【同步輔導】2021高中數(shù)學北師大版選修2-3學案：《排列》

第4課時排列1.理解排列、排列數(shù)的概念,把握排列數(shù)公式的推導,從中體會“化歸”的數(shù)學思想.2.能用“樹型圖”寫出一個排列中全部的排列;能用排列數(shù)公式計算.5月1日,小王、小劉、小趙等6名同學與李老師一起外出郊游.在游興正濃之際,小王提議大家一起合影,把奇特的山水風景與老師、同學的身影一起發(fā)給班里的每一位同學.大家齊聲叫好,并全都提議李老師排中間.小王說:“我與老師排在一起.”小劉說:“我不與小王排在一起.”而小趙說:“我要與小劉排在一起.”其他三位同學說:“我們?nèi)螒{.”于是,大家排了隊,合了影,興奮極了.在回學校的路上,李老師提了一個問題:“我們7個人排隊,剛才大家提出了各自的要求,那么,符合你們這些要求的排法共有多少種呢?”你能幫他們計算一下嗎?問題1:排列的概念從n個元素中,任取m(m≤n)個元素,依據(jù)排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的.

說明:(1)排列的定義包括兩個方面:①取出元素,②按肯定的挨次排列.(2)兩個排列相同的條件:①元素完全相同,②元素的排列挨次也相同.問題2:排列數(shù)的定義從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素的的個數(shù)叫作從n個元素中取出m個元素的,用符號表示.

問題3:排列數(shù)公式及其推導由An2的意義:假定有排好挨次的2個空位,從n個元素a1,a2,…,an中任取2個元素去填空,一個空位填一個元素,每一種填法就得到一個排列,反過來,任一個排列總可以由這樣的一種填法得到,因此,全部不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)An2.由分步計數(shù)原理完成上述填空共有種填法,所以由此,求An3可以按依次填3個空位來考慮,∴An3=,求Anm以按依次填m個空位來考慮Anm=,得排列數(shù)公式如下:Anm=(m,問題4:階乘的概念n個不同元素全部取出的一個排列,叫作n個不同元素的一個,這時Ann=.把正整數(shù)1到n的連乘積,叫作,表示,即Ann=,1.89×90×91×92×…×100可表示為().A.A10010B.A10011C.2.甲、乙、丙、丁四人輪番讀同一本書,則甲首先讀的支配方法種數(shù)為().A.24 B.12 C.6 D.33.若Anm=17×16×15×…×5×4,則n=,m=4.從2,3,5,7,11這五個數(shù)字中,任取2個數(shù)字組成分數(shù),不同值的分數(shù)共有多少個?無限制條件的排列問題有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù).(1)選其中5人排成一排;(2)排成前后兩排,前排3人,后排4人.有限制條件的排列問題有4名男生、5名女生,全體排成一行,問下列情形各有多少種不同的排法?(1)甲不在中間也不在兩端;(2)甲、乙兩人必需排在兩端;(3)男女相間.利用排列數(shù)公式進行計算、化簡或解方程解方程:3Ax3=2Ax+16個不同的元素排成前后兩排,每排3個元素,那么不同的排法種數(shù)是.

把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù),并把它們按由小到大的挨次排列成一個數(shù)列.(1)43251是這個數(shù)列的第幾項?(2)這個數(shù)列的第97項是多少?解方程:3A8x=41.四支足球隊進行主客場制的足球競賽,競賽的總場次為().A.6 B.12 C.16 D.242.在數(shù)字1,2,3與符號“+”,“-”五個元素的全部全排列中,任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是().A.6 B.12 C.18 D.243.有8人排成一排,甲、乙必需分別緊靠站在丙的兩旁,排法共有種.

4.有5個人并排站成一排,假如甲必需在乙的右邊,則不同的排法有多少種?(2021年·山東卷)用0,1,…,9十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為().A.243 B.252 C.261 D.279考題變式(我來改編):第4課時排列學問體系梳理問題1:不同肯定的挨次一個排列問題2:全部排列排列數(shù)A問題3:n(n-1)n(n-1)n(n-1)(n-2)n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)問題4:全排列n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1n的階乘n!n!0!=1基礎學習溝通1.C由題意知n=100,∴100-m+1=89,∴m=12.2.C甲在首位,相當于乙、丙、丁全排,即3!=3×2×1=6.3.1714由題易知n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.4.解:由于從2,3,5,7,11這五個數(shù)字中,任取2個數(shù)字組成分數(shù),分數(shù)的值各不相同,所以不同值的分數(shù)的個數(shù)等于從這五個數(shù)字中任取2個數(shù)字的排列數(shù)A52=5×4=重點難點探究探究一:【解析】(1)從7個人中選5個人來排列,有A75=7×6×5×4×3=2520(2)分兩步完成,先選3人排在前排,有A73種方法;余下4人排在后排,有A44種方法,故共有A73·A44=5040種.事實上,本小題即為【小結】對于無限制條件的排列問題,常用直接法,即把符合條件的排列數(shù)直接列式計算.探究二:【解析】(1)(法一)(元素分析法)先排甲有6種,其余有A88故共有6·A88=241920(法二)(位置分析法)中間和兩端有A83種排法,包括甲在內(nèi)的其余6人有A66種排法,故共有A8(法三)(等機會法)9個人的全排列數(shù)有A99種,甲排在每一個位置的機會都是均等的,依題意,甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是A99×69(法四)(間接法)A99-3·A88=6(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有A22·A7(3)(插空法)先排4名男生有A44種方法,再將5名女生插空,有A55種方法,故共有A4【小結】本題集排列多種類型于一題,充分體現(xiàn)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、位置分析法(優(yōu)先考慮特殊位置)、直接法、間接法(排解法)、等機會法、插空法等常見的解題思路.探究三:【解析】由排列數(shù)公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=23,∴原方程的解為x=5或x=2[問題]上述解法正確嗎?[結論]不正確,應用Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!時,要留意隱含條件m,n∈N由排列數(shù)公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=23,∵x≥3,且x∈N+,∴原方程的解為x=5【小結】(1)解含排列數(shù)的方程和不等式時要留意排列數(shù)Anm中,m,n∈N+且m≤n這些限制條件,(2)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)常用來求值,特殊是m,n均為已知時,公式Anm思維拓展應用應用一:720前后兩排可看成一排的兩段,因此本題可看成6個不同的元素排成一排,共A66=720應用二:(1)不大于43251的五位數(shù)有A55-(A44+A33+A22)(2)此數(shù)列共有120項,而以5開頭的五位數(shù)恰好有A44=24個,所以以5開頭的五位數(shù)中最小的一個就是該數(shù)列的第97項,即應用三:∵3·8∴x=6或x=13(舍去).即原方程的解為x=6.基礎智能檢測1.B相當于從4支球隊中選出2支球隊的排列,共有A42=122.B先排列1,2,3,有A33=6種排法,再將“+”,“-”兩個符號插入,有A22=2種方法,共有12種方法3.1440把甲、乙、丙先排好,有A22種排法,把這三個人