【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2021高考數(shù)學(xué)(江蘇專用-理科)二輪專題整合：1-1-5導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

第5講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一、填空題1．若函數(shù)y＝－eq\f(4,3)x3＋bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是________． 解析由條件y′＝－4x2＋b，∴Δ＝0＋16b＞0，得b＞0. 答案(0，＋∞)2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)，若f(x)＋5≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0. ∴f(x)在(0,4)上遞減，在(4，＋∞)上遞增，∴當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成馬上可，代入解之得m≥eq\f(17,9). 答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,9)，＋∞))3．(2022·揚(yáng)州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取值范圍是________． 解析函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，即方程ex－2x＋a＝0有實(shí)根，即函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點(diǎn)，而g′(x)＝2－ex，易知函數(shù)g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上遞增，在(ln2，＋∞)上遞減，因而g(x)＝2x－ex的值域?yàn)?－∞，2ln2－2]，所以要使函數(shù)g(x)＝2x－ex，y＝a有交點(diǎn)，只需a≤2ln2－2即可． 答案(－∞，2ln2－2]4．函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對(duì)任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集為_(kāi)_____． 解析構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex·f(x)－ex，由于g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex為R上的增函數(shù)．又由于g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>g(0)，解得x>0.答案(0，＋∞)5．(2021·溫州模擬)關(guān)于x的方程x3－3x2－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析由題意知使函數(shù)f(x)＝x3－3x2－a的極大值大于0且微小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值，即f(x)極大值＝f(0)＝－a；當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得微小值，即f(x)微小值＝f(2)＝－4－a，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＞0，,－4－a＜0，))解得－4＜a＜0. 答案(－4,0)6．若函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不單調(diào)，則t的取值范圍是______． 解析對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝－x＋4－eq\f(3,x)＝eq\f(－x2＋4x－3,x)＝－eq\f(x－1x－3,x).由f′(x)＝0得函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為1,3，則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t，t＋1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上就不單調(diào)，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3. 答案(0,1)∪(2,3)7．(2022·邯鄲質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋eq\f(4,3)，直線l：9x＋2y＋c＝0，若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象恒在直線l下方，則c的取值范圍是________． 解析依據(jù)題意知eq\f(1,3)x3－x2－3x＋eq\f(4,3)＜－eq\f(9,2)x－eq\f(c,2)在x∈[－2,2]上恒成立，則－eq\f(c,2)＞eq\f(1,3)x3－x2＋eq\f(3,2)x＋eq\f(4,3)， 設(shè)g(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋eq\f(3,2)x＋eq\f(4,3)， 則g′(x)＝x2－2x＋eq\f(3,2)， 則g′(x)＞0恒成立，所以g(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增， 所以g(x)max＝g(2)＝3，則c＜－6. 答案(－∞，－6)8．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x＋1)，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______． 解析由于f′(x)＝1＋eq\f(1,x＋12)>0，因此函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，所以x∈[0,1]時(shí)，f(x)min＝f(0)＝－1.依據(jù)題意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥eq\f(x,2)＋eq\f(5,2x)能成立，令h(x)＝eq\f(x,2)＋eq\f(5,2x)，則要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函數(shù)h(x)＝eq\f(x,2)＋eq\f(5,2x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減(可利用導(dǎo)數(shù)推斷)，所以h(x)min＝h(2)＝eq\f(9,4)，故只需a≥eq\f(9,4). 答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞))二、解答題9. (2022·徐州質(zhì)檢)現(xiàn)有一張長(zhǎng)為80cm，寬為60cm的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD，預(yù)備用它做成一只無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失．如圖，若長(zhǎng)方形ABCD的一個(gè)角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面，設(shè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為x(cm)，高為y(cm)，體積為V(cm3)． (1)求出x與y的關(guān)系式； (2)求該鐵皮盒體積V的最大值． 解(1)由題意得x2＋4xy＝4800， 即y＝eq\f(4800－x2,4x)，0＜x＜60. (2)鐵皮盒體積V(x)＝x2y＝x2×eq\f(4800－x2,4x)＝－eq\f(1,4)x3＋1200x，V′(x)＝－eq\f(3,4)x2＋1200，令V′(x)＝0，得x＝40，由于x∈(0,40)，V′(x)＞0，V(x)是增函數(shù)；x∈(40,60)，V′(x)＜0，V(x)是減函數(shù)，所以V(x)＝－eq\f(1,4)x3＋1200x，在x＝40時(shí)取得極大值，也是最大值，其值為32000cm3. 所以該鐵皮盒體積V的最大值是32000cm3.10．(2021·東北三校聯(lián)考)已知x＝3是函數(shù)f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一個(gè)極值點(diǎn)． (1)求a； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若直線y＝b與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍． 解f(x)的定義域?yàn)?－1，＋∞)． (1)f′(x)＝eq\f(a,1＋x)＋2x－10，又f′(3)＝eq\f(a,4)＋6－10＝0， ∴a＝16.經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)x＝3為f(x)的極值點(diǎn)，故a＝16. (2)由(1)知f′(x)＝eq\f(2x－1x－3,x＋1). 當(dāng)－1<x<1或x>3時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)1<x<3時(shí)，f′(x)<0. ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1,1)，(3，＋∞)， 單調(diào)減區(qū)間為(1,3)． (3)由(2)知，f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x＝1或x＝3時(shí)，f′(x)＝0.所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln2－9，微小值為f(3)＝32ln2－21. 由于f(16)>162－10×16>16ln2－9＝f(1)， f(e－2－1)<－32＋11＝－21<f(3)， 所以依據(jù)函數(shù)f(x)的大致圖象可推斷，在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)內(nèi)，直線y＝b與y＝f(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)． 因此b的取值范圍為(32ln2－21,16ln2－9)．11．(2022·陜西卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R. (1)當(dāng)m＝e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的微小值； (2)若對(duì)任意b＞a＞0，eq\f(fb－fa,b－a)＜1恒成立，求m的取值范圍． 解(1)由題設(shè)，當(dāng)m＝e時(shí)，f(x)＝lnx＋eq\f(e,x)， 則f′(x)＝eq\f(x－e,x2)， ∴當(dāng)x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴x＝e時(shí)，f(x)取得微小值f(e)＝lne＋eq\f(e,e)＝2， ∴f(x)的微小值為2. (2)對(duì)任意的b＞a＞0，eq\f(fb－fa,b－a)＜1恒成立， 等價(jià)于f(b)－b＜f(a)－a恒成立．(*) 設(shè)h(x)＝f(x)－x＝lnx＋eq\f(m,x)－x(x＞0)