【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版必修五導學案：《基本不等式的實際應用》

第7課時基本不等式的實際應用1.進一步生疏基本不等式,并會用基本不等式來解題.3.能利用基本不等式解決實際問題.今日我們來探究基本不等式在實際生活中的應用,我們先來看個實際例子:如圖,有一張單欄的豎向張貼的海報,它的印刷面積為72dm2(圖中陰影部分),上下空白各2dm,左右空白各1dm,則四周空白部分面積的最小值是dm2.

問題1:設(shè)陰影部分的高為xdm,寬為72xdm,四周空白部分面積是ydm2.由題意得y=(x+4)(72x+2)-72=8+2(x+144x)≥8+2×2x當且僅當時,取得最小值.

問題2:用基本不等式解實際應用問題的步驟(1)先理解題意,設(shè)變量,設(shè)變量時一般把定為函數(shù);

(2)建立相應的,把實際問題抽象為問題;

(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的;

(4)正確寫出答案.問題3:利用基本不等式求最值時,必需保證等號能成立,否則不能用它來求最值,比如求f(x)=sinx+2sinx,x∈(0,π)的最值時,不能這樣做:f(x)=sinx+2sinx≥2sinx·2sinx=22,由于當x∈(0問題4:利用基本不等式求最值時,肯定要緊扣“一正,二定,三相等”這三個條件,即每個項都是正值,和或積是定值,全部的項能同時相等.而“二定”這個條件是對不等式奇妙地進行分析、組合、湊加系數(shù)等使之變成可用基本不等式的形式,如果要多次利用不等式求最值,還必需保證每次取“=”號的全都性.1.在下列不等式的證明過程中,正確的是().A.若a,b∈R,則ab+ba≥2aB.若a,b都為正數(shù),則lga+lgb≥2lgC.若x<0,則x+2x≥-2x·2D.若x≤0,則3x+3-x≥23x·2.已知x<54,則函數(shù)y=4x-2+14x-5A.5 B.1 C.3 D.43.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運費為4萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元,要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x=噸.

4.已知a,b,c都為正數(shù),且a+b+c=1,求證:(1a-1)(1b-1)(1c-1)利用基本不等式求函數(shù)的最值求函數(shù)y=x2+8x-1(利用基本不等式解實際應用問題某房地產(chǎn)開發(fā)公司方案在一樓區(qū)內(nèi)建筑一個長方形公園ABCD,公園由長方形A1B1C1D1的休閑區(qū)和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4000平方米,人行道的寬分別為4米和10米(如圖所示).(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比A1B1B1C1=x(x>1),求公園ABCD所占面積S關(guān)于x(2)要使公園所占面積最小,則休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計?把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型如圖,某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池,池的深度肯定,池的外圈周壁建筑單價為每米400元,中間有一條隔開污水處理池的壁,其建筑單價為每米100元,池底建筑單價每平方米60元(池壁忽視不計).問:污水處理池的長設(shè)計為多少米時可使總價最低.(1)已知x>0且x≠1,求lgx+logx10的取值范圍.(2)已知x≥52,求f(x)=2x某公司一年需要一種計算機元件8000個,每天需同樣多的元件用于組裝整機,該元件每年分n次進貨,每次購買元件的數(shù)量均為x,購一次貨需手續(xù)費500元,已購進而未使用的元件要付庫存費,假設(shè)平均庫存量為12x個,每個元件的庫存費為每年2元,假如不計其他費用,請你幫公司計算,每年進貨幾次花費最小某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠,第一年共支出12萬元,以后每年支出增加4萬元,從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元.設(shè)f(n)表示前n年的純利潤總和(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額).(1)該廠從第幾年開頭盈利?(2)若干年后,投資商為開發(fā)新項目,對該廠有兩種處理方案:①年平均純利潤達到最大時,以48萬元出售該廠;②純利潤總和達到最大時,以16萬元出售該廠,問哪種方案更合算?1.設(shè)0<x<1,則x(3-3x)取最大值時x的值為().A.34 B.12 C.32.設(shè)x>0,則y=3-3x-1x的最大值為()A.3 B.3-32 C.3-23 D.-13.已知正數(shù)x,y滿足8x+1y=1,則x+2y的最小值為4.某工廠要建筑一個長方體無蓋貯水池,其容積為4800立方米,深為3米,假如池底每平方米的造價為150元,池壁每平方米的造價為120元,問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元?(2021年·陜西卷)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為(m).

考題變式(我來改編):

第7課時等比數(shù)列的前n項和學問體系梳理問題1:na1a1(1問題2:a1(問題3:a1-a1qnna1a問題4:S基礎(chǔ)學習溝通1.B設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q3=a4a1=18,∴q=12,∴數(shù)列{an}的前10項和為12.CS8-S4S4=a53.152由an+2+an+1=6an,得qn+1+qn=6qn-1,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍去),又a2=1,所以a1=12,S4=124.解:∵公比為q=2a,當q=1,即a=12時,Sn=n當q≠1,即a≠12時,則Sn=1∴Sn=n重點難點探究探究一:【解析】當q=1時,S3=3a1=3a3,符合題目條件;當q≠1時,a1(1-q3)由于a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),即1+q+q2=3q2,解得q=-12綜上所述,公比q的值為1或-12【小結(jié)】對于等比數(shù)列來講,必需要考慮q=1和q≠1兩種狀況.探究二:【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則an=a1qn-1,由已知得a1+a2=2(1a1+1a2)=2(a1+由a1+a2=8(1a3+1a4)=∴a3a4=8q2,又∵a1>0,q>0,∴a解得a1=1,q=2,∴a(2)由(1)知bn=an2+log2an=4n-1+(n-∴Tn=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=4n-14-1+【小結(jié)】求和時要留意分組求和法、錯位相減法及裂項求和法等方法的應用.探究三:【解析】(1)依據(jù)已知條件1整理得3解得3S2=2S3=6,即S(2)∵q≠1,則a可解得q=-12,a1=4∴Sn=4[1-(-12)n]1+1【小結(jié)】要熟記等比數(shù)列的前n項和公式.思維拓展應用應用一:∵S6≠2S3,∴q≠1,∴a由②÷①得1+q3=9,∴q=2,代入①得a1=12,∴an=a1qn-1=2n-2應用二:由題意可知,該數(shù)列的通項公式為an=n+12∴Sn=(1+12)+(2+14)+…+(n+12n)=(1+2+3+…+n)+(12+14+18+…+12應用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d),解得a1=d或d=0(舍去),所以數(shù)列{an}的通項是an=nd.由于數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,即數(shù)列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比數(shù)列,所以公比q=3dd=3,k1d=32d,即k1=所以數(shù)列{kn}是以k1=9為首項,3為公比的等比數(shù)列,故kn=9×3n-1=3n+1.(2)Sn=132+233+33413Sn=133+234+33由①-②,并整理得Sn=14(1-13n)-n2·基礎(chǔ)智能檢測1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0,∴q=-2,則S5S2=a2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q2+q-6=0,∴q=2(負根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.3.S232設(shè)等比數(shù)列的公比為q,若S2計算正確,則有q=2,但此時S3≠38,S4≠65與題設(shè)不符,故算錯的就是S2,此時,由S3=38可得q=32或q=-52;當q=32時,S4=65也正確;當q=-52時,S4不正