信號與系統(tǒng)6電子課件

第6章離散時間z域分析6.1z變換6.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.3系統(tǒng)的z域分析*6.4z變換和拉普拉斯變換*6.5數(shù)字濾波器設(shè)計——IIR濾波器6.1z變換z變換(z-Transform)是離散時間序列的變換，其地位與作用類似于連續(xù)時間中的拉普拉斯變換。

本章首先介紹z變換的定義、收斂域、性質(zhì)、逆變換。在此基礎(chǔ)上，討論離散時間LTI系統(tǒng)的z域分析和系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解方法。6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/142/866.1z變換6.1.1z變換的定義及收斂域不滿足絕對可和條件的序列，其DTFT不存在，例如指數(shù)增長序列

（）。然而，若將乘以衰減序列（），且的衰減速度比增長速度快（），則將滿足絕對可和條件，其DTFT是存在的，即6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/143/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/144/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/145/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/146/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/147/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/148/866.1z變換3.z變換的收斂域特征1)

右邊單邊序列z變換的收斂域特征由于右邊單邊序列的z變換

求和區(qū)間為[0,+∞)，的收斂域具有如下主要特征：6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/149/866.1z變換3.z變換的收斂域特征2)左邊單邊序列z變換的收斂域特征6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/1410/866.1z變換3.z變換的收斂域特征3)雙邊無限長序列z變換的收斂域特征將x[n]分為右邊無限長序列和左邊無限長序列進行求和，它們的收斂域分別為某個圓外和圓內(nèi)，當(dāng)存在公共收斂域時，則x[n]的z變換存在，且收斂域必為。6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/1411/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/1412/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/1413/866.1z變換6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.46、雙邊序列z變換和單邊序列z變換

實際應(yīng)用中通常關(guān)注的是“從某個時刻開始系統(tǒng)加入激勵后的響應(yīng)”，因此系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解主要應(yīng)用的是單邊序列z變換式（6-5）。

然而，離散時間系統(tǒng)在處理信號時可以是非實時的，并且信號值是可以存儲的。例如算法執(zhí)行時，如果假定當(dāng)前時刻為n＝0，它完全可以使用已被存儲的任何歷史時刻（n＜0）的數(shù)據(jù)。這在連續(xù)時間模擬系統(tǒng)中是無法實現(xiàn)的。另一方面，n未必是時間。例如，在二維的圖像信號處理中，自變量（n,m）表示的是空間坐標(biāo)，負(fù)（n,m）值完全是合理的。

2025/1/1414/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.2z變換的性質(zhì)性質(zhì)1線性性質(zhì)

2025/1/1415/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)2位移性質(zhì)(1)右移對應(yīng)z域乘，左移對應(yīng)z域乘（假定m>0）。(2)如果在位移前后參與z變換計算的非零樣值集合沒有發(fā)生變化，則只需乘以或即可。(3)如果在位移前后參與z變換計算的非零樣值集合發(fā)生了變化，則需在表達(dá)式中體現(xiàn)出樣點的增加或減少。

2025/1/1416/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)2位移性質(zhì)

2025/1/1417/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)2位移性質(zhì)

2025/1/1418/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)3指數(shù)加權(quán)性質(zhì)證明

2025/1/1419/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)4z域微分性質(zhì)

2025/1/1420/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)4z域微分性質(zhì)

2025/1/1421/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)5時域卷積性質(zhì)證明

2025/1/1422/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1423/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5*性質(zhì)6z域卷積性質(zhì)*性質(zhì)7時域差分性質(zhì)

2025/1/1424/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5*性質(zhì)8時域求和性質(zhì)*性質(zhì)9時域反轉(zhuǎn)性質(zhì)

2025/1/1425/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5*性質(zhì)10序列內(nèi)插零*性質(zhì)11序列抽取性質(zhì)

2025/1/1426/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)12初值定理

2025/1/1427/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性質(zhì)12終值定理

2025/1/1428/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.3逆z變換的求解1.單邊序列逆z變換的部分分式展開法有理函數(shù)

的一般形式可表示為其中是零點，是極點。由于離散時間情況下典型z變換具有

的形式，故一般不是直接將展開成部分分式，而是兩邊同除以z后再對進行部分分式展開，然后再兩邊同乘以z。2025/1/1429/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.3逆z變換的求解1.單邊序列逆z變換的部分分式展開法

2025/1/1430/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.3逆z變換的求解1.單邊序列逆z變換的部分分式展開法

2025/1/1431/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1432/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1433/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52.單邊序列逆z變換的冪級數(shù)展開法（長除法）長除法求逆z變換的優(yōu)點是原理簡單。但長除法一般不易得到閉式解，因為要由樣值歸納出序列變化的公式通常是比較困難的。

2025/1/1434/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52.單邊序列逆z變換的冪級數(shù)展開法（長除法）2025/1/1435/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5

2025/1/1436/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5(1)右邊單邊序列z變換的收斂域一定是以半徑最大的極點為收斂圓，圓外為收斂域，所有極點位于圓內(nèi)。(2)左邊單邊序列z變換的收斂域一定是以半徑最小的極點為收斂圓，圓內(nèi)為收斂域，所有極點位于圓外。(3)雙邊序列z變換的收斂域是圓環(huán)：內(nèi)環(huán)由各右邊單邊子序列中的最大半徑極點決定，所有右邊單邊子序列的極點均位于內(nèi)環(huán)內(nèi)；外環(huán)由其各左邊單邊子序列中的最小半徑極點決定，所有左邊單邊子序列的極點均位于外環(huán)外。

2025/1/1437/866.1z變換6.1.4單邊周期序列的z變換1.z正變換單邊周期序列可以表示為兩邊取z變換有6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1438/866.1z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1439/866.1z變換2.單邊周期序列的逆z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1440/866.1z變換*3.單邊周期延拓序列的z變換6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1441/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1442/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.5

2025/1/1443/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1444/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1445/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1446/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1447/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.2方框圖描述系統(tǒng)的響應(yīng)求解方框圖描述系統(tǒng)的z域求解方法與上一小節(jié)介紹的內(nèi)容基本相同，主要問題是如何根據(jù)系統(tǒng)方框圖建立z域方程。

【解】對于本題，假設(shè)求和器輸出端為v[n]

，則可列寫如下方程6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1448/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1449/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解*6.2.3完全響應(yīng)的分解及響應(yīng)分量的z域求解系統(tǒng)的輸出源于系統(tǒng)的輸入和激勵加入前的系統(tǒng)儲能，在兩者共同作用下產(chǎn)生的輸出稱為完全響應(yīng)。由于系統(tǒng)輸出對這兩種作用是線性可加的，因此完全響應(yīng)可以分解為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，即在差分方程的時域經(jīng)典解法中（本書未介紹），方程的完全解y[n]是由齊次差分方程的通解和非齊次方程的特解構(gòu)成，通解和特解被分別稱為自由響應(yīng)和強迫響應(yīng)，即

6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1450/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.5

2025/1/1451/866.2系統(tǒng)響應(yīng)的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.5

2025/1/1452/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1453/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1454/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1455/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.42025/1/1456/866.3系統(tǒng)的z域分析

6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.42025/1/1457/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1458/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1459/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1460/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1461/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1462/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1463/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1464/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1465/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.3全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)1.全通系統(tǒng)全通系統(tǒng)，其零極點分布分布特征為：

6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.52025/1/1466/866.3系統(tǒng)的z域分析2.最小相位系統(tǒng)6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.52025/1/1467/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.4因果穩(wěn)定性和可實現(xiàn)性6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1468/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1469/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1470/866.3系統(tǒng)的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1471/86*6.4z變換與拉普拉斯變換

6.4.16.4.26.16.26.36.46.52025/1/1472/866.4z變換與拉普拉斯變換6.4.16.4.26.16.26.36.46.5

2025/1/1473/866.4z變換與拉普拉斯變換6.4.16.4.26.16.26.36.46.5

2025/1/1474/866.4z變換與拉普拉斯變換6.4.16.4.26.16.26.36.46.5

2025/1/1475/866.4z變換與拉普拉斯變換6.4.16.4.26.16.26.36.46.52025/1/1476/866.5數(shù)字濾波

IIR濾波器6.5.1雙線性變換法1.頻域混疊6.5.16.5.26.16.26.36.46.52025/1/1477/866.5數(shù)字濾波

IIR濾波器2.連續(xù)時間系統(tǒng)H(s)的基本環(huán)節(jié)下列形式的一階環(huán)節(jié)是任意階H(s)的基本環(huán)節(jié)

它對應(yīng)于一階微分方程

其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6.5.16.5.26.16.26.36.46.52025/1/1478/866.5數(shù)