【北京特級教師-二輪復(fù)習(xí)精講輔導(dǎo)】2021屆高考理科數(shù)學(xué)-解析幾何經(jīng)典精講(上)-課后練習(xí)二

解析幾何經(jīng)典精講（上）主講老師：程敏北京市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高級老師題一：設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.題二：若直線過點(diǎn)M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且，求直線的方程．題三：設(shè)分別是橢圓E:（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與E相交于兩點(diǎn)，且,,成等差數(shù)列.（Ⅰ)求E的離心率.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0,-1）滿足,求E的方程.題四：如圖所示，橢圓x軸被曲線：-b截得的線段長等于的長半軸長.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)與y軸的交點(diǎn)為M，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與相交于點(diǎn)A，B，直線MA，MB分別與相交于點(diǎn)D，E.（i）證明：MD；（ii）記的面積分別為.問：是否存在直線l，使得？請說明理由.題五：已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn),(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;(ii)當(dāng)A、B運(yùn)動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.

解析幾何經(jīng)典精講（上）課后練習(xí)參考答案題一：.詳解：由已知可得A（2,0）.設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去整理，得,由得.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為.以下分兩種狀況：（1）當(dāng)k=0時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）.線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)k時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由.整理得，所以綜上.題二：詳解：若直線的斜率k不存在，即軸，由橢圓的對稱性知，則不滿足．當(dāng)直線的斜率k存在時，設(shè)直線的方程為．設(shè)A則①②由知，M為AB的中點(diǎn)，①－②得∴，.∴直線的方程為：即．題三：（Ⅰ)；（Ⅱ）詳解：（Ⅰ)由橢圓的定義知，，又，得，的方程為，其中.設(shè)，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡得，，則，.由于直線AB斜率為1，所以，得，故,所以E的離心率.（Ⅱ）設(shè)兩點(diǎn)的中點(diǎn)為，由（Ⅰ)知，.由，可知,即，得，從而.橢圓E的方程為.題四：（I）；（II）（i）見詳解；（ii）和.詳解：（I）由題意知，從而，又b截得的線段長等于的長半軸長，所以，解得.故，的方程分別為.（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為.由得，設(shè)，則是上述方程的兩個實(shí)根，于是.又A，B在直線上，∴y1=kx1,y2=kx2,又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以故，即.（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或則點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-1）.又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.于是由得，解得或則點(diǎn)的坐標(biāo)為；又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)于是.因此.由題意知，,解得或.又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，，所以故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和.題五：(1);(2)(i);(ii)詳解：(1)設(shè)橢圓的方程為,則.由,得∴橢圓C的方程為(2)(i)解:設(shè),直線的方程為,代入,得由,解得由韋達(dá)定理得.四邊形的面積∴當(dāng),(ii)解:當(dāng),則、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為則的斜