平行四邊形綜合證明題3

33．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．求證：CE＝CF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果∠ECG＝45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：．（3）運(yùn)用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一點(diǎn)，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面積．AABCDEFABCGEABCDE圖1圖2圖3G【答案】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可證得△CBE≌△CDF，從而得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE．連接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可證得△ECG≌△FCG，即可證得結(jié)論；（3）15【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，即可證得△CBE≌△CDF，從而得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE．連接CF．由（1）知△CBE≌△CDF，即可得到∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，可得∠BCE+∠GCD＝45°．即可得到∠ECG＝∠GCF．又CE＝CF，GC＝GC，即可證得△ECG≌△FCG，即可證得結(jié)論；（3）過(guò)C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D．證得四邊形ABCD為正方形．由（2）中△ECG≌△FCG，即得GE＝GF．GE＝DF＋GD＝BE＋GD，設(shè)DG＝x，可得AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)果．（1）在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．（2）如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE．連接CF．AABCDEF圖2G由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°．∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°即∠ECG＝∠GCF．又∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．∴=．∴．（3）如圖3，過(guò)C作CD⊥AG，交AG延長(zhǎng)線于D．在直角梯形ABCG中，BCADEG（第23題答案圖3）∵AG∥BC，BCADEG（第23題答案圖3）又∠CDA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCD為正方形．已知∠ECG＝45°．由（2）中△ECG≌△FCG，∴GE＝GF．∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． 設(shè)DG＝x，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，，即．解得：x＝3．∴==15． ∴△CEG的面積為15．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形的性質(zhì)，勾股定理點(diǎn)評(píng)：此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．34．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)A沿AD向D運(yùn)動(dòng)，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG。請(qǐng)?zhí)骄浚骸?，∴在等腰直角三角形△DOH中，∵DP=HP，∴OP⊥DP，，∴，∴OP=PD【解析】試題分析：（1）直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴A（－6，0），B（0，6），∴OA=OB，∴，在△AOB中，，∴（2）由，DA=DP，推出DP⊥AD，再利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合圖像，以及全等三角形的判定，可以推出，∴PF=PQ。（3）由于PB=PE，以及全等三角形的判定定理推出△PBH≌△PED，由此可以推出BH∥ED，又因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛DE中，AD=BH，，所以利用全等三角形的判定定理，推出△DAO≌△HBO，同時(shí)利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出OP=PD考點(diǎn)：全等三角形的判定定理點(diǎn)評(píng)：本題看似復(fù)雜，實(shí)則許多地方都用到了全等三角形的判斷，全等三角形在中考中是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)該加強(qiáng)這方面的練習(xí)，做到舉一反三。37．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AEFG。AABCDEFGN（1）連結(jié)GD，求證△ADG≌△ABE；（2）連結(jié)FC，求證∠FCN=45°；（3）請(qǐng)問(wèn)在AB邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！敬鸢浮浚?）根據(jù)同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據(jù)“SAS”證得△ADG≌△ABE；（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結(jié)果；（3）存在（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個(gè)三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得證．【解析】試題分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根據(jù)“SAS”證得△ADG≌△ABE；（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H，首先證△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根據(jù)AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可證得結(jié)果；（3）在AB上取AQ=BE，連接QD，首先證△DAQ、△ABE、△ADG三個(gè)三角形全等，易證得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可證得結(jié)果．（1）如圖∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形∴DA=BA，EA=GA，∠BAD=∠EAG=90°∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE；（2）過(guò)F作BN的垂線，設(shè)垂足為H∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°∴∠BAE=∠HEF∵AE=EF∴△ABE≌△EHF∴AB=EH，BE=FH∴AB=BC=EH∴BE+EC=EC+CH∴CH=BE=FH∴∠FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，連接QD∵AB=AD∴△DAQ≌△ABE∵△ABE≌△EHF∴△DAQ≌△ABE≌△ADG∴∠GAD=∠ADQ∴AG、QD平行且相等又∵AG、EF平行且相等∴QD、EF平行且相等∴四邊形DQEF是平行四邊形∴在AB邊上存在一點(diǎn)Q，使得四邊形DQEF是平行四邊形．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，熟練掌握平面圖形的基本概念是解答本題的關(guān)鍵.38．如圖，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DCBAD方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線DABCD方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．（1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘兩點(diǎn)相遇？（2）若點(diǎn)E在線段BC上，且BE＝3cm，若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形？【答案】（1）8秒（2）17/3?！窘馕觥吭囶}分析：（1）利用時(shí)間=路程÷速度和求得；（2）分M點(diǎn)在E點(diǎn)左右兩側(cè)兩種情況討論.考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：本題解題關(guān)鍵是M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)分情況討論.39．如圖，等腰梯形中，AB∥DC，AD＝BC=5，DC=7，AB=13，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AD→DC→CB→BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。（12分）⑴求梯形的高為多少？⑵分段考慮，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形時(shí)？⑶在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，與重合？【答案】見(jiàn)解析【解析】試題分析:解：⑴高為4⑵當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，PC與BQ不平行，故此時(shí)四邊形PQBC不可能為平行四邊形；

當(dāng)點(diǎn)P在DC邊上時(shí)，如圖1。PC=12-2t，BQ=t，∵四邊形PQBC為平行四邊形，∴PC=BQ?！?2-2t=t，t=4?！喈?dāng)t=4時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形。當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，PC與BQ不平行，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，PC與BQ不平行。⑶設(shè)時(shí)間為，不符合題意?？键c(diǎn)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)定理。點(diǎn)評(píng)：此類試題屬于難度較大的試題，主要考查考生對(duì)思維變換的把握和平行四邊形基本性質(zhì)的運(yùn)用。40．把長(zhǎng)方形紙條沿，同時(shí)折疊，、兩點(diǎn)恰好都落在邊的點(diǎn)處，若，，，則長(zhǎng)方形的面積為多少？（8分）【答案】見(jiàn)