平面向量知識點(diǎn)總結(jié)與訓(xùn)練

第二章平面向量知識點(diǎn)歸納向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法向量的大小即向量的模（長度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。诹阆蛄浚洪L度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件．（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底鞏固練習(xí)例1給出下列命題：①若||＝||，則=；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若=，=，則=，④=的充要條件是||=||且//；⑤若//，//，則//，其中正確的序號是例2設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡：①，②③例3設(shè)非零向量、不共線，=k+，=+k(kR)，若∥，試求k例4已知向量，，且，求實(shí)數(shù)的值例5已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)例6已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角例7已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值（1）；（2）；例8已知，，且與夾角為120°求=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶與的夾角。例9已知向量=，=。=1\*GB2⑴求與；=2\*GB2⑵當(dāng)為何值時(shí)，向量與垂直？=3\*GB2⑶當(dāng)為何值時(shí)，向量與平行？并確定此時(shí)它們是同向還是反向？例10已知=，=，=，設(shè)是直線上一點(diǎn)