2021年數(shù)學(xué)八年級上冊難點(diǎn)突破32份 北師大版

專題01勾股定理巧解幾何圖形折疊問題

【專題說明】

折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線翻折能夠完全重合，解答折疊向題就

是巧用軸對稱及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律.利用勾股定理解答折疊問題的一般步

驟：

(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角.；

(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為x,將此直角三角形為三

邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；

(3)利用勾股定理列方程求出招

(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題.

一、巧用全等法求折疊中線段的長

1、如圖①是一直角三角形紙片，N4=30°,BC=4cm,將其折疊，使點(diǎn)，落在斜邊上.的

點(diǎn)。處，折痕為樂,如圖②，再將圖②沿絲折疊，使點(diǎn)力落在ZT的延長線上的點(diǎn)4

處，如圖③，則折痕龍的長為()

A.|cmB.2yf3cmC.2^2cmD.3cm

J

【答案】A

二、巧用對稱法求折疊中圖形的面積

1、如圖，將長方形力版沿直線切折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)6"處，BC交49于左加=8,AI3

=4,求△班力的面積.

c

1^

N

解：由題意易知力〃〃a；AZ2=Z3.

〃與48切關(guān)于直線被對稱，AZ1=Z2.

AZ1=Z3.：.EB=ED.

設(shè)EB=x,貝lj￡Z=x,AE=AD-ED=8—x.

在Rt△兒跖中，Ag+AC=BB,

A42+(8-X)2=V..,.X=5.

八11

:?DE=3.：.Sde*E?J^=-X5X4=10.

解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得浙的，然后在Rt△力龐中，由掂=—,利用勾

股定理列出方程即可求解..

三、巧用方程思想求折疊中線段的長

1、如圖，在邊長為6的正方形力犯9中，￡是邊切的中點(diǎn)，將△力應(yīng)沿力￡對折連△力陽

延長〃交9于點(diǎn)G,連接施

(1)求證：△46%△川若；

⑵求陽的長.

(1)證明：在正方形力幽9中，AD=AB,N〃=NQ90°.

??,將△力沿力〃對折至△力/在，

：.AD=AF,ND=NAFE=g0：

：.AB=AF,ZB=ZAFG=90°.

又?：AG=AG,

???Rt△力優(yōu)竺Rt△力(次).

(2)解：*：XABG^XAFG,：.BG=FG.

設(shè)BG=FG=x,則GC=6—x,.

?"為⑺的中點(diǎn)，

:?CE=DE=EF=3,???陽=3+x.

???在Rl△酸7中，3〉+(6—X)2=(3+X)2,解得X=2.??.8G=2.

四、巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系

1、如圖，將長方形力灰力沿直線產(chǎn)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)4重合，折痕交力。于點(diǎn)￡,交回于

點(diǎn)E連接廢

(1)求證：AE=AF=CE=CF\

(2)設(shè)ED=b,DC=c,請寫出一個(gè)a,b,。三者之間.的數(shù)量關(guān)系式.

(1)證明：由題意知，加』陰力￡=四，/AFE=4CFE,又四邊形力靦是長方形，故49〃笈。,

:./AEF=4CFE.:.NAFE=ZAEF.

：.AE=AF=EC=CF.

(2)解：由題意知，AE=EC=a,EJ)=b,I)C=c,由N〃=90°知，EI)+DC=C百,即b?

+?=Z

專題02勾股定理求最短路徑長度問題

【專題說明】

求最短距離的問題，第一種是通過計(jì)算比較解最短問題；第二種是平面圖形，將分散的條

件通過幾何變換(平移或軸對稱)進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將

立體圖形展開為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn).間的距離，然后借助直角三角

形利川勾股定理求出最短路程（距離）.

一、通過計(jì)算比較解最短問題

1、如圖，學(xué)校有一塊長方形花闞，有極少數(shù)人從力走到8,為了避免拐角C走“捷徑”，

在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他一們僅僅少走了________步路（假設(shè)2步為1勿），卻踩傷了花

草.

（第1題）

【答案】4［來

2、小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問題：如圖，以往從黃石力坐客車

到武昌客運(yùn)站〃，現(xiàn)在可以在黃石力坐“武黃城際列車”到武漢青山站G再從青山站C坐

市內(nèi)公共汽車到武昌.客運(yùn)站B.設(shè)福=8。km,8。=20km,44C=120°.請你幫助小明解

決以下問題：

（1）求力，C之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：?比4.6）

（2）若客車的平均速度是60力，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40h//力，“武黃城際

列車”的平均速度為180km/h,為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車

方案？請說明理由.（不計(jì)候車時(shí)間）

解：⑴如圖，過點(diǎn)C作"的垂線，交團(tuán)的延■長線于點(diǎn)“

??,//!磨=120°,"BCES

在Rt△物'中，?:BC=20km,

:?BE=10km.

由勾股定理可得支=10日km.

在Rl△力龍中，?:AC=AE+CE=(AB+BR2+Cg=8100+300=8400,

：.AC=2(y\[2i^20X4.6=92

oni

⑵選擇乘“武黃城際列車”.理由如下：乘客車所需時(shí)間為法=右（力），乘“武黃城際

OU6

列車”所需時(shí)間約為惡+黑=1右（力）.

iousuyj

，選擇乘“武黃城際列車”.

二、用平移法求平面中最短問題

1、如圖是一個(gè)三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是50cm,30cm,10cm,4和8

是這個(gè)臺階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，4點(diǎn)上有一只壁虎，它想到6點(diǎn)去吃可口的食物，請你想一

想，這只壁虎從4點(diǎn)出發(fā)，沿著臺階面爬到8點(diǎn)，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

【答案】C

點(diǎn)撥：將臺階面展開，連接力8,如圖，線段4?即為壁虎所爬的最短路線.因?yàn)?0=30X3

+10X3=120(cm),47=50cm,在Rt△力4。中，根據(jù)勾股定理，得而="+配=16900,

所以18=130cm.所以壁虎至少爬行130

2、如圖，已知NQNZ^NZ?=N￡=90°,且46=勿=3,BC=*DE=EF=2,則"的長

是.

A

【答案】10

三、用對稱法求平面中最短問題

1、如圖，正方形力及力的邊長為8,點(diǎn)"在"'上且〃Q2,A,是芯上的一動(dòng)點(diǎn)，求〃V+J理

的最小值.

AD

NM

BC

解：如圖所示,

???正方形是軸對稱圖形，點(diǎn)5與點(diǎn)〃是關(guān)于直線力。為對稱軸的對稱點(diǎn),

，連接8%BD,則直線片。即為切的垂直平分線，???/-MZ

:.D汁MN=BN+MN.

連接43交力C于點(diǎn)P,

???點(diǎn)川為力C上的動(dòng)點(diǎn)，

:,由三角形兩邊之和大于第三邊，

知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸時(shí)，

DN+MN=BP+PM=B\Lm+而V的最小值為陰的長度.

???四邊形力靦為正方形，

:.BC=CD=8,CM=8-2=6,

Z^CM=90°,

/卅=鄧^+Ck『=4外+6?=10.

即以吐J邠的最小值為10.

2、高速公路的同一側(cè)有4"兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線極V的距離分別為AA1

=2km,BB'=4km,A1B'=8m.要在高速公路上1,B1之間建一個(gè)出口只使4B

兩城鎮(zhèn)到產(chǎn)的距離之和最小.求這個(gè)最短距離.

B

「I

MA，B，N（第6題）

解；如圖，作點(diǎn)夕關(guān)于直線JW的對稱點(diǎn)C,連接力6'交脈于點(diǎn)R則點(diǎn)夕即為所建的出口.此

時(shí)44兩城鎮(zhèn)到出口〃的距離之和最小,最短距離為力。的長.作用力_做'于點(diǎn)〃，在RI△4%'

中，AD=Af￡=8km,DC=6km.

彳至=10km,

???這個(gè)最短距離為10km.

f

MAP'："N

、I

C

四、用展開法求立體圖形中最短問題

類型一、圓柱中的最短問題

2

如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為：，高為2,AB,⑺分別是兩底面的直徑..若一只小蟲

從月點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到，點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長度是(結(jié)果保留

根號).

【答案】2*

點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿力〃剪開并鋪平得長方形力/!'"D,連接4G如圖.線段4。就是

21

小蟲爬行的最短路線.根據(jù)題意得力Q：X2"X2=2.在R.t△械沖，由勾股定理，得初

=/1^+^=22+22=8,：.AC=y[s=2y[2.

?

?

Z

?

Z

ABA'

類型二、圓錐中的最短問題

已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：

(1)此圖形的名稱為.

(2)請你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿力S剪開，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展

開圖是一個(gè).

(3)如果點(diǎn)C是弘的中點(diǎn)，在力處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又

不能直接沿力。爬到。處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開圖中畫出蝸牛爬

行的最短路線嗎？

(4)弘的長為10,側(cè)面展開圖的圓心角為90°,請你求出蝸牛爬行的最短路程.

解：(1)圓錐(2)扇形

(3)把此立體圖形的側(cè)面展開，如圖所示，為蝸牛爬行的最短路線.

(4)在RI△力SC中，由勾股定理，得4d=102+52=125,

：.AC=y[125=5y[5.

故蝸牛爬行的最短潞程為八a

s

c

類型三、正方體中的最短問題

如圖“一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角力處沿

著木柜表面爬到柜角G處.

(1)請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；

(2)當(dāng)正方體木柜的樓長為4時(shí)，求螞蟻爬過的最短路徑的長.

解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的力C?和NG.

(2)如圖，AC尸力如=寸(4+4)?+4?=4乖.所以螞蟻爬過的最短路徑的長是4m.

類型四、長方體中的最短問題

如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12朋，8cm,30c/n,在47的中點(diǎn)。處有一滴蜜糖,

一只小蟲從后處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程.

解：分為三種情況：

(1)如圖①，連接比;

在Rt△戚中，所=12+8=20(cm),a'=)X3O=15(cm).

由勾股定理，得夕0=720"+15?=25(cm).

⑵如圖②，連接星

根據(jù)勾股定理同理可求6=啊5cm>25cm.

⑶如圖③，連接

根據(jù)勾股定理同理可求但、12?+(30+8+15)」=、2953(cm)>25cm.

綜上可知，小蟲爬行的最短路程是25cm.

專題03二次根式性質(zhì)解決相關(guān)問題

【專題說明】

對于二次根式重,有兩個(gè)“非負(fù)”：第一個(gè)是a20,第二個(gè)是這兩個(gè)“非負(fù)”在

解二次根式的有關(guān)題目中經(jīng)常用到.二次根式的被開方數(shù)和值均為非負(fù)數(shù)，是常見的隱含條

件.

一、利用被開方數(shù)a20及二次根式的性質(zhì)解決有關(guān)問題

1.若式子產(chǎn)I在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

【答案】x2一1

2.若，荻7—肝友=(x—1y)2,則3x—1y的值為.

、14

【答案】2點(diǎn)撥：由題意知3x—4=0,x—寵=0,所以x=g,y=4,代入求值即可.

3.【中考?黔南州】實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，化簡M(a—1)?+a=.

--2a-10—(第3題)

【答案】1

4.若尸尸歲三T,求(x+y),的直,

解：Vx—4^0,4—xNO,

；?工=4,Ay=-2.

A(x+y)z=(4—2)~2=1.

5.已知x,y為實(shí)數(shù)，且十一5十、5—x=(x+y)2,求x—y的值.

x—520,x25,

解：.由題意，得＜

5—x20,xW5.

???x=5.???(x+y)2=0,即(5+y)2=Q,/.y=-5./.x-y=5-(-5)=10..

二、利用求代數(shù)式的值或平方根

6.^\/a+b+54-12a—b+11=0,則(b—a)20nl=()

A.-1B.1C.52'"D.-5:018

【答案】B

7.若，口與，木互為相反數(shù)，求6x+y的平方根.

解:由題意，得曠5+，用=0,

Ax—3=0,y+2=0,解得〉:=3,y=—2,則6x+j=16,，6x+y的平方根為±4.

三、利用/20求最值

8.當(dāng)x取何值時(shí)，'9x+l+3的值最小,最小值是多少？

解：??,啊有20,上當(dāng)9x+l=0,即x=-g時(shí)，式子/9x+1+3.的值最小,最小值

為3.

方法點(diǎn)撥：涉及二次根式的最?。ù螅┲祮栴}，要根據(jù)題目的具體情況來決定用什么方

法.一般情況下利用二次根式的豐負(fù)性求解.

四、利用二次根式的非負(fù)性解決代數(shù)式化簡求值問題

9.設(shè)等式*\/a(x—a)4-^a(y—a)=-\/x—a—yja—y=0成立，且x,y,a互不相等，求

3x±+xy-y'

的值.

x2—xy+y2

解：因?yàn)镽a(x—a)+#a(y—a)=0,

所以a(x—a)=0且a(y—a)=0.

又因?yàn)閤,y,a互不相等，

所以x-&?/■(),y—avtO,

所以a=0.

代入有/一，三=0，所以小=，三?所以x=-yWO.

由3x2+xy—y23x2—x2—x2x21

所以x2—xy+y2=x2+x2+x2=藪=于

五、利用被開方數(shù)的非負(fù)性解與三角形有關(guān)的問題.___________________

10.已知實(shí)數(shù)x,y,a滿足：＜x+y-8+48-x-y=q3x-y-a+〈x-2y+a+3,試問長

度分別為x,y,a的三條線段能否組成一個(gè)三角形？如果能，請求出該三角形的周長；如果

不能，請說明理由.

x+y-8>0,

解.能.根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性，得解得x+y=8,

8—x—y20,

'x+y=8,

????\/3x-y—a+Nx-2y+a+3=0.根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得，3x-y-a=0,解得

,x—2y+a+3=0,

x=3,

,y=5,

.a=4.

，可以組成三角形，■它的周長為3+5+4=12.

專題04二次根式比較大小的八種方法

【專題說明】

含二次根式的數(shù)（或式）的大小比較，是教與學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，如能根據(jù)二次根式的特征,

靈活地、有針對性地采用不同的方法，將會得到一簡捷的解法.較常見的比較方法有：平方

法、作商法、分子有理化法、分國有理化法、作差法,、倒數(shù)法、特殊值法等.

?、平方法

1.比較+JTT與江+小的大小.

解：因?yàn)椋ā?+/）2=17+2幅“（/+/）2=17+2正，

17.+2訴>17+2迎，所以（祈+布）2>（/+小了.又因?yàn)楣?41>0,JR+

木》0,所以#+迎>/+，1

二、作商法

2?比帚與蚌的大小?

走±2.必+2（g+1）（狙+3）a+4必+3Va+l

解:因“2飛百=3/一=不附<1'易知、「+2〉°

■>。，所以鐺〈鈣.

5+3'a+24a+3

方法總結(jié)：作商比較兩個(gè)二次根式的大小的.方法：當(dāng)兩個(gè)二次根式（均為正數(shù)）均由分

母和分子兩部分組成時(shí)，常通過作商.比較它們的大小，先計(jì)算兩個(gè)二次根式的商，然后比

較商與1的大小關(guān)系.已知a>0,b>0,若2>1，則a>?b；若：=匕則心=也琮則

a<b.

三、分子有理化法

3.比較而一亦與四一1記的大小?

解：

（標(biāo)-/）（逝+yn）

y[T5+y/14

一標(biāo)+

/一/

_（迎一行）（迎+仃）

V14+V^

1

一標(biāo)+行，

???梅+蟲＞標(biāo)+小，A/15+V14＞0,蟲+限＞0,

.-1-＜—!—

??梅+枷/+仃，

即匹-yfl4＜y/14

四、分母有理化法

4.比小與點(diǎn)「的大小.

解”小=2+/，啟祥/+蜴

2+/＞仰蜴二點(diǎn)＞/^

五、作差法

5.比較彎二^與|^大小.

解：因?yàn)橛靡?亞手，9一3〉。，所以吁＞。，所以與與

JJJMJJ

六、倒數(shù)法

6.已知x=[n+3—[n+1,y=^n+2—yfn,.試比較x,y的大小.

1_______1_______—n+3+{n+l

解：x一折記一而不―2

1______1______.n+2+/

1斤f_2>0>

Vyjn+34-^n+l>^n+2+->0,.*.A>->0,x.<y.

xy

七、特殊值法

7.用連接x,%x2,5（0〈x<l）..

解：取特殊值X=J,貝A=4,X2=f^,^/X=1,AX2<X<J\/X<-.

X1UNX

八、定義法

8.比較小一a與*a—6的大小.

解：V5-aNO,，aW5.；?a—6Vo.

3/——：

，a—6Vo.

又yj5—a20,.5-a>5/a—6.

專題05二次根式化簡求值的九種技巧

【專題說明】

在有理數(shù)中學(xué)習(xí)的法則、性質(zhì)、運(yùn)算律、公式等在二次根式中仍然適用，在運(yùn)算的最后注意

結(jié)果要化成最簡形式.在進(jìn)行化簡時(shí)，一定要注意所給出的條件或題中的隱含條件，根據(jù)題

目的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)慕忸}方法.

一、估算法

1.若將三個(gè)數(shù)一小，巾，何表示在數(shù)軸上，則淇中被如圖所示的墨汁覆蓋的數(shù)是

~2—j—0—~4—L（第1題）

【答案】77點(diǎn)撥：因?yàn)橐恍?lt;0,2</<3,3Vg<4,所以被墨汁覆蓋的數(shù)為木.

二、公式法

2.計(jì)算：(5+^6)X(5^2-2^31.

解：原式=(5+,)X［5去一(的2乂曲

=(5+#)乂［隹乂(5-而］

=V2X(5+^6)X(5-^6)

=^2X(25-6)=19^/2.

三、拆項(xiàng)法

3.計(jì)算：（灌款得^）.［提示:#+4巾+3*=（乖+木）+3（小+木）］

M丐.（―+鎘）+3（#+事）

解：原式=（舟如（舟仍

乖+*______+

(m+鏡)(#+巾)

3(#+也)

(m+@(m+如

=1+3

也+小乖十小

=4-S+J-4

=/一亞

四、換元法

,_1./-.,4n+2+A/——4n+2-』一一

4.已A知n=72+1,求FT—~；+?益?V7■^的值?

vn+2—\/n-4n+24-\/n2-4

解：設(shè)x—n十2十.產(chǎn)一白,

y=n+2—、r?—4,

則x+y=2n+4,xy=4n+8.

r—x,yx2+y2(x+y)2xy(x+y).(2n+4)"-

原式=—+—=-------------------------------2=\~?-2=n.

yxxy4n+8o

當(dāng)n=4+l時(shí)，原式=/-1.

五、整體代入法

VV

5.已知'=『‘丫=呵’求亍+彳一4的值.

解：由己知得：x=3+2?^,y=3—2m，所以x+y=6,xy=b

所以原式=止士*=4垃^=30.

xyxy

六、因式分解法

由十木

‘.計(jì)算：2+/+標(biāo)+標(biāo)

也+福

解:

2+y/6-by/i0+y/15~

也十小

=1

A/2（木+木）+乖（蛆+?。?/p>

由+#_______=]=m_*_______=小一書

（9+#）（隹+?。┮恍?小~（鄧+蛆）（十一班）-5-2

5一/

3,

七、配方法

7.若a,b為實(shí)數(shù)，且b=\/3—5a+N5a-3+15,?試求\^,+：+2-2的值.,

(3—5a20,3

.解.：由二次根式的定義，得彳A3—5a=0,.*.a=-

5a—320,5

/.b=15,/.a+b>0.,a—b<0.

(喏-嘖雨=刖

當(dāng)a=2b=15時(shí)，

□

原H—式=2量4/[135=§.2

方法點(diǎn)撥：對于形婷+/2或/卜的代.數(shù)式一般要變?yōu)?弋捍或弋揮的

形式，當(dāng)它們作為被開方式進(jìn)行化簡時(shí)，要注意a+b和a—b以及ab的符號.

八、輔元法

A/x+y

8.已矢口x：y：z=l:2:3(x>0,y>,0,z>0)>求的值.

、x+z+、x+2y

解：設(shè)x=k(k>0),則y=2k,z=3k,

如X/3

*,?原式==A/15—2^/3,

何+啊-2+南

九、先判后算法

9.己知a+b=.-6,ab=5,

解：Va+b=—6.,ab=5,

Aa<0,b<0.

(a+b)2-2ab36-10

???峨+a耒=-2-酒=3*(融)

26_26^5

~V5="5'

點(diǎn)撥：解此類題，應(yīng)先考慮字母取值的正負(fù)情況，再進(jìn)行二次根式的化簡，同時(shí)運(yùn)用整

體思想代入求值，不能一味地想求出單一字母的值，導(dǎo)致問題復(fù)雜化，甚至無法求解.

專題06平面直角坐標(biāo)系中圖形面積的求法

一、有一邊.在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸的三角形直接求面積

1、如圖，平面直角坐標(biāo)系中勿的面積是（）

A.2B.4C.8D.6

【答案】B

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0中，已知/（一1,5）,6（—1,0）,<7（-4,3）,則△48C

的面積為.

【答案】7.5

二、利用補(bǔ)形法或分割法求圖形的面積

3、如圖，四邊形力跑的面積為（）

A.16.5B.21C.17D.18

【答案】B

解析：由圖可知，四邊形力靦的面積為1個(gè)長方形加3個(gè)三角形的面積，即S四邊形皿=3X4

+|xiX3+|xiX3+^X3X4=21.

乙乙乙

4、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力(4,0),8(3.,4),(7(0,2),則四邊形/I8Q7的面

解析：過點(diǎn)8作皮?_Lx軸于。，則S四邊形麗=S悌彩ow+S：角彩的=^X(4+2)X3+：XJX4=9

4乙

+2=11.

5、在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,三角形力a'的三個(gè)頂點(diǎn)恰好

是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn).

(1)寫出三角形力回各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求出此三角形的面積.

解：(1)4(3,3),解一2,-2),H4,-3)；

(2)如圖，分別過點(diǎn)力，B,C作坐標(biāo)蒯的平行線，交點(diǎn)分別為〃E,月S現(xiàn)形3=S正方形

防一S加形座LS油形3一S用形"r=6X6—；X6X1一：X5X5—Jx6Xl=朗.

乙乙乙乙

三、與圖形面積相關(guān)的點(diǎn)的存在性問題

6、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，力及力為長方形，其中點(diǎn)4C的坐標(biāo)分別為(-4,2),(1,

-4),且力加彳軸交y軸于必點(diǎn)，力勿y軸交/軸于N點(diǎn).

(1)求R〃兩點(diǎn)的坐標(biāo)和長方形4％〃的面積；

(2)一動(dòng)點(diǎn)尸從力點(diǎn)出發(fā)，以T個(gè)單位/秒的速度沿4?向夕點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻t.

使郎的面積等于長方形力H力而枳的J?若存在，求出￡的值，并求此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若

O

不存在，請說明理由.

解：(1)???點(diǎn)4。的坐標(biāo)分別為(一4,2),(1,-4),而四邊形秘匕9為長方形，AB//y

軸，力〃〃力軸，，點(diǎn)6的坐標(biāo)為(-4,-4),點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(1,2),???S-(1+4)X(2

+4)=30；

/、y*11111

(2)存在.??Fg=4,AP=-t,???￡s”=5X4X5，=￡.???5X”=wS長方形de,/.^=30X-=10,

：.AP=^XW=5.VAV=2,???P點(diǎn)坐標(biāo)為(一4,一3).

7、如圖，四邊形而4c各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是。(0,0),4(2,0),例4,2),。2,3),過

點(diǎn)C與才軸平行的直線EF與過點(diǎn)、B與y軸平行的直線面交于點(diǎn)E.

(1)求四邊形制比的面積；

(2)在線段而上是否存在點(diǎn)只使四邊形而尸。的面積為7?若不存在，說明理由；若

存在，求點(diǎn)夕的坐標(biāo).

解：(1)由題意，得OF=EH=3,OJi=EF=4、CF=OA=2,BH=2,則龍=川仁2,BE=

1.S四邊形S長方彩“呼'—S-確心ABN—S-.他形CBE-SX3—~XX2—~X2X1,一~X3X2

=6：

⑵不存在.理由如下：若放P在EH上,設(shè),PH=X,則%=3一居S四或形rm=S長方形“什

—S：角形加LS：角形%—5:角形如=4X3—)x2Xx-)x2X(3—A)—*3X2=6.此時(shí)四邊形

勿尸。的面積為一定值6,不為7,故不存在.

專題07平面直角坐標(biāo)系中的新定義與規(guī)律

一、新定義

1、在平面直角坐標(biāo)系X勿中，對于點(diǎn)尸(a,b)和點(diǎn)0(a,B),給出下列定義：若Z/=

\b(心1),

,、則稱點(diǎn)0為點(diǎn)〃的限變點(diǎn).例如：點(diǎn)(2,3)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)(一

—bz(aVl),

2,5)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是(一2,

-5).如果一個(gè)點(diǎn)的限變點(diǎn)的坐標(biāo)是(十，.-1),那么這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(—1,小)B.(—^3,—1)

C.(木,-1)D.(y/3,1)

【答案】C

2、在平面直角坐標(biāo)系中，對于平面內(nèi)任一點(diǎn)(a,。)，若規(guī)定以下三種變換：①△(&6)=(-

&6)；②O(a,b)=(—a,—6)；③0(a,6)=(a,—8),按照以上變換，例如△(0(1,

2))=(1,-2),則0(0(3,4))=.

【答案】(3,4)解析：0(0(3,4))=0(3,4)=(3,4).

3、平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)時(shí)(a,b),N(c,d),規(guī)定(46)?(c,6=(a+c,力+中，則

稱點(diǎn)0(a+c,方+而為點(diǎn)MN的“和點(diǎn)”.若以坐標(biāo)原點(diǎn)0與任意兩點(diǎn)及它們的“和點(diǎn)”

為頂點(diǎn)能構(gòu)成四邊形，則稱這個(gè)四邊形為“和點(diǎn)四邊形”，現(xiàn)有點(diǎn)42,5),8(—1,,3),

若以0,A,B,。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是“和點(diǎn)四邊形”，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【答案】(1,8)或(-3,—2)或(3,2)解析：??,以0,A,B,C四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是“和

點(diǎn)四邊形"，①當(dāng)C為/1,8的“和點(diǎn)”時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為(2—1,5+3),即C(l,8)：②當(dāng)

—l=2+xi,

B為兒。的“和點(diǎn)”時(shí)，設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(汨，y),則.,解得。(一3,-2)；③

3=5r+/1,

2=-1+粉

當(dāng)力為8,。的“和點(diǎn)”時(shí)，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(如理),則L一解得。(3,2)；???點(diǎn)

5=3+%

。的坐標(biāo)為(1,8)或(一3,一的或(3,2).

二、規(guī)律探究

4、.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)尸在第一象限及坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)“在第1秒鐘，從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(0,1),然后按箭

頭的方向運(yùn)動(dòng)[即：(0,0)-(0,l)f(1,1)71,0)—…],每秒移動(dòng)一個(gè)單位，則點(diǎn)尸

運(yùn)動(dòng)到(7,7)位置時(shí)共運(yùn)動(dòng)了秒.

【答案】56解析：質(zhì)點(diǎn)尸每秒移動(dòng)一個(gè)單位，(0,0)-(0,1)-(1,0)用的秒數(shù)

分別是1秒，2秒，3秒，至4(1,1)用2秒，至IJ(2,2)用6秒，至4(3,3)用12秒，至1」(4,

4)用20秒，依此類推，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到：7,7)位置時(shí)共運(yùn)動(dòng)了2+4+6+8+10+12+14=56(秒).

5、如圖，正方形444自，444晶，力…(每個(gè)正方形從第三象限的頂點(diǎn)開始，按順

時(shí)針方向順序，依次記為4,4，4,4；4,4,4,4；4,4。，4”友；…)的中心均在

坐標(biāo)原點(diǎn)。上，各邊均與X軸或y軸平行，若它們的邊長依次是2,4,6,…，則頂點(diǎn)也。

的坐標(biāo)為.

X

【答案】(5,-5)解析：???了=5,???晶在第四象限.???4所在方形的邊長為2,

的坐標(biāo)為(1,-1),同理可得4的坐標(biāo)為(2,-2),人的坐標(biāo)為(3,-3),???加的坐標(biāo)為

(5,—5).

6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，洛△力陽繞點(diǎn)川II頁時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△力區(qū)G的位置，點(diǎn)8,。分別

落在點(diǎn)臺，。處，點(diǎn)臺在x軸上，再將△/狙G繞點(diǎn)笈順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△力毋C的位置，點(diǎn)G

在x軸上，將△45C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到氏C的位置，點(diǎn)4在x軸上，依次進(jìn)行下去….

若點(diǎn)彳|，0),點(diǎn)8(0,2),則點(diǎn)笈的坐標(biāo)為；點(diǎn)治g的坐標(biāo)為.

【答案】(6,2)(6048,2)解析：???￡,0),8(0,2),???RtZ\/l"中，AB=/：.OG

35

=勿+力區(qū)+區(qū)0=5+5+2=6,???點(diǎn)員的橫坐標(biāo)為6,且員G=2,即點(diǎn)名的坐標(biāo)是(6,2),

???點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2X6=12,???點(diǎn)%6的橫坐標(biāo)為2016+2X6=6048,點(diǎn)星旗的縱坐標(biāo)為

2,即點(diǎn)用H6的坐標(biāo)是(6048,2).

7、如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，第一次將變換成△力山，第二次將△以山變換成

△OkB。,第三次將△覬必變換成△如3左，已知力(1,3),4(2,3),,%(4,3),4(8,3),

8(2,0),4(4,0),8(8,0),3(16,0).

(2)寫出△OAB的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)按此圖形變化規(guī)律，你能寫出△如忘的面積與△如〃的面積的大小關(guān)系嗎？

解：(1)S4(Mt=s()B?X2X3=3；

乙乙

(2)根據(jù)圖示知。的坐標(biāo)是(0,0)；已知力(1,3),4.(2,3),4(4,3),4(8,3),對

于4,4,…，4的坐標(biāo)，找規(guī)律比較發(fā)現(xiàn)4的橫坐標(biāo)為21而縱坐標(biāo)都是3；同理8,艮,…,

員也一樣找規(guī)律，規(guī)律為反的橫坐標(biāo)為2小，縱坐標(biāo)為0.由以上規(guī)律可知：4的坐標(biāo)是(16,

3),4的坐標(biāo)是(32,0).綜上所述,0(0,0),4(16,3),4(32,0)；

(3)根據(jù)規(guī)律，后一個(gè)三角形的底邊是前一個(gè)三角形底邊的2倍，高相等都是3,???照

=2小，S△力點(diǎn)=5乂2"+*3?=3乂2"=2應(yīng)M即SZ\0t5=2"心刖.

解：(1)8，%=5乂2X3.=3；

乙乙

(2)根據(jù)圖示知。的坐標(biāo)是(0,0)；已知力(1,3),4(2,3),J2(4,3),4(8,3),對

于4,4,…，4的坐標(biāo)，找規(guī)律比較發(fā)現(xiàn)4的橫坐標(biāo)為2”,而縱坐標(biāo)都是3；同理區(qū)，氏，

凡也一樣找規(guī)律，規(guī)律為凡的橫坐標(biāo)為2Hl縱坐標(biāo)為。.由以上規(guī)律可知：4的坐標(biāo)是(16,

3),S的坐標(biāo)是(32,0).綜上所述,0(0,0),4(16,3),4(32,0)；

(3)根據(jù)規(guī)律，后一個(gè)三角形的底邊是前一個(gè)三角形底邊的2倍，高相等都是3,???0七

=2小，S△/忘=/x2小.X3=3X2"=2"右網(wǎng)即SZk6L4志=2"必加

專題08一次函數(shù)中的有關(guān)圖形面積問題

【模型展示】

一、如何求下列陰影部分三角形的面積

【例題精講】

1、如閽，直線)=丘+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)E,尸，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(—8,0),點(diǎn)A的

坐標(biāo)為(-6,0).點(diǎn)P(x,y)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

(1)求％的值

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出AO/%的面積S與1的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取

值范圍；

(3)求當(dāng)「運(yùn)動(dòng)到什么位置(求P的坐標(biāo))時(shí)，四邊形4。中的面積為二:，并說明理

3

解：(1),直線y二4產(chǎn)6與*軸相交于點(diǎn)￡(-8,0)0=—Sk+6解得k=一

4

3

(2)對于直線y=巳*+6,???點(diǎn)，(1y)是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

4

???可設(shè)尸仆」x+6)(-8<x<0),則〃點(diǎn)到x軸得距離為〃=3X+6,

14)4

又力(-6,0),???的=|-6卜6

1|<3A9八

**?^AOPA=—AOh=-^6x—x+6jS=—x+18(-8VxV0)

4

3

(3)對于直線曠=^工+6,由x=O,得y=6A/7(0,6),貝IJ①二6

???「卜,(1+6、(-8<^<0)到y(tǒng)軸的距i

得為國=-x

,SANP=g/°?兇=gx6*(一力二一3/

,,Syq邊形八。尸〃-S&OPA+S^OFP

?苧+18+(一31)=胃

1337

解得x=—U,符合題意，此時(shí)巳％+6=」

248

2、如圖，直線y=—jlr+4jj與上軸相交于點(diǎn)A,與直線>二后相交于點(diǎn)尸.

(1)求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2)請判斷AOP4的形狀并說明理由.

(3)動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著OfPT4的路線向點(diǎn)A勻速

運(yùn)動(dòng)(E不與點(diǎn)O,A重合)，過點(diǎn)E分別作M_Lx軸于尸,軸于5,設(shè)

運(yùn)動(dòng)f秒時(shí)，矩形E8。尸與A。/%重疊部分的面積為S,求：S與2之間的函數(shù)關(guān)

系式.

(2)△尸是等邊三角形

(3)當(dāng)0V1W4時(shí)，如圖，在RiAEOF中,

■:NEOFWD°,OE=t,

?m-3,

??￡/_--190F=-t,

22

：.S=-OFEF=—t2

28

當(dāng)4V1V8時(shí)，如圖，設(shè)防與沙相交于點(diǎn)C,

]3

：.AF=4-止一(8—f)

22

：.OF=OA-AF=-t

2

：.S=-(CE+OF)-EF=--t2+4y/3t-Sj3

28

【針對訓(xùn)練】

1、如圖，一次函數(shù)y=A戶。的圖象與y軸交于點(diǎn)8(0,-6),與彳軸交于點(diǎn)C,且與正

比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)力(1,-4).

(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式及△力3的面積；

(2)將正比例函致尸上x的圖象沿y軸向下平移3個(gè)單位長度后得到直線1,請寫出直

線/對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

解：(1)???一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)8(0,-6),A(1,-4),

b=-6

得到《

,

k1+b=-4

Jk=2

，，lb=-6,

?32x?6,

，C(3,0),

?.?正比例函數(shù)經(jīng)過力（1,-4）,

：.k2=-4,

:.y=~4x；

，△力帆的面積=^X3X4=6；

（2）將y=-4x沿著y軸向下平移3個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=-Ax-3.

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)力（-2,3）向右平移4個(gè)單位長度，再向下移2個(gè)

單位長度得到點(diǎn)8.

（1）求直線的解析式；

（2）直線四與*軸交于點(diǎn)C,將直線如沿陽方向從點(diǎn)4開始平移到點(diǎn)4停止，直線

如在平移過程中交力月于點(diǎn)發(fā)交》軸干點(diǎn)凡記△硒7的面積為￡求S的取值范圍.

、工

^F^\oc<5

解：（1）?.?把點(diǎn)］（-2,