平面向量知識歸納和題型總結(jié)

PAGEPAGE5平面向量章節(jié)分析:向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”,能融數(shù)形于一體,是溝通代數(shù)與幾何的天然橋梁，能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識相結(jié)合,形成知識交匯點(diǎn).向量是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實際背景,在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中有重要應(yīng)用.向量有深刻的幾何背景,是解決幾何問題的有力工具,向量概念引入后,許多圖形的基本性質(zhì)都可以轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系,例如平行、垂直、夾角、距離等.對本章的學(xué)習(xí)要立足基礎(chǔ),強(qiáng)化運(yùn)算,重視運(yùn)用,能根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進(jìn)行運(yùn)算,并能運(yùn)用向量知識解決平面幾何中的一些證明和計算問題.平面向量的概念、幾何運(yùn)算和基本定理1.向量的相關(guān)概念2.向量的線性運(yùn)算3.向量的共線定理非零向量與向量共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實數(shù),使。延伸結(jié)論:三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一,使4.平面向量的基本定理如果是一個平面內(nèi)兩個不共線向量,那么對這平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2使:,其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.練習(xí):（1）已知是平面向量的一組基底,,①若當(dāng)且僅當(dāng)且.②若則.（2）如圖為單位向量，，其中的夾角為，的夾角為。若，求的值。5.一個常用結(jié)論:中,為邊的中點(diǎn),則有:.練習(xí):設(shè)的重心為點(diǎn),設(shè)試用表示.典型例題分析:知識點(diǎn)一:基本概念例1.1.如果是平面內(nèi)兩個不共線向量,那么下列各說法錯誤的有()①()可以表示平面內(nèi)的所有向量;平面內(nèi)的所有向量都可以表示成()。②對于平面中的任一向量使的,有無數(shù)多對;③若向量與共線,則有且只有一個,④若實數(shù),使,則. A.①② B.②③ C.③④ D.②練習(xí):1)判斷下列命題的真假(1)向量與向量為共線向量,則四點(diǎn)共線.(2)若則四邊形為平行四邊形.(3)若向量,則.(4)是兩個向量,則當(dāng)且僅當(dāng)不共線時成立知識點(diǎn)二:向量的線性運(yùn)算例1.化簡:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)例2.如圖,四邊形,,分別為,的中點(diǎn),求證:.1、已知向量滿足條件,且,求證是正三角形.2、是所在平面上的一點(diǎn),若,則是三角形.3、已知非零向量和滿足且,則為.4、若為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足則的形狀為（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形5、已知非零向量與滿足且,則△ABC為 （ ）A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形思路分析:1.根據(jù)四個選擇支的特點(diǎn):本題可采用驗證法來處理,不妨先驗證等邊三角形,剛好適合題意,則可同時排除其他三個選擇支,故選D.2.由于所在直線穿過△ABC的內(nèi)心,則由知,（等腰三角形的三線合一定理）;又,所以,即△ABC為等邊三角形,故選D.知識點(diǎn)二、三角形的“心”與向量重心在△ABC中,AD為BC邊上的中線,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,可得.這說明所在的直線過的中點(diǎn),從而一定通過的重心.另外,為的重心的充要條件是或,（其中為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)）,這也是兩個常用的結(jié)論.例1.已知是平面上不共線的三點(diǎn),是的外心,動點(diǎn)滿足,則的軌跡一定通過的（ ）A.內(nèi)心 B.垂心 C.外心 D.重心思路分析:取AB邊的中點(diǎn)M,則,由可得,所以,即點(diǎn)P的軌跡為三角形中AB邊上的中線,故選D.垂心在中,由向量的數(shù)量積公式,可得,這說明所在直線是BC邊上的高所在直線,從而它一定通過△ABC的垂心.例:若動點(diǎn)滿足,則點(diǎn)P軌跡一定通過的（）A、外心B、內(nèi)心C、垂心D、重心例2.點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足,則點(diǎn)是的 （ ）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)思路分析:由,得,所以,即.同理.因此是三條高的交點(diǎn),故選D.練習(xí):點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足,則點(diǎn)是的（ ）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn)D.三條高的交點(diǎn)內(nèi)心在中,由兩單位向量相加,可得所在直線是∠A的平分線所在的直線,從而一定經(jīng)過的內(nèi)心.例3是平面上定點(diǎn),A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn),動點(diǎn)P滿足,則P的軌跡一定通過△ABC的（ ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心思路分析:設(shè)為上的單位向量,為上的單位向量,則的方向為∠BAC的角平分線的方向,又,所