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廣義積分一、無(wú)窮區(qū)間的廣義積分定義1

設(shè)f(x)在區(qū)間［a,+∞)內(nèi)連續(xù)，任取b>a，若極限limb→+∞存在，則稱此極限為f(x)在區(qū)間［a,+∞)上的廣義積分，記作∫+∞af(x，即(5-7)此時(shí)稱廣義積分∫+∞af(x存在或收斂；否則稱廣義積分∫+∞af(x沒(méi)有意義或發(fā)散．類似地，可定義f(x)在區(qū)間(－∞,b］上的廣義積分(5-8)以及∫b－∞f(收斂和發(fā)散的概念．定義2

f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，如果廣義積分定義為(5-9)其中a為任意實(shí)數(shù)．當(dāng)上式右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，稱廣義積分存在或收斂；否則稱廣義積分沒(méi)有意義或發(fā)散．是否收斂和a的取值無(wú)關(guān)．一、無(wú)窮區(qū)間的廣義積分【例1】【例2】一、無(wú)窮區(qū)間的廣義積分該題的結(jié)論一般要記住，可作為定理使用．注意一、無(wú)窮區(qū)間的廣義積分

這個(gè)廣義積分的幾何意義是：當(dāng)a→－∞，b→+∞時(shí)，雖然圖5-8中陰影部分向左、右無(wú)限延伸，但其面積卻有極限值π．【例3】圖5-8一、無(wú)窮區(qū)間的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分定義3

此時(shí)稱廣義積分存在或收斂；否則稱廣義積分沒(méi)有意義或發(fā)散．這種廣義積分又稱為瑕積分，a為瑕點(diǎn)．類似地，可定義f(x)在區(qū)間［a,b)上的廣義積分定義4

否則，稱其沒(méi)有意義或發(fā)散．二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分【例4】二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分

圖5-9二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分【例5】該題的結(jié)論一般要記住，可作為定理使用．注意二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分【例6】上面等式右端的廣義積分至少有一個(gè)發(fā)散，則廣義積分．注意二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分【例7】二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分【例8】下列算式是否正確？二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分

二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分

二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分思考

(1)本節(jié)學(xué)習(xí)了幾種不同類型的廣義積分？它

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