2022屆《創(chuàng)新設(shè)計》數(shù)學(xué)一輪(理科)人教A版課時作業(yè)-12-6離散型隨機(jī)變量的均值與方差

第6講離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2021·廣東卷)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝ ()A.eq\f(3,2) B．2 C.eq\f(5,2) D．3解析E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).答案A2．已知隨機(jī)變量X聽從二項分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為 ()A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1解析由二項分布X～B(n，p)及E(X)＝np，D(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.故選B.答案B3．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為 ()A．100 B．200 C．300 D．400解析記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1000，0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案B4．口袋中有5只球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)的值是 ()A．4 B．4.5 C．4.75 D．5解析由題意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(3,5)＝4.5，故選B.答案B5．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)X為取得紅球的次數(shù)，則X的方差D(X)的值為 ()A.eq\f(12,5) B.eq\f(24,25) C.eq\f(8,5) D.eq\f(2\r(6),5)解析由于是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為eq\f(3,5)，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(成功)的次數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，∴D(X)＝4×eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(24,25).答案B二、填空題6．(2022·浙江卷)隨機(jī)變量X的取值為0，1，2.若P(X＝0)＝eq\f(1,5)，E(X)＝1，則D(X)＝________．解析由題意設(shè)P(X＝1)＝p，由概率分布的性質(zhì)得P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝eq\f(4,5)－p，由E(X)＝1，可得p＝eq\f(3,5)，所以D(X)＝12×eq\f(1,5)＋02×eq\f(3,5)＋12×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).答案eq\f(2,5)7．某畢業(yè)生參與人才聘請會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝________．解析由題意知P(X＝0)＝eq\f(1,12)＝(1－p)2×eq\f(1,3)，∴p＝eq\f(1,2)，隨機(jī)變量X的可能值為0，1，2，3，因此P(X＝0)＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,6)，因此E(X)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案eq\f(5,3)8．某保險公司新開設(shè)一項保險業(yè)務(wù)，規(guī)定該份保單在一年內(nèi)假如大事E發(fā)生，則該公司要賠償a元，在一年內(nèi)假如大事E發(fā)生的概率為p，為使該公司收益期望值等于eq\f(a,10)，公司應(yīng)要求該保單的顧客繳納的保險金為________元．解析設(shè)隨機(jī)變量X表示公司此項業(yè)務(wù)的收益額，x表示顧客交納的保險金，則X的全部可能值為x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝eq\f(a,10)，得x＝eq\f(a（10p＋1）,10).答案eq\f(a（10p＋1）,10)三、解答題9．(2022·湖南卷)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)支配甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，估量企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，估量企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望．解記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5)，且大事E與F，E與eq\o(F,\s\up6(－))，eq\o(E,\s\up6(－))與F，eq\o(E,\s\up6(－))與eq\o(F,\s\up6(－))都相互獨(dú)立．(1)記H＝“至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功”，則eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為X(萬元)，則X的可能取值為0，100，120，220，由于P(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15).故所求的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.10．受轎車在保修期內(nèi)修理費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次毀滅故障的時間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次毀滅故障時間x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次毀滅故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列；(3)該廠估量今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．解(1)設(shè)“甲品牌轎車首次毀滅故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為大事A.則P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10).(2)依題意得，X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列為X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)得，E(X1)＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝eq\f(143,50)＝2.86(萬元)，E(X2)＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(萬元)．由于E(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．力氣提升題組(建議用時：25分鐘)11．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的期望值為 ()A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4解析X的全部可能取值為3，2，1，0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案C12．?dāng)S骰子玩耍：規(guī)定擲出1點，甲盒中放一球，擲出2點或3點，乙盒中放一球，擲出4，5或6，丙盒中放一球，共擲6次，用x，y，z分別表示擲完6次后甲，乙，丙盒中球的個數(shù)．令X＝x＋y，則E(X)＝ ()A．2 B．3 C．4 D．5解析將每一次擲骰子看作一次試驗，試驗的結(jié)果分丙盒中投入球為成功和丙盒中不投入球為失敗且相互獨(dú)立，則丙盒中投入球成功的概率為eq\f(1,2)，用z表示6次試驗中成功的次數(shù)，則z～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，∴X＝x＋y＝6－z，∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.答案B13．隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若E(X)＝eq\f(1,3)，則D(X)的值是________．解析由已知條件可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,a＋c＝2b，,E（X）＝－a＋0＋c＝\f(1,3)，))解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2).∴D(X)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)14．(2022·安徽卷)甲乙兩人進(jìn)行圍棋競賽，商定先連勝兩局者直接贏得競賽，若賽完5局仍未毀滅連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得競賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局競賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽的概率；(2)記X為競賽決出勝敗時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P