不妨取a的一些值，如22，33，?分別計算出對應(yīng)的a2的值，看看有什么規(guī)律．＝9＝3；?二、合作探究探究點一：二次根式的性質(zhì)解析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行計算即可.方法總結(jié)：利用a2＝|a|進行計算與化簡，冪的運算法則仍然適用，同時要注意二次根式的被開方數(shù)要為非負數(shù).在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.解析：由于任意一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式，利用這個即可將以上幾個式子在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.方法總結(jié)：一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式．這就需要把一個非負數(shù)表示成平方的形式.探究點二：二次根式性質(zhì)的綜合應(yīng)用【類型一】結(jié)合數(shù)軸利用二次根式的性質(zhì)求值或化簡-b|.根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值的意義化簡求解.＝－方法總結(jié)：結(jié)合數(shù)軸利用二次根式的性質(zhì)求值或化簡，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸判斷字母的取值范圍和熟練運用二次根式的性質(zhì).【類型二】二次根式的化簡與三角形三邊關(guān)系的綜合已知a、b、c是△ABC的三邊長，化簡（a＋b＋c）2b＋c－a）2+解析：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出含有絕對值的式子，最后去絕對值符號合并即可.合二次根式的性質(zhì)進行化簡.【類型三】利用分類討論的思想對二次根式進行化簡解析：根據(jù)a2＝|a|，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，將x的取值范圍分段進行討論解答.方法總結(jié)：利用二次根式的性質(zhì)進行化簡時，要結(jié)合具體問題，先確定出被開方數(shù)的正【類型四】二次根式的規(guī)律探究性問題細心觀察，認真分析下列各式，然后解答問題．12EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),1)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),3)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up3(2),10)解析：利用直角三角形的面積公式，觀察上述結(jié)論，會發(fā)現(xiàn)第n個三角形的一直角邊長就是n，另一條直角邊長為1，然后利用面積公式可得.nn(1)2(2)2(3)2(10)21(3)SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),1)＋SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),2)＋SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),3)＋?＋SEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up5(2),10)＝(2,＋(2,＋(2,＋?＋(2,＝4(1＋2＋3＋?＋10)＝方法總結(jié)：解題時通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想.探究點三：代數(shù)式的定義及簡單應(yīng)用按照下列程序計算，表格內(nèi)應(yīng)輸出的代數(shù)式是．解析：根據(jù)程序所給的運算，用代數(shù)式表示即可，根據(jù)程序所給的運算可得輸出的代數(shù)式為n－n.故答案為n－n.方法總結(jié)：根據(jù)實際問題列代數(shù)式的一般步驟：(1)認真審題，對語言或圖形中所代表的意思進行仔細辨析；(2)分清語言和圖形表述中各種數(shù)量的關(guān)系；(3)根據(jù)關(guān)系及運算順序?qū)懗龃鷶?shù)式.三、板書設(shè)計用基本運算符號(基本運算符號包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.生探索求知作出了引導(dǎo)，并且鼓勵學(xué)生自由發(fā)言，但在師生互動方面做得還不夠，小組間的合作不夠融洽，今后的教學(xué)中應(yīng)多培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識，這樣有助于他們今后的學(xué)習(xí)和生活.2．會用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對二次根式進行化簡．(難點)一、情境導(dǎo)入二、合作探究探究點一：二次根式的乘法【類型一】二次根式的乘法法則成立的條件式子x＋1·2－xx＋12－x）成立的條件是()A．x≤2B．x≥-1解析：根據(jù)題意得{解得－1≤x≤2.故選C.均是非負數(shù)這一條件.【類型二】二次根式的乘法運算1解析：有理式的乘法運算律及乘法公式對二次根式同樣適用，計算時注意最后結(jié)果要化為最簡形式.2)2)方數(shù)有能開得盡方的因數(shù)或因式，可先將二次根式化簡后再相乘.探究點二：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)(1)(1)36）×16×(-92＝12×5=方法總結(jié)：利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對二次根式進行化簡.探究點三：二次根式乘法的綜合應(yīng)用面積相等的圓形木相框，請你幫他計算一下這個圓的半徑(結(jié)果保留根號).解析：根據(jù)矩形的面積公式、圓的面積公式，構(gòu)造等式進行計算.解：設(shè)圓的半徑為rcm.因為矩形木相框的面積為588π×48π=168π(cm2)，所以πr2＝－方法總結(jié)：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出相應(yīng)的式子進行計算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.三、板書設(shè)計在教學(xué)安排上，體現(xiàn)由具體到抽象的認識過程．對于二次根式的乘法法則的推導(dǎo)，先利用幾個二次根式的具體計算，歸納出二次根式的乘法運算法則．在具體計算時，可以通過小組合作交流，放手讓學(xué)生去思考、討論，這樣安排有助于學(xué)生縝密思考和嚴謹表達，更有助于學(xué)生合作精神的培養(yǎng).2．能綜合運用已學(xué)性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算．(難點)一、情境導(dǎo)入49_______.9(1)49_______.99(2)9949______________二、合作探究探究點一：二次根式的除法【類型一】二次根式的除法運算;4);4)((解析：本題主要運用二次根式的除法法則來進行計算，若被開方數(shù)是分數(shù)相除時，可先用除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)的方法進行計算，再進行約分.554=-1÷=-2554=-1÷=-2＝－×=-.方法總結(jié)：利用二次根式的除法法則進行計算時，可以用“除以一個不為零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”進行約分化簡.【類型二】二次根式的乘除混合運算aa解析：先把系數(shù)進行乘除運算，再根據(jù)二次根式的乘除法則運算.方法總結(jié)：二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相同，在運算時要注意運算符號和運算順序，若被開方數(shù)是帶分數(shù)，要先將其化為假分數(shù).探究點二：商的算術(shù)平方根的性質(zhì)【類型一】利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)確定字母的取值范圍解析：根據(jù)題意得{解得0≤a＜2.故選C.a=a非負數(shù)且分母不等于零這一條件.【類型二】利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式343解析：運用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，用分子的算術(shù)平方根除以分母的算術(shù)平方根.33方法總結(jié)：被開方數(shù)中的帶分數(shù)要化為假分數(shù)，被開方數(shù)中的分母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式.探究點三：最簡二次根式在下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？并說明理由. 4解析：根據(jù)滿足最簡二次根式的兩個條件判斷即可.5(3)2，被開方數(shù)不含分母，且被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，因此它是最簡(4)0.5=4(4)0.5=45＝5，被開方數(shù)中含有分母，因此它不是最簡二次根式.方法總結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條探究點四：二次根式除法的綜合運用座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其周期計算公式為T=2πEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(l),g)，其中T表示周期(單位：秒)，l表示擺長(單位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一臺座鐘擺長為0.5米，它每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，那么在1分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多解析：由給出的公式代入數(shù)據(jù)計算即可．要先求出這個鐘擺的周期，然后利用時間除周期得到次數(shù).EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(0),9)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up10(5),8)滴答聲.方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是正確運用公式．用二次根式的除法進行運算，解這類問題時要注意代入數(shù)據(jù)的單位是否統(tǒng)一.三、板書設(shè)計被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.在教學(xué)中應(yīng)注重積和商的互相轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生通過具體實例再結(jié)合積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，對比、歸納得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)．在此過程中應(yīng)給予適當?shù)闹笇?dǎo)，可提出問題讓學(xué)生有一定的探索方向．在設(shè)計課堂教學(xué)內(nèi)容時，以提問的方式引出本節(jié)課要解決的問題，讓學(xué)生自主探究，在探究過程中觀察知識產(chǎn)生發(fā)展的全過程，從而讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情感和學(xué)習(xí)品質(zhì)得到升華，學(xué)生的創(chuàng)新精神得到發(fā)展.2．熟練進行二次根式的加減運算，并運用其解決問題．(難點)一、情境導(dǎo)入二、合作探究探究點一：被開方數(shù)相同的最簡二次根式解析：利用最簡二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可.方法總結(jié)：根據(jù)同類二次根式的概念求待定字母的值時，應(yīng)該根據(jù)同類二次根式的概念建立方程或方程組求解.探究點二：二次根式的加減【類型一】二次根式的加減運算3解析：二次根式的加減運算應(yīng)先化簡，再合并同類二次根式.方法總結(jié)：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并時系數(shù)相加減，根式不變.【類型二】二次根式的化簡求值解析：先將原式化為最簡形式，再將a與b的值代入計算即可求出.方法總結(jié)：化簡求值時一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解.【類型三】二次根式加減運算在實際生活中的應(yīng)用母親節(jié)快到了，為了表示對媽媽的感恩，小號同學(xué)特地做了兩張大小不同的正方彩帶把壁畫的邊鑲上會更漂亮，他手上現(xiàn)有1.2m長的金色細彩帶，請你幫他算一算，他的金色細彩帶夠用嗎？如果不夠，還需買多長的金色細彩帶(2≈1.414，結(jié)果保留整數(shù))?=77.96≈78(cm)，即還需買78cm的金色細彩帶.方法總結(jié)：利用二次根式來解決生活中的問題，應(yīng)認真分析題意，注意計算的正確性與結(jié)果的要求.三、板書設(shè)計1．被開方數(shù)相同的最簡二次根式一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化簡成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.例題的選擇上可由簡到難，符合學(xué)生的認知規(guī)律，便于學(xué)生掌握知識．在得到定義、法則的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、思考、探究的過程，體會學(xué)習(xí)知識的成功與快樂.第2課時二次根式的混合運算1．會熟練地進行二次根式的加減乘除混合運算，進一步提高運算能力；(重點)2．正確地運用二次根式加減乘除法則及運算律進行運算，并把結(jié)果化簡．(難點)一、情境導(dǎo)入1=23＋62(cm2).二、合作探究探究點一：二次根式的混合運算【類型一】二次根式的四則運算(1)(1)2然后進行加法運算.2-2-方法總結(jié)：二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式.探究點二：利用乘法公式及運算律進行二次根式混合運算)-)-解析：(1)利用平方差公式展開然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展開然后合并即可；(3)利用乘法分配律進行計算即可.-9＋62＝－7＋62；＝－根式的混合運算中，整式乘法的運算律同樣適用.探究點三：二次根式混合運算的綜合運用【類型一】與二次根式的混合運算有關(guān)的新定義題型ll計算方法總結(jié)：弄清新定義中的運算法則，轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的運算，正確運用運算律及公式是解題的關(guān)鍵.【類型二】二次根式運算的拓展應(yīng)用他研究了一列數(shù)，這列數(shù)非常奇妙，被稱為斐波那契數(shù)列(按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列)．后來人們在研究它的過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果，在實際生活中，很多花朵(如梅花、飛燕草、萬壽菊等)的瓣數(shù)恰似斐波那契數(shù)列中的數(shù)．斐波那契數(shù)列還有很多1有趣的性質(zhì)，在實際生活中也有廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用5表示這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例．任務(wù)：請根據(jù)以上材料，通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)和第2個數(shù).解析：分別把n＝1、2代入式子化簡即可.方法總結(jié)：此題考查二次根式的混合運算與化簡求值，理解題意，找出運算的方法是解決問題的關(guān)鍵.三、板書設(shè)計先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的.2．運用乘法公式和運算律進行計算在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用.本節(jié)課以學(xué)生發(fā)展為本的教育理念，注重對學(xué)生的啟發(fā)引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生主動探究思考，獲取新知識，通過啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)和完善的過程，從而利用二次根式加減法解時加強師生交流，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.3．了解利用拼圖驗證勾股定理的方法．(難點)一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達哥拉斯樹，它由若二、合作探究探究點一：勾股定理【類型一】直接運用勾股定理2方法總結(jié)：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個方程，再解這個方程即可.【類型二】分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用解析：本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.解：此題應(yīng)分兩種情況說明：(1)當△ABC為銳角三角形時，如圖①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2=(2)當△ABC為鈍角三角形時，如圖②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2= 方法總結(jié)：解題時要考慮全面，對于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的圖形，判斷是否符合題意.【類型三】勾股定理的證明對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°,且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過該圖形是由任意的符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示1方法總結(jié)：證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理證明勾股定理.探究點二：勾股定理與圖形的面積如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直解析：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得正方形A、B的面積和為S1方法總結(jié)：能夠發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C、D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A、B、C、D的面積和即是最大正方形的面積.三、板書設(shè)計如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b“趙爽弦圖”、“劉徽青朱出入圖”、“詹姆斯·加菲爾德拼圖”、“畢達哥拉斯圖”.3．勾股定理與圖形的面積股定理的驗證既是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點，為了突破這一難點，設(shè)計一些拼圖活動，并自制精巧的課件讓學(xué)生從形上感知，再層層設(shè)問，從面積(數(shù))入手，師生共同探究突破本節(jié)課的難點.2．掌握勾股定理的簡單應(yīng)用，探究最短距離問題．(難點)一、情境導(dǎo)入如圖，在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？二、合作探究探究點一：勾股定理的實際應(yīng)用【類型一】勾股定理在實際問題中的應(yīng)用如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13米，此人以0.5米每秒的速度收繩．問6秒后船向岸邊移動了多少米(假設(shè)繩子始終是直的，結(jié)果保留根號)?即可求得AB的值，然后解答即可.米.知條件轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中求解.【類型二】利用勾股定理解決方位角問題如圖所示，在一次夏令營活動中，小明坐車從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向C兩點之間的距離.解析：根據(jù)所走的方向可判斷出△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出解.解：∵AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°,∴∠ABC＝180°-∠ABE-∠CBF＝180°-60°-30°=90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100km，∴AC=方法總結(jié)：先確定△ABC是直角三角形，再根據(jù)各邊長，用勾股定理可求出AC的長.【類型三】利用勾股定理解決立體圖形最短距離問題CM＝5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬行的最短距離是多解：分兩種情況比較最短距離：答：需要爬行的最短距離是25cm.方法總結(jié)：因為長方體的展開圖不止一種情況，故對長方體相鄰的兩個面展開時，考慮要全面，不要有所遺漏．不過要留意展開時的多種情況，雖然看似很多，但由于長方體的對面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況：前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而比較取其最小值即可.【類型四】運用勾股定理解決折疊中的有關(guān)計算邊上的B′處，點A的對應(yīng)點為A′，且B′C＝3，則AM的長是()MD2＝MD2方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是設(shè)出適當?shù)木€段的長度為x，然后用含有x的式子表示其他線段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【類型五】勾股定理與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用如圖，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)過的路程都是15m，求樹高=xm，根據(jù)兩只猴子經(jīng)過的路程一樣可列方程組，從而求出x的值，即可計算樹高.+10＝12(米).答：樹高AB為12米.方法總結(jié)：勾股定理表達式中有三個量，如果條件中只有一個己知量，通常需要巧設(shè)未知數(shù)，靈活地尋找題中的等量關(guān)系，然后利用勾股定理列方程求解.探究點二：勾股定理與數(shù)軸如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是()解析：先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出A點距離是5.那么點A所表示的數(shù)為5－1.故選C.方法總結(jié)：本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答此題時要注意，確定點A的位置，再根據(jù)A的位置來確定a的值.三、板書設(shè)計方位角問題；路程最短問題；折疊問題；數(shù)形結(jié)合思想.本節(jié)課充分鍛煉了學(xué)生動手操作能力、分類比較能力、討論交流能力和空間想象能力，讓學(xué)生充分體驗到了數(shù)學(xué)思想的魅力和知識創(chuàng)新的樂趣，突現(xiàn)教學(xué)生真正成為主動學(xué)習(xí)者.1．能利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否為直角三角形；(重點)3．理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系．(重點)一、情境導(dǎo)入古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：將一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后用樁釘成一個三角形(如圖)，他們認為其中一個角便是直角.二、合作探究探究點一：勾股定理的逆定理【類型一】判斷三角形的形狀如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，A．直角三角形B．銳角三角形 方法總結(jié)：要判斷一個角是不是直角，可構(gòu)造出三角形，然后求出三條邊的大小，用較【類型二】利用勾股定理的逆定理證明垂直關(guān)系運用勾股定理的逆定理進行證明.1且∠FEC＝90°,即EF⊥CE.方法總結(jié)：利用勾股定理的逆定理可以判斷一個三角形是否為直角三角形，所以此定理【類型三】勾股數(shù)判斷下列幾組數(shù)中，一定是勾股數(shù)的是()=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù)；②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù).【類型四】運用勾股定理的逆定理解決面積問題邊形ABCD的面積.解析：連接AC，根據(jù)已知條件可求出AC，再運用勾股定理可證△ACD為直角三角形，然后可分別求出兩個直角三角形的面積，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積.=144.利用題目信息構(gòu)造出直角三角形，如角度，三邊長度等.探究點二：互逆命題與互逆定理寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題.(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；(4)有一個角是60°的三角形是等邊三角形.解析：求一個命題的逆命題時，分別找出各命題的題設(shè)和結(jié)論將其互換即可得原命題的逆命題.解：(1)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，真命題；(2)如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線(在同一平面內(nèi))，真命題；(4)等邊三角形有一個角是60°,真命題.方法總結(jié)：判斷一個命題是真命題需要進行邏輯推理，判斷一個命題是假命題只需要舉三、板書設(shè)計如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形.2．互逆命題與互逆定理在本課時教學(xué)過程中，應(yīng)以師生共同探討為主．激勵學(xué)生回答問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲．課堂上師生互動頻繁，既保證課堂教學(xué)進度，又提高課堂學(xué)習(xí)效率．學(xué)生在探討過程中也加深了對知識的理解和記憶.第2課時勾股定理的逆定理的應(yīng)用2．靈活運用勾股定理及逆定理解決實際問題．(難點)一、情境導(dǎo)入某港口位于東西方向的海岸線上，“遠望號”“海天號”兩艘輪船同時離開港口，各自們離開港口1個半小時后相距30海里，如果知道“遠望號”沿東北方向航行，能知道“海二、合作探究探究點：勾股定理的逆定理的應(yīng)用【類型一】運用勾股定理的逆定理求角度且∠APE＝90°,即可得到∠APB的度數(shù).角形，且∠APE＝90°,∴∠APB＝90°+60°=150°.方法總結(jié)：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造△APE為直角三角形.【類型二】運用勾股定理的逆定理求邊長長.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的長度.三角形，∠ADC=∠ADB＝90°,∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB方法總結(jié)：解題時可先通過勾股定理的逆定理證明一個三角形是直角三角形，然后再進行轉(zhuǎn)化，最后求解，這種方法常用在解有公共直角或兩直角互為鄰補角的兩個直角三角形的圖形中.【類型三】勾股定理逆定理的實際應(yīng)用如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標準應(yīng)為長方形，他在挖完后測量了解析：把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，運用直角三角形的判別條件，驗證它是否為直角三角形.=81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°,∴該農(nóng)民挖的不合格.方法總結(jié)：解答此類問題，一般是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)先運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形，然后再作進一步解答.【類型四】運用勾股定理的逆定理解決方位角問題如圖，南北向MN為我國領(lǐng)海線，即MN以西為我國領(lǐng)海，以東為公海，上午9時50分，我國反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方有一走私艇以13海里/時的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距離出走私船何時能進入我國領(lǐng)海．解題的關(guān)鍵是得出走私船所走的路程走私船所走的路程．由題意可知，△ABE和△ABC均為直角三角形，可分別解這兩個直角三角形即可得出.中的有效信息，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言.三、板書設(shè)計1．利用勾股定理逆定理求角的度數(shù)2．利用勾股定理逆定理求線段的長3．利用勾股定理逆定理解決實際問題在本節(jié)課的教學(xué)活動中，盡量給學(xué)生充足的時間和空間，讓學(xué)生以平等的身份參與到學(xué)習(xí)活動中去，教師要幫助、指導(dǎo)學(xué)生進行實踐活動，這樣既鍛煉了學(xué)生的實踐、觀察能力，又在教學(xué)中滲透了人文和探究精神，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活”的教育思想.3．利用平行四邊形邊、角的性質(zhì)解決問題．(難點)一、情境導(dǎo)入如圖，平行四邊形是我們常見的一種圖形，它具有十分和諧的對稱美．它是什么樣的對二、合作探究探究點一：平行四邊形的定義如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的定義推出即可.證明：∵∠1+∠B+∠ACB＝180°,∠2+∠D+∠CAD＝180°,∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.方法總結(jié)：平行四邊形的定義既是平行四邊形的性質(zhì)，也是判斷一個四邊形是平行四邊形的重要方法.探究點二：平行四邊形的邊、角特征【類型一】利用平行四邊形的性質(zhì)求邊長點，四邊形ADEF為平行四邊形，DE＝2，則AD=.握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【類型二】利用平行四邊形的性質(zhì)求角如圖，在平行四邊形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°,則∠BCE的度數(shù)為方法總結(jié)：平行四邊形對角相等，鄰角互補，并且已知一個角或已知兩個鄰角的關(guān)系，可求出其他角，所以利用該性質(zhì)可以解決和角度有關(guān)的問題.【類型三】利用平行四邊形的性質(zhì)證明有關(guān)結(jié)論如圖，點G、E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD、DC和BC上，DG＝DC，解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出∠DGC=∠GCB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠DGC證出△PCF≌△PCE即可得出結(jié)論.∴∠DGC=∠DCG，∴∠DCG=∠GCB.∵∠DCG+∠ECP＝180°,∠GCB+∠FCP＝180°,∴∠ECP=∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵{∠FCP=∠ECP，∴△PCF≌△PCE(SAS方法總結(jié)：平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等常綜合應(yīng)用，利用平行四邊形的性質(zhì)可以解決一些相等的問題，在證明時應(yīng)用較多.【類型四】判斷直線的位置關(guān)系如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD，M為AB的中點，連接DM、MC，試問直線DM和MC有何位置關(guān)系？請證明.∴AM＝AD，∴∠ADM=∠AMD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠AMD=∠MDC，∴∠ADM=∠MDC，則∠MDC＝2∠ADC，同理∠MCD＝2∠BCD.∵AD∥BC，∠MCD+∠DMC＝180°,∴∠DMC＝90°,∴DM與MC互相垂直.方法總結(jié)：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，即可判斷兩條直線的關(guān)系.探究點三：兩平行線間的距離面積相等.解析：結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明.面積.后可推出兩三角形同底等高，面積相等.三、板書設(shè)計2．平行四邊形的邊、角特征學(xué)生通過觀看多媒體課件的演示和動手操作的過程，得出并掌握平行四邊形的性質(zhì)，效果比較好．例題能夠引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法去解決問題并加以變式練習(xí)，使教師能根的掌握情況及時解決學(xué)生在練習(xí)的過程中發(fā)現(xiàn)問題，并通過投影指出錯誤，規(guī)范說理過程，極大提高課堂效率.第2課時平行四邊形的對角線的特征2．利用平行四邊形對角線互相平分解決有關(guān)問題．(難點)一、情境導(dǎo)入二、合作探究探究點一：平行四邊形的對角線互相平分【類型一】利用平行四邊形對角線互相平分求線段的周長長5cm，求這個平行四邊形各邊的長.方法總結(jié)：平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差.【類型二】利用平行四邊形對角線互相平分證明線段或角相等如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF〔∠FDO=∠EBO，l∠FOD=∠EOB，方法總結(jié)：利用平行四邊形的性質(zhì)解決線段的問題時，要注意運用平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分的性質(zhì).【類型三】判斷直線的位置關(guān)系如圖，平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，試判斷線段BE、DF的關(guān)系并證明你的結(jié)論.解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB=∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF=∠OBE，∴BE∥DF.方法總結(jié)：在解決平行四邊形的問題時，如果有對角線的條件時，則首選對角線互相平分的方法解決問題.探究點二：平行四邊形的面積(2)如圖②,設(shè)P為對角線BD上任一點(點P與點B、D不重合)，S△ABP與S△CBP仍然相等嗎？若相等，請證明；若不相等，請說明理由.解析：(1)根據(jù)“平行四邊形的對角線互相平分”可得AO＝CO，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點A、C到BD的距離相等，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答.11方法總結(jié)：平行四邊形的對角線將平行四邊形分成四個面積相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面積相等.三、板書設(shè)計通過分組討論學(xué)習(xí)和自主探究，加強了學(xué)生在教學(xué)過程中的實踐活動，也使學(xué)生之間的合作意識增強，與同學(xué)交流學(xué)習(xí)的氣氛更濃厚，從而加深了同學(xué)之間的友誼和師生之間的教學(xué)和諧，使得教學(xué)過程更加流暢，教學(xué)相長.2．綜合運用平行四邊形的性質(zhì)與判定解決問題．(難點)一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)知道，如果一個四邊形是平行四邊形，那么它就是一個中心對稱圖形，具有如3．兩條對角線互相平分.那么，怎樣判定一個四邊形是否是平行四邊形呢？當然，我們可以根據(jù)平行四邊形的原始定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形加以判定．那么是否存在其他的判定方二、合作探究探究點一：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形△ACE、等邊△BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形.解析：根據(jù)題意，利用全等可證明AD＝FE，DF＝AE，從而可判斷四邊形DAEF為平行四邊形.解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF＝60°,四邊形是平行四邊形).方法總結(jié)：利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”時，證明邊相等，可通過證明三角形全等解決.探究點二：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°,∠1＝85°,∠2＝40°.(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形.解析：(1)可根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°得出∠D的大??；(2)根據(jù)“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”進行證明.(1)解：∵∠D+∠2+∠1＝180°,∴∠D＝180°-∠2-∠1＝180°-40°-85°=55°;是平行四邊形.方法總結(jié)：根據(jù)兩組對角分別相等判斷四邊形是平行四邊形，是解題的常用思路.探究點三：對角線相互平分的四邊形是平行四邊形(2)四邊形AFBE是平行四邊形.解析：(1)利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明△AOC≌△BOD；(2)此題已知AO＝BO，要證四邊形AFBE是平行四邊形，根據(jù)全等三角形，只需證OE＝OF即可.〔∠C=∠D，證明：(1)∵AC∥BD，∴∠C=∠D.在△AOC和△BOD中，∵{∠COA=∠DOB，11=2OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四邊形AFBE是平行四邊形.方法總結(jié)：在應(yīng)用判定定理判定平行四邊形時，應(yīng)仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法.探究點四：平行四邊形的判定定理(1)的應(yīng)用【類型一】利用平行四邊形的判定定理(1)證明線段或角相等的中點，請判斷線段DE，BF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論.意義得出OE＝OF，從而利用平行四邊形的判定定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出DE＝BF，DE∥BF.方法總結(jié)：平行四邊形的性質(zhì)也是證明線段相等或平行的重要方法.【類型二】平行四邊形的判定定理(1)的綜合運用如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F.(2)連接BF、DE，試判斷四邊形BFDE是什么樣的四邊形？寫出你的結(jié)論并予以證明.行四邊形.〔∠DFC=∠BEA，{∠FCD=∠EAB，∴△ABE≌△CDF((2)解：四邊形BFDE是平行四邊形．理由如下：∵△ABDF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴{∠DAE=∠BCF，行四邊形.方法總結(jié)：熟練運用平行四邊形的性質(zhì)，可證明三角形全等，證明邊相等，再利用兩組對邊分別相等可判定四邊形是平行四邊形.三、板書設(shè)計兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線相互平分的四邊形是平行四邊形.在整個教學(xué)過程中，以學(xué)生看、想、議、練為主體，教師在學(xué)生仔細觀察、類比、想象的基礎(chǔ)上加以引導(dǎo)點撥．判定方法是學(xué)生自己探討發(fā)現(xiàn)的，因此，應(yīng)用也就成了學(xué)生自發(fā)的需要．在證明命題的過程中，學(xué)生自然將判定方法進行對比和篩選，或?qū)σ活}進行多解，便于思維發(fā)散，不把思路局限在某一判定方法上.第2課時平行四邊形的判定(2)3．平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合運用．(難點)一、情境導(dǎo)入如圖所示，吳伯伯家一塊等邊三角形ABC的空地，已知點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，量得EF＝5米，他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，你能求出需要籬笆二、合作探究探究點一：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【類型一】判定四邊形是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由.AD∥CB.根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證出結(jié)論.解：四邊形ABCD是平行四邊形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB.又∵AF=CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.方法總結(jié)：根據(jù)題設(shè)條件，通過證明三角形全等，得出等量關(guān)系，繼而證明四邊形是平行四邊形是判定時的一般解題思路.【類型二】判定平行四邊形的條件解析：①②組合可根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判定出四邊形ABCD為平行四邊形；③④組合可根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①③可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD＝CB，可利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判定出四邊形ABCD為平行四邊形；①④可證明△ADO≌△CBO，進而得到AD＝CB，可利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判定出四邊形ABCD為平行四邊形；綜上有4種可選B.方法總結(jié)：熟練運用平行四邊形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵.探究點二：三角形的中位線【類型一】利用三角形中位線定理求線段的長3A.2解析：“D、E分別為AC、BC的中點，:DE是△ABC的中位線，:DEⅡAB，:上2=上3.又“AF平分上CAB，:上1＝上3，:上1＝上2，:AD＝DF＝3，:AC＝2AD＝6.故方法總結(jié)：本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并熟練應(yīng)用.【類型二】利用三角形中位線定理求角解析：“C、D分別為EA、EB的中點，:CD是△EAB的中位線，:CDⅡAB，:上2方法總結(jié)：中位線定理涉及平行線，所以利用中位線定理中的平行關(guān)系可以解決一些角度的計算問題.【類型三】運用三角形的中位線性質(zhì)進行計算垂足為點M，延長CM交AB于點D，求MN的長.解析：首先證明△AMD纟△AMC，得到DM＝MC，易得MN為解決問題.解：“AM平分上BAC，CM丄AM，:上DAM＝上CAM，上AMD＝上AMC.在△AMD與〔∠DAM=∠CAM，l∠AMD=∠AMC，方法總結(jié)：當已知三角形的一邊的中點時，要注意分析問題中是否有隱含的中點.【類型四】中位線定理的綜合應(yīng)用BD于點F、G，連接AC交BD于O，連接OF，判斷AB與OF的位置關(guān)系和大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.的中位線，從而利用中位線定理即可得出線段OF與線段AB的關(guān)系.OA＝OC，∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF〔∠BAF=∠CEF，l∠ABF=∠ECF，三、板書設(shè)計一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.本節(jié)課，通過實際生活中的例子引出三角形的中位線，又從理論上進行了驗證．在學(xué)習(xí)的過程中，體會到了三角形中位線定理的應(yīng)用時機．對整個課堂的學(xué)習(xí)過程進行反思，能夠促進理解，提高認識水平，從而促進數(shù)學(xué)觀點的形成和發(fā)展，更好地進行知識建構(gòu)，實現(xiàn)良性循環(huán).3．會綜合運用矩形的性質(zhì)定理、推論以及特殊三角形的性質(zhì)進行證明與計算．(難點)一、情境導(dǎo)入如圖，用四段木條做一個平行四邊形的活動木框，將其直立在地面上輕輕地推動點D，可以發(fā)現(xiàn)，角的大小改變了，但不管如何，它仍然保持平行四邊形的形狀.我們?nèi)舾淖兤叫兴倪呅蔚膬?nèi)角，使其一個內(nèi)角恰好為直角，就得到一種特殊的平行四邊形，也就是我們早已熟悉的長方形，即矩形，如圖所示.二、合作探究探究點一：矩形的性質(zhì)【類型一】運用矩形的性質(zhì)求線段或角解析：在矩形ABCD中，O是BC的中點，∠AOD＝方法總結(jié)：解題時矩形具有平行四邊形的性質(zhì)，又具有自己的特性，要注意運用矩形具備而一般平行四邊形不具備的性質(zhì).【類型二】運用矩形的性質(zhì)解決有關(guān)面積問題則圖中陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的(){OB＝OD，{OB＝OD，ABCD方法總結(jié)：運用矩形的性質(zhì)，通過證明全等三角形進行轉(zhuǎn)化，將求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求簡單圖形面積是解題的關(guān)鍵.【類型三】運用矩形的性質(zhì)證明線段相等解析：利用矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠A＝90°,再利用全等三角形的判定得出〔∠A=∠CFB，方法總結(jié)：涉及與矩形性質(zhì)有關(guān)的線段的證明，可運用題設(shè)條件結(jié)合三角形全等進行證明，一般是將兩條線段轉(zhuǎn)化到一對全等三角形中進行證明.【類型四】運用矩形的性質(zhì)證明角相等CD，再將它們分別轉(zhuǎn)化為兩全等三角形的兩對應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形的判定和矩形的性質(zhì)，即可求證.=90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED＝90°.∴∠BFE=∠CED，∴∠BEF=∠EDC.在△EBF〔∠BFE=∠CED，l∠BEF=∠EDC，=∠BEA＝45°,∴∠EAD＝45°,∴∠BAE=∠EAD，∴AE平分∠BAD.方法總結(jié)：矩形的問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形或等腰三角形中去解決.探究點二：直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點.(2)求證：EF垂直平分AD.1解析：(1)根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得DE＝AE＝2AB，DF1=AF＝2AC，再根據(jù)四邊形的周長的公式計算即可得解；(2)根據(jù)“到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上”證明即可.=18；AD.方法總結(jié)：當已知條件含有線段的中點、直角三角形的條件時，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進行求解.三、板書設(shè)計矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等.2．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.通過多媒體演示知識的探究過程，讓學(xué)生在體驗、實踐的過程中有更直觀地認識，擴大認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力，更好地理解平行四邊形學(xué)真正落實到學(xué)生的發(fā)展上.2．能夠運用矩形的性質(zhì)和判定解決實際問題．(難點)一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)知道，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．這是矩形的定義，我們可以依此判定一個四邊形是矩形．除此之外，我們能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，具有如下的性質(zhì)：2．四個內(nèi)角都是直角.二、合作探究探究點一：有一個角是直角的平行四邊形是矩形DE∥AB交AE于點E.求證：四邊形ADCE是矩形.得出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)AD是高即可得出四邊形ADCE是矩形.+∠ACB=∠FAE+∠EAC，∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，∴AE∥BC.又∵DE∥AB，∴是矩形.方法總結(jié)：平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定常綜合運用，解題時利用平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形再證明其中一角為直角即可.探究點二：對角線相等的平行四邊形是矩形如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O=OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形.而CM＝AN，即ON＝OM.由此可證得四邊形NDMB的對角線相等且互相平分，即可得證.方法總結(jié)：證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等.探究點三：有三個角是直角的四邊形是矩形如圖，ABCD各內(nèi)角的平分線分別相交于點E，F(xiàn)，G，H.是矩形.解析：利用“有三個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形”證明四邊形EFGH是矩形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180是矩形.方法總結(jié)：題設(shè)中隱含多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形.探究點四：矩形的性質(zhì)和判定的綜合運用【類型一】矩形的性質(zhì)和判定的運用上的點，且AE＝BF＝CG＝DH.解析：(1)證明四邊形EFGH對角線相等且互相平分；(2)根據(jù)題設(shè)求出矩形的邊長CD和BC，然后根據(jù)矩形面積公式求得.).方法總結(jié)：若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，要證明一個四邊形是矩形，通常證這個四邊形的對角線相等且互相平分.【類型二】矩形的性質(zhì)和判定與動點問題時，另一點隨之停止運動.(2)設(shè)經(jīng)過t′s時，四邊形PQBA是矩形，根據(jù)AP＝BQ，代入后求出即可.=6；(2)設(shè)經(jīng)過t′s，四邊形PQBA為矩形，即AP=方法總結(jié)：①證明一個四邊形是平行四邊形，若題設(shè)條件與這個四邊形的邊有關(guān)，通常證這個四邊形的一組對邊平行且相等；②題設(shè)中出現(xiàn)一個直角時，常采用“有一角是直角的平行四邊形是矩形”來判定矩形.三、板書設(shè)計有一角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形.2．矩形的性質(zhì)和判定的綜合運用在本節(jié)課的教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生掌握矩形判定的幾種方法，更要注重學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中是否真正掌握了探究問題的基本思路和方法．教師在例題練習(xí)的教學(xué)中，若能適當?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生多做一些變式練習(xí)，類比、遷移地思考、做題，就能進一步拓展學(xué)生的思維，提高課堂教學(xué)的效率.2．靈活運用菱形的性質(zhì)解決問題．(難點)一、情境導(dǎo)入將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個什么樣的圖形呢？這就是另一類特殊的平行四邊形，即菱形.二、合作探究探究點一：菱形的性質(zhì)【類型一】利用菱形的性質(zhì)證明線段相等如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延長線于E，CF⊥AD交AD延長線解析：連接AC.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分=CF.方法總結(jié)：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.【類型二】利用菱形的性質(zhì)進行有關(guān)的計算四邊形OBEC為矩形，再利用矩形的面積公式即可直接求解.方法總結(jié)：菱形的對角線互相垂直，則菱形對角線將菱形分成四個直角三角形，所以可以利用勾股定理解決一些計算問題.【類型三】運用菱形的性質(zhì)證明角相等如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO.解析：根據(jù)“菱形的對角線互相平分”可得OD＝OB，再根據(jù)“直角三角形線等于斜邊的一半”可得OH＝OB，∠OHB=∠OBH，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”求出∠OBH=∠ODC，然后根據(jù)“等角的余角相等”證明即可.1OB，∴∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，∴∠OHB=∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°,∴∠DHO=∠DCO.方法總結(jié)：本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【類型四】運用菱形的性質(zhì)解決探究性問題感知：如圖①,在菱形ABCD中，AB＝BD，點E、F分別在邊AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如圖②,在菱形ABCD中，AB＝BD，點E、F分別在BA、AD的延長線上．若AE＝DF，△ADE與△DBF是否全等？如果全等，請證明；如果不全等，請說明理由.拓展：如圖③,在ABCD中，AD＝BD，點O是AD邊的垂直平分線與BD的交點，點E、F分別在OA、AD的延長線上．若AE＝DF，∠ADB＝50°,∠AFB＝32°,求∠ADE的度數(shù).解析：探究：△ADE與△DBF全等，利用菱形的性質(zhì)首先證明三角形ABD為等邊三角形，再利用全等三角形的判定方法即可證明△ADE平分線上，所以O(shè)A＝OD，再通過證明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性質(zhì)即可求出=AD＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠DAB=∠ADB＝60°,∴∠EAD=∠FDB=拓展：∵點O在AD的垂直平分線上，∴OA＝OD.∴∠DAO=∠ADB＝50°,∴∠EAD=∠OAD-∠DEA＝18°.方法總結(jié)：本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運用，解題時一定要熟悉相關(guān)的基礎(chǔ)知識并進行聯(lián)想.探究點二：菱形的面積菱形的面積是()方法總結(jié)：菱形的面積有三種計算方法：①將其看成平行四邊形，用底與高的積來求；②對角線分得的四個全等三角形面積之和；③兩條對角線的乘積的一半.三、板書設(shè)計菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角.1菱形＝邊長×對應(yīng)高＝2ab(a，b分別是兩條對角線通過剪紙活動讓學(xué)生主動探索菱形的性質(zhì)，大多數(shù)學(xué)生能全部得到結(jié)論，少數(shù)需要教師加以引導(dǎo)．但是學(xué)生得到的結(jié)論，有一些是他們的猜想，是否正確還需要證明，因此問題就上升到證明這個環(huán)節(jié)．在整個新知生成過程中，探究活動起了重要的作用．課堂中學(xué)生始終處于觀察、比較、概括、總結(jié)和積極思維狀態(tài)，切身感受到自己是學(xué)習(xí)的主人．為學(xué)生今后獲取知識、探索發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造打下了良好的基礎(chǔ)，更增強了敢于實踐，勇于探索，不斷創(chuàng)新和努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的信心和勇氣.2．探究菱形的判定條件并合理利用它進行論證和計算．(難點)一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)知道，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．這是菱形的定義，我們可以根據(jù)定義來判定一個四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？菱形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，具有如下的性質(zhì)：3．每條對角線平分一組對角.二、合作探究探究點一：菱形的判定【類型一】利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”判定四邊形是菱形求證：四邊形BCFE是菱形.解析：由題意易得，EF與BC平行且相等，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF=邊形BCFE是菱形.方法總結(jié)：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等.【類型二】利用“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”判定四邊形是菱形(2)四邊形ABCD是菱形.解析：(1)證得△BAC是等腰三角形后利用“三線合一”的性質(zhì)得到AC⊥BD即可；(2)首先證得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)“對角線互相垂直”得到平行四邊形是菱形.方法總結(jié)：用判定方法“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.【類型三】利用“四條邊相等的四邊形是菱形”判定四邊形是菱形1①分別以A，C為圓心，大于2AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；(2)求證：四邊形AECF是菱形.解析：(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根〔∠EAC=∠FCA，方法總結(jié)：判定一個四邊形是菱形把握以下兩起點：(1)以四邊以平行四邊形為起點進行判定.探究點二：菱形的判定的應(yīng)用【類型一】菱形判定中的開放性問題有的圖形，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個條件可以是 (只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”和“線”).:四邊形AECF是平行四邊形．」對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，則添加的一個條件可以是AC丄EF.方法總結(jié)：菱形的判定方法常用的是三種：(1)定義；(2)四邊相等的四邊形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.【類型二】菱形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用連接DF.(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得上EFD＝上BCD，并說明理由.CB＝CD＝AD，可得四邊形ABCD是菱形；(3)首先證明△BCF纟△DCF，可得上CBF=上CDF，再根據(jù)BE丄CD可得上BEC＝上DEF＝90°,進而得到上EFD＝上BCD. :△ABC纟△ADC(SSS)，:上BAC＝上DAlAF＝AF，:△ABF纟△ADF(SAS)，:上AFD＝上AFB.」上AFB＝上CFE，:上AFD＝上CFE；=CD.」AB＝AD，CB＝CD，:AB＝CB＝CD＝AD，:四邊形ABCD是菱形；(3)解：當EB丄CD于E時，上EFD＝上BCD.理由如下：」四邊形ABCD為菱形，:BC:△BCF纟△DCF(SAS)，:上CBF＝上CDF.」BE丄CD，:上BEC＝上DEF＝90°,則,:上EFD＝上BCD.角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.三、板書設(shè)計有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊相等的四邊形是菱形.2．菱形的性質(zhì)和判定的綜合運用在運用判定時，要遵循先易后難的原則，讓學(xué)生先會運用判定解決簡單的證明題，再由淺入深，學(xué)會靈活運用．通過做不同形式的練習(xí)題，讓學(xué)生能準確掌握菱形的判定并會靈活運用.2．理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別．(難點)一、情境導(dǎo)入做一做：用一張長方形的紙片(如圖所示)折出一個正方形．學(xué)生在動手中對正方形產(chǎn)生感性認識，并感知正方形與矩形的關(guān)系.二、合作探究探究點一：正方形的性質(zhì)【類型一】特殊平行四邊形的性質(zhì)的綜合菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是()A．對角線相等且互相平分B．對角線相等且互相垂直平分D．四條邊相等，四個角相等解析：選項A不正確，菱形的對角線不相等；選項B不正確，菱形的對角線不相等，矩形的對角線不互相垂直；選項C正確，三者均具有此性質(zhì)；選項D不正確，矩形的四條邊不相等，菱形的四個角不相等．故選C.方法總結(jié)：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).【類型二】利用正方形的性質(zhì)解決線段的計算或證明問題解析：(1)由角平分線的性質(zhì)可得到BE＝EF，再證明△CEF為等腰直角三角形，即可證∴∠FEC=∠FCE＝45°,∴EF＝FC，∴BE＝CF；方法總結(jié)：正方形被每條對角線分成兩個直角三角形，被兩條對角線分成四個等腰直角三角形，因此正方形的計算問題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰直角三角形中去解決.【類型三】利用正方形的性質(zhì)解決角的計算或證明問題在正方形ABCD中，點F是邊AB上一點，連接DF，點E為DF的中點．連接解析：(1)根據(jù)“正方形的四條邊都相等”可得AB＝CD，根據(jù)“正方形每一個角都是直角”可得∠BAD=∠ADC＝90°,再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得1然后利用“SAS”證明即可；(2)根據(jù)“全等三角形對應(yīng)邊相等”可得EB＝EC是等邊三角形．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠EBC＝60°,然后求出∠ABE＝30°.再根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”求出∠BAE，然后根據(jù)“等邊對等角”可得∠AFD=∠BAE.=EF＝DE＝DF，∴∠EAD=∠EDA.∵∠BAE=∠BAD-∠EAD，∠CDE=∠ADC-1-30°)＝75°.又∵AE＝EF，∴∠AFD=∠BAE＝75°.方法總結(jié)：正方形是最特殊的平行四邊形，在正方形中進行計算時，要注意計算出相關(guān)的角的度數(shù)，要注意分析圖形中有哪些相等的線段等.探究點二：正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用【類型一】利用正方形的性質(zhì)解決線段的倍、分、和、差關(guān)系1∠BAC的平分線，根據(jù)“等角的余角相等”即可求得∠AFO=∠AEB.根據(jù)“對頂角相等”11證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE=∠AOF＝90°,∴∠BAE+∠AEB=∠CAE+∠AFO＝90°.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE=∠BAE，∴∠AFO=∠AEB.又∵∠AFO=∠BFE，∴∠BFE=∠AEB，∴BE＝BF；11∠FEB.∵∠AFO=∠AEB，∴∠OGF=∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝2CE.方法總結(jié)：在正方形的條件下證明線段的關(guān)系，通常的方法是連接對角線構(gòu)造垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)、中位線定理、角平分線、等腰三角形等知識來證明，有時也利用全等三角形來解決.【類型二】有關(guān)正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用題正方形＝（＋（AFCE方法總結(jié)：在解決與面積相關(guān)的問題時，可通過證三角形全等實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，使不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)變成我們熟悉的圖形面積，從而解決問題.三、板書設(shè)計四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.對邊平行，四條邊都相等；四個角都是直角；對角線互相垂直、平分且相等，并且每一條對角線平分一組對角.2．正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用通過學(xué)生動手操作得出的結(jié)論歸納矩形和菱形的性質(zhì)，繼而得學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣．創(chuàng)設(shè)有意義的數(shù)學(xué)活動，使枯燥乏味的數(shù)學(xué)變得生動活潑．讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是快樂的，使學(xué)生保持一顆健康、好學(xué)、進取的心及一份濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2．能熟練運用正方形的性質(zhì)和判定進行有關(guān)的證明和計算．(難點)一、情境導(dǎo)入老師給學(xué)生一個任務(wù)：從一張彩色紙中剪出一個正方形.小明剪完后，這樣檢驗它：比較了邊的長度，發(fā)現(xiàn)4條邊是相等的，小明就判定他完成小兵用另一種方法檢驗：量對角線，發(fā)現(xiàn)對角線是相等的，小兵就認為他正確地剪出了小英剪完后，比較了由對角線相互分成的4條線段，發(fā)現(xiàn)它們是相等的．按照小英的意二、合作探究探究點一：正方形的判定【類型一】利用“一組鄰邊相等的矩形是正方形”證明四邊形是正方形DF⊥AC于點F.求證：四邊形CEDF是正方形.解析：要證四邊形CEDF是正方形，則要先證明四邊形CEDF是矩形，再證明一組鄰邊相等即可.方法總結(jié)：要注意判定一個四邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形.【類型二】利用“有一個角是直角的菱形是正方形”證明四邊形是正方形(2)當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECF是正方形？請回答并證明你的結(jié)論.解析：(1)根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE＝EC，據(jù)“直角三角形中兩個角銳角互余”得∠A＝45°.解：(1)四邊形BECF是菱形．理由如下：∴∠3=∠1.∵∠ACB＝90°,∴∠3+∠4＝90°,∠1+∠2＝90°,∴∠2=∠4，∴EC＝AE，(2)當∠A＝45°時，菱形BECF