二次型的基本概念

二次型的基本概念二次型的基本概念c在平面解析幾何中，一個(gè)有心的二次曲線（如圓、橢圓），當(dāng)其中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，它的一般方程可以寫成ax2+2bxy+cy2=d（7-1）式（7-1）的左端為一個(gè)關(guān)于x,y的二次齊次多項(xiàng)式.為了進(jìn)一步地研究這個(gè)二次曲線的性質(zhì)，通常用配方法或者選擇一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換

（7-2）將式（7-1）變成一個(gè)不含有混合二次項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)方程a′x′2+c′y′2=d′（7-3）式（7-3）的左端是一個(gè)關(guān)于x′,y′的二次齊次多項(xiàng)式.顯然，式（7-3）左端的二次齊次多項(xiàng)式較式（7-1）的左端要簡(jiǎn)單一些.這種二次齊次多項(xiàng)式及其（通過坐標(biāo)變換）簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的過程，不止在幾何中進(jìn)行討論，在數(shù)學(xué)的眾多其他分支和物理、力學(xué)等學(xué)科的理論或?qū)嶋H問題中也經(jīng)常會(huì)遇到.這里把這些問題進(jìn)行一般化，介紹一般的二次齊次多項(xiàng)式及其化簡(jiǎn)問題.二次型及其矩陣一、將以x1,x2,…,xn為變量的n元二次齊次多項(xiàng)式f(x1,x2,…,xn)=a11x21+2a12x1x2+2a13x1x

3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn

…+annx2n（7-4）稱為一個(gè)n元二次型，在不發(fā)生混淆時(shí)，簡(jiǎn)稱為二次型.定義7-1利用矩陣的運(yùn)算，式（7-4）中的二次型也可以表示為則二次型f(x1,x2,…,xn)可以簡(jiǎn)記成f(x1,x2,…,xn)=XTAX（7-6）并且，將矩陣A稱為二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣.由于我們約定aji=aij，i<j

因此矩陣A是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即二次型的矩陣為一個(gè)對(duì)稱矩陣.根據(jù)上面的討論，任意給定一個(gè)n元二次型f(x1,x2,…,xn)，可以得到一個(gè)與之唯一對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣A；反過來，任意給定一個(gè)n階對(duì)稱矩陣A，也可以按照式（7-6）唯一地定義一個(gè)n元二次型.于是，在二次型與其矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系下，n元二次型與n階對(duì)稱矩陣是一一對(duì)應(yīng)的，這樣二次型的問題就轉(zhuǎn)化為對(duì)稱矩陣的問題.當(dāng)二次型的系數(shù)均為復(fù)數(shù)，即對(duì)應(yīng)的矩陣為復(fù)矩陣時(shí)，稱其為復(fù)二次型；當(dāng)其系數(shù)均為實(shí)數(shù)時(shí)，稱此二次型為實(shí)二次型.如果不特別聲明，本章討論的二次型均指實(shí)二次型.【例7-1】其中，α=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，A是二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣.這樣二次型就是向量α的n個(gè)分量的二次齊次函數(shù).

強(qiáng)調(diào)事項(xiàng)段的處理二、與解析幾何中化簡(jiǎn)形如式（7-1）的二次曲線方程一樣，在許多實(shí)際問題中也經(jīng)常需要利用變量的變換簡(jiǎn)化一些二次型.因此，引入變量的線性替換.定義7-2設(shè)x1,x2,…,xn；y1,y2,…,yn是兩組變量，實(shí)系數(shù)的一組關(guān)系式（7-7）稱為由x1,x2,…,x

n到y(tǒng)1,y2,…,yn的一個(gè)線性替換.如果式（7-7）中的線性替換的系數(shù)矩陣的行列式|P|≠0，則稱這個(gè)線性替換是非退化的.因此這個(gè)替換是非退化的.將變量x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn用n維向量的形式表達(dá)，即令則式（7-7）的線性替換可以寫成或者X=PY.由于兩個(gè)可逆矩陣的乘積仍然是一個(gè)可逆矩陣，那么，對(duì)二次型f(x1,x2,…,xn)進(jìn)行一次非退化的線性替換X=PY后，再進(jìn)行一次非退化的線性替換Y=QZ，就相當(dāng)于對(duì)原二次型f(x1,x2,…,xn)進(jìn)行了非退化的線性替換X=(PQ)Z.從而，對(duì)一個(gè)二次型進(jìn)行一系列的非退化線性替換，也可以由一個(gè)非退化的線性替換描述.對(duì)一個(gè)二次型f(x1,x2,…,xn)進(jìn)行一次線性替換，就是將式（7-7）中的變量x1,x2,…,xn帶入f(x1,x2,…,xn)，于是，得到關(guān)于變量y1,y2,…,yn的一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，即f(x1,x2,…,xn)經(jīng)過替換后仍然是一個(gè)二次型.因此，線性替換將一個(gè)二次型仍然變成二次型.那么，替換前后的兩個(gè)二次型之間有什么關(guān)系，或者說，替換前后的兩個(gè)二次型的矩陣之間有什么關(guān)系呢？c通常，我們只考慮非退化的線性替換.這是因?yàn)?，如果?duì)一個(gè)二次型f(x1,x2,…,xn)進(jìn)行一次非退化線性替換X=PY

得到一個(gè)新的二次型.那么對(duì)上式進(jìn)行變形，有Y=P－1X

這是從變量y1,y2,…,yn到x1,x2,…,xn的一個(gè)線性替換，利用這個(gè)替換，對(duì)新的二次型進(jìn)行作用，就將新的二次型還原成原二次型f(x1,x2,…,xn).因此，可以借助新二次型的性質(zhì)，研究原二次型的性質(zhì).為了更好地描述經(jīng)過線性替換以后兩個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣之間的關(guān)系，先引入一個(gè)關(guān)于矩陣的概念.定義7-3設(shè)A和B是兩個(gè)n階方陣.如果存在一個(gè)n階可逆矩陣P，使得B=PTAP

則稱A和B是合同的，簡(jiǎn)記為A

B.容易驗(yàn)證，方陣之間的合同關(guān)系滿足如下規(guī)律：(1)自反性：A

A.(2)對(duì)稱性：如果A

B，那么B

A.(3)傳遞性：如果A

B，B

C，那么A

C.其中A，B,C均為n階方陣.顯然，與對(duì)稱矩陣合同的矩陣仍然是對(duì)稱矩陣.定理7-1設(shè)A和B是兩個(gè)n階對(duì)稱矩陣.那么A與B是合同的當(dāng)且僅當(dāng)A與B是一個(gè)n元二次型經(jīng)過一個(gè)非退化線性替換前后分別對(duì)應(yīng)的矩陣.證充分性：設(shè)f(x1,x2,…,xn)是一個(gè)n元二次型，其對(duì)應(yīng)的矩陣為A，即f(x1,x2,…,xn)=XTAX

對(duì)f(x1,x2,…,xn)進(jìn)行一次非退化線性替換，設(shè)為X=PY，將其帶入原二次型，得到f(x1,x2,…,xn)=(PY)TA(PY)=YT

(PTAP)Y

那么替換后的二次型對(duì)應(yīng)的矩陣B=PTAP，即A與B是合同的.必要性：如果A與B是合同的，即存在n階可逆矩陣P，使得B=PTAP.令f(x1,x