平拋運動-圓周運動經(jīng)典講義

第五章：曲線運動之平拋運動與圓周運動一、平拋運動1、運動的合成與分解是平拋運動的研究依據(jù)，對平拋運動的研究也將進一步提高運用運動的合成方法解決問題的能力。平拋運動可分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。這兩個分運動同時存在，按各自的規(guī)律獨立進行，水平初速度的大小不會影響豎直方向的分運動。一般情況下，豎直方向的分運動決定著平拋物體。的運動的時間。（1）平拋運動基本規(guī)律（結(jié)合下圖分析）①速度：分速度：，合速度：方向：tanθ=②位移和軌跡方程：分位移：x=voty=合位移大?。簊=方向：tanα=設物體做平拋運動到某點P（，），如圖所示，則水平方向位移：豎直位移：上兩式消去參數(shù)，得軌跡方程為：（拋物線方程）。③加速度：分加速度：合加速度大?。悍较蜇Q直向下。④時間由y=得t=（即時間只由下落的高度y決定）⑤豎直方向自由落體運動，勻變速直線運動的一切規(guī)律在豎直方向上都成立。（2）平拋物體經(jīng)一段時間，其速度方向和位移方向是不相同的，如上圖所示。，，即。如上圖所示，曲線上任一點P（，）的速度方向反向延長線交于軸上的A點，由圖可知，所以-----這是一個有用的推論。平拋物體任意時刻瞬時速度方向的反向延長線與初速度延長線的交點到拋出點的距離都等于水平位移的一半。此結(jié)論可應用到類平拋運動中，如帶電粒子在勻強電場中偏轉(zhuǎn)。平拋物體在相同時間內(nèi)，速度變化量相同，，且方向為豎直向下，如右圖所示。題型一：平拋運動的位移【例1】（★★★）物塊從光滑曲面上的P點自由滑下，通過粗糙的靜止水平傳送帶以后落到地面上的Q點，若傳送帶的皮帶輪沿逆時針方向轉(zhuǎn)動起來，使傳送帶隨之運動，如圖所示，再把物塊放到P點自由滑下則（）（例4）A．物塊將仍落在Q點（例4）B．物塊將會落在Q點的左邊C．物塊將會落在Q點的右邊D．物塊有可能落不到地面上解析物塊從斜面滑下來，當傳送帶靜止時，在水平方向受到與運動方向相反的摩擦力，物塊將做勻減速運動，離開傳送帶時做平拋運動。當傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動時物體相對傳送帶都是向前運動，受到滑動摩擦力方向仍與運動方向相反，物體仍做勻減速運動，離開傳送帶時，也仍做平拋運動，且與傳送帶不動時的拋出速度相同，故落在Q點，所以A選項正確。6．離地1000m的高空以100m/s速度水平飛行的飛機進行投彈訓練，地面的靶子以一定的速度運動，不計空氣阻力，g取10m/s2，若要使炸彈擊中靶子，求：(1)地面的靶子以15m/s的速度與飛機同向運動時，炸彈離開飛機時，飛機與靶子的水平距離s1(2)地面的靶子以15m/s的速度與飛機反向運動時，炸彈離開飛機時，飛機與靶子的水平距離s2答案：⑴m⑵m二、圓周運動1．基本公式及概念1）向心力：定義：做圓周運動的物體所受的指向圓心的力，是效果力。方向：向心力總是沿半徑指向圓心，大小保持不變，是變力?！飫蛩賵A周運動的向心力，就是物體所受的合外力?！锵蛐牧梢允侵亓Α椓?、摩擦力等各種力，也可以是各力的合力或某力的分力★勻速圓周運動：物體做勻速圓周運動時受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，這是物體做勻速圓周運動的條件?！镒兯賵A周運動：在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時間改變，其方向也不沿半徑指向圓心．合外力沿半徑方向的分力(或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和)提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向．合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。2）運動參量：線速度：角速度：周期(T)頻率(f)向心加速度：向心力：2．豎直平面內(nèi)的圓周運動問題的分析方法豎直平面內(nèi)的圓周運動，是典型的變速圓周運動，對于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動的問題，中學物理中只研究物體通過最高點和最低點的情況。在最高點和最低點，合外力就是向心力。（1）“繩模型”如右圖所示為沒有物體支撐的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的情況：①臨界條件：小球達最高點時繩子的拉力(或軌道的彈力)剛好等于零，小球的重力提供其做圓周運動的向心力。即式中的v0小球通過最高點的最小速度，通常叫臨界速度②能過最高點的條件：v>v0，此時繩對球產(chǎn)生拉力F③不能過最高點的條件：v<v0，實際上球還沒有到最高點就脫離了軌道。（2）“桿模型”有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動的情況：①臨界條件：由于硬桿和管壁的支撐作用，小球恰能達到最高點的臨界速度v0＝0②右圖中(a)所示的小球過最高點時，輕桿對小球的彈力的情況：當0<v<，桿對小球的支持力的方向豎直向上。當v＝，F(xiàn)N=0。當v>時，桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大．③右圖(b)所示的小球過最高點時，光滑硬管對小球的彈力情況與硬桿對小球的彈力類似。（3）圓錐擺的情況：如圖所示，圓錐擺的情況是水平面內(nèi)的圓周運動情況，將繩的拉力豎直分解與重力平衡，水平分解提供向心力，即：，∴，∴由可以看出，反之例題：如圖所示，兩根長度均為的細線，將質(zhì)量為m的小球系在豎直轉(zhuǎn)軸上，當兩細線拉直時，與豎直方向的夾角均為，求在下列條件下，兩線受到的拉力（1）轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動角速度為；（2）轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動角速度為。解：由受力分析知，小球受上段線拉力和重力的作用，其合力提供小球做勻速圓周運動的向心力，即：，得。（1）當時，恰好等于臨界角速度，所以；（2）當時，兩線均拉緊，即對小球都有拉力，由受力分析知：聯(lián)立解得：，3．對火車轉(zhuǎn)彎問題的分析方法在火車轉(zhuǎn)彎處，如果內(nèi)、外軌一樣高，外側(cè)軌道作用在外側(cè)輪緣上的彈力F′指向圓心，使火車產(chǎn)生向心加速度，由于火車的質(zhì)量和速度都相當大，所需向心力也非常大，則外軌很容易損壞，所以應使外軌高于內(nèi)軌．如右圖所示，這時支持力N不再與重力G平衡，它們的合力指向圓心．如果外軌超出內(nèi)軌高度適當，可以使重力G與支持力的合力，剛好等于火車所需的向心力．另外，錐擺的向心力情況與火車相似。豎直方向：水平方向：得：由圖可知，鐵軌外內(nèi)軌高度差很小，即很小，所以有：由以上各式得火車轉(zhuǎn)彎的最佳速度為：【討論】：若，則內(nèi)外軌均無擠壓，；若，不足以提供所需的向心力，此時火車向外甩，外側(cè)輪緣擠壓外軌，外軌給輪緣一指向圓心方向的彈力，以補充向心力，所以向心力；若，大于所需要的向心力，此時火車被向里拉，內(nèi)側(cè)輪緣擠壓內(nèi)軌，內(nèi)軌給輪緣一遠離圓心方向的彈力，這時向心力為。4．離心運動①做圓周運動的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動，只足由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如下圖所示．②當產(chǎn)生向心力的合外力消失，F(xiàn)=0，物體便沿所在位置的切線方向飛}II去，如右圖A所示．③當提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應當具有的向心力，，即合外力不足提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動．如右圖B所示．題型一：圓周運動的概念理解例1.（★★★）如圖所示一皮帶輪傳動裝置，右輪半徑為r，a是它邊緣上的一點。左側(cè)是一輪軸，大輪的半徑為4r，小輪半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則 A．a(chǎn)點與b點的線速度大小相等 B．a(chǎn)點與b點的角速度大小相等 C．a(chǎn)點與c點的線速度大小相等 D．a(chǎn)點與d點的向心加速度大小相等 解析：勻速圓周運動中各參量的關系，即，，，，。在皮帶傳動中這些參量的特殊制約和聯(lián)系是：皮帶上各點線速度大小相等；同軸的輪上各點角速度相等。由題意可知，再經(jīng)過簡單運算可得出正確選項是C、D。 例2：（★★★）下列說法正確的是 A．勻速圓周運動是一種勻速運動B．勻速圓周運動是一種勻變速運動 C．勻速圓周運動是一種變加速運動 D．因為物體有向心力存在，所以才使物體不斷改變速度的方向而做圓周運動 解析：勻速圓周運動的加速度大小不變而方向在時刻改變，因此屬于變加速運動。力是改變物體運動狀態(tài)的原因，向心力對速度大小的改變沒有貢獻，它作用只是不斷改變速度方向，所以正確選項是C、D。小試牛刀：勻速圓周運動特點是()A.速度不變，加速度不變B.速度不變，加速度變化C.速度變化，加速度不變D.速度和加速度的大小不變，方向時刻在變下列關于甲、乙兩個做勻速圓周運動的物體的有關說法正確的是()A.它們的線速度相等，角速度一定相等B.它們的角速度相等，線速度一定相等C.它們的周期相等，角速度一定相等D.它們的周期相等，線速度一定相等題型二：圓周運動的相關量計算(例3)例3（★★★★）如圖所示是生產(chǎn)流水線上的皮帶傳輸裝置，傳輸帶上等間距地放著很多半成品產(chǎn)品。A輪處裝有光電計數(shù)器，它可以記錄通過A處的產(chǎn)品數(shù)目。已知測得輪A、B的半徑分別為rA=20cm，rB=10cm，相鄰兩產(chǎn)品距離為30cm，1min內(nèi)有41個產(chǎn)品通過A處。求：(例3)(1)產(chǎn)品隨傳輸帶移動的速度大?。?2)A、B輪輪緣上的兩點P、Q及A輪半徑中點M的線速度和角速度大小，并在圖中畫出線速度方向；(3)如果A輪是通過摩擦帶動C輪轉(zhuǎn)動，且rC=5cm，在圖中描出C輪的轉(zhuǎn)動方向，求出C輪的角速度(假設輪不打滑)。解析首先明確產(chǎn)品與傳送帶保持相對靜止的條件下，產(chǎn)品速度的大小就等于傳送帶上每一點速度的大小，在傳送帶不打滑的條件下，傳送帶上各點運動速度的大小都等于A、B輪緣上點的線速度的大小。由傳送帶相鄰產(chǎn)品的間距及單位時間內(nèi)通過A處的產(chǎn)品的個數(shù)可以確定出皮帶上點的速度，進而知道A、B輪緣上的兩點P、Q線速度的大小，然后由線速度與角速度的關系，求出A、B兩輪的角速度及A輪半徑中點M的線速度及C輪的角速度。由題意知，1分鐘內(nèi)有41個產(chǎn)品通過A處，說明1分鐘內(nèi)傳輸帶上每點運動的路程為兩產(chǎn)品間距的40倍。設傳輸帶運動速度大小為v，則(1)v==m/s=0.2m/s(2)vP=vQ=0.2m/s，.A輪半徑上的M點與P點的角速度相等，故vM=vP=×0.2m/s=0.1m/sωP=ωM==rad/s=1rad/s，ωQ=2ωP=2rad/s(例3答圖)(3)C輪的轉(zhuǎn)動方向如圖所示，如果兩輪間不打滑，則它們的接觸處是相對靜止的，即它們輪緣的線速度大小是相等的，所以ωCrC=ωArA(例3答圖)C輪的角速度ωC=ωA=×1rad/s=4rad/s答案(1)0.2m/s(2)vP=vQ=0.2m/s，vM=0.1m/s，ωP=ωM=1rad/sωQ=2rad/s(3)ωC=4rad/s點評本題旨在考查學生對傳動裝置中各物理量的聯(lián)系的理解，并能熟練地運用勻速圓周運動的規(guī)律解決問題。小試牛刀小試牛刀：如圖所示，在輪B上固定一同軸小輪A，輪B通過皮帶帶動輪C，皮帶和兩輪之間沒有滑動，A、B、C三輪的半徑依次為r1、r2和r3。繞在A輪上的繩子，一端固定在A輪邊緣上，另一端系有重物P，當重物P以速率v勻速下落時，C輪轉(zhuǎn)動的角速度為_____。小試牛刀答案：題型三：圓周運動的相遇問題例4（★★★★）如圖所示，小球Q在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，當Q球轉(zhuǎn)到圖示位置時，有另一小球P在距圓周最高點為h處開始自由下落，要使兩球在圓周最高點相碰，則Q球的角速度ω應滿足什么條件？(例4)解析設P球自由落體到圓周最高點的時間為t，由自由落體可得(例4)gt2=h求得t=Q球由圖示位置轉(zhuǎn)至最高點的時間也是t，但做勻速圓周運動，周期為T，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3……)兩式聯(lián)立再由T=得(4n+1)=所以ω=(4n+1)(n=0，1，2，3……)答案ω=(4n+1)，(n=0，1，2，3……)小試牛刀：小試牛刀如圖所示，半徑為R的圓板做勻速轉(zhuǎn)動，當半徑OB轉(zhuǎn)到某一方向時，在圓板中心正上方高h處以平行于OB的方向水平拋出一球。要使小球與圓板只碰撞一次，且落點為B，則小球的初速度是多大?圓板轉(zhuǎn)動的角速度是多大?小試牛刀答案：v0=R，ω=nπ，(n∈N)練習1．關于勻速圓周運動，下列說法中正確的是()A．線速度的方向保持不變B．線速度的大小保持不變C．角速度大小不斷變化D．線速度和角速度都保持不變2．下列關于勻速圓周運動的說法中，正確的是()A．是速度不變的運動B.是角速度不變的運動C．是角速度不斷變化的運動D．是相對圓心位移不變的運動3．一個物體以角速度ω做勻速圓周運動時，下列說法中正確的是()A．軌道半徑越大線速度越大B．軌道半徑越大線速度越小C．軌道半徑越大周期越大D．軌道半徑越大周期越小4．正常走動的鐘表，其時針和分針都在做勻速轉(zhuǎn)動，下列關系中正確的有()(第5題)A．時針和分針角速度相同B．分針角速度是時針角速度的12倍(第5題)C．時針和分針的周期相同D．分針的周期是時針周期的12倍5．如圖所示，球體繞中心線OO’轉(zhuǎn)動，則下列說法中正確的是( )A．A、B兩點的角速度相等 B．A、B兩點的線速度相等C．A、B兩點的轉(zhuǎn)動半徑相等 D．A、B兩點的轉(zhuǎn)動周期相等6．做勻速圓周運動的物體，相同時間內(nèi)物體轉(zhuǎn)過的弧長________，線速度的大小_________，線速度的方向____________。7．—個物體做半徑恒定的勻速圓周運動，周期越小其線速度數(shù)值則