【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案41-空間幾何體的表面積與體積

學(xué)案41空間幾何體的表面積與體積導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算公式.2.了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式.3.培育同學(xué)的空間想象力氣、規(guī)律推理力氣和計(jì)算力氣，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行必要的計(jì)算.4.提高生疏圖、理解圖、應(yīng)用圖的力氣．自主梳理1．多面體的表面積(1)設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側(cè)＝______.(2)設(shè)正n棱錐底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h′，則S正棱錐側(cè)＝____________＝____________.(3)設(shè)正n棱臺(tái)下底面邊長為a，周長為c，上底面邊長為a′，周長為c′，斜高為h′，則S正棱臺(tái)側(cè)＝__________＝____________.(4)設(shè)球的半徑為R，則S球＝____________.2．幾何體的體積公式(1)柱體的體積V柱體＝______(其中S為柱體的底面面積，h為高)．特殊地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱＝πr2h.(2)錐體的體積V錐體＝________(其中S為錐體的底面面積，h為高)．特殊地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h.(3)臺(tái)體的體積V臺(tái)體＝______________(其中S′，S分別是臺(tái)體上、下底面的面積，h為高)．特殊地，上、下底面的半徑分別是r′、r，高是h的圓臺(tái)的體積V圓臺(tái)＝eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)．(4)球的體積V球＝__________(其中R為球的半徑)．自我檢測1．已知兩平行平面α，β間的距離為3，P∈α，邊長為1的正三角形ABC在平面β內(nèi)，則三棱錐P—ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)2．(2011·唐山月考)從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐A—BCD，則它的表面積與正方體表面積的比為()A.eq\r(3)∶3 B.eq\r(2)∶2C.eq\r(3)∶6 D.eq\r(6)∶63．設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且PA＝QC1，則四棱錐B—APQC的體積為A.eq\f(1,6)V B.eq\f(1,4)VC.eq\f(1,3)V D.eq\f(1,2)V4．(2011·平頂山月考)下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A．9π B．10πC．11π D．12π5．(2011·陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)探究點(diǎn)一多面體的表面積及體積例1三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，一條側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成60°角，求此棱柱的側(cè)面積與體積．變式遷移1(2011·煙臺(tái)月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則三棱柱的側(cè)面面積為________探究點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積例2如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30°)及其體積．變式遷移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，則此球的表面積等于________探究點(diǎn)三側(cè)面開放圖中的最值問題例3如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長．變式遷移3(2011·杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2).P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值是________．1．有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素．2．當(dāng)給出的幾何體比較簡潔，有關(guān)的計(jì)算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不簡潔，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可接受“割”、“補(bǔ)”的技巧，化簡潔幾何體為簡潔幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題供應(yīng)便利．(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體依據(jù)結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之．(2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算便利，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們在有些狀況下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體爭辯體積．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2011·安徽)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．802．已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是eq\f(32π,3)，則這個(gè)三棱柱的體積是()A．96eq\r(3) B．16eq\r(3) C．24eq\r(3) D．48eq\r(3)3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，長為定值的線段EF在棱AB上移動(dòng)(EF<a)，若P是A1D1上的定點(diǎn)，Q是C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四周體P—QEF的體積是A．有最小值的一個(gè)變量B．有最大值的一個(gè)變量C．沒有最值的一個(gè)變量D．一個(gè)不變量4．(2010·全國)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，全部棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．πa2 B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2 D．5πa25．(2011·北京)某四周體的三視圖如圖所示，該四周體四個(gè)面的面積中最大的是()A．8 B．6eq\r(2) C．10 D．8eq\r(2)二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2011·馬鞍山月考)如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．7．(2011·淄博模擬)一塊正方形薄鐵片的邊長為4cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長為半徑畫弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于________cm8．(2011·四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·佛山模擬)如圖組合體中，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面ABB1A1C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比．10．(12分)(2011·撫順模擬)如圖，四周體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形．(1)求證：BC⊥AD；(2)試問該四周體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)棱長AD的大??；若不存在，說明理由．11．(14分)(2011·錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面CDEF；(2)求多面體A—CDEF的體積．學(xué)案41空間幾何體的表面積與體積自主梳理1．(1)ch(2)eq\f(1,2)nah′eq\f(1,2)ch′(3)eq\f(1,2)n(a＋a′)h′eq\f(1,2)(c＋c′)h′(4)4πR22.(1)Sh(2)eq\f(1,3)Sh(3)eq\f(1,3)h(S＋eq\r(SS′)＋S′)(4)eq\f(4,3)πR3自我檢測1．D[由題意，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，三棱錐的高h(yuǎn)＝3，∴V三棱錐P—ABC＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(\r(3),4).]2．A[設(shè)正方體棱長為a，則正四周體棱長AB＝eq\r(2)a，∴S正四周體表＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2.∵S正方體表＝6a2，∴四周體的表面積與正方體表面積的比為eq\r(3)∶3.]3．C4.D[據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示，故該幾何體的表面積為S＝S圓柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.]5．A[由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2π,3)，故選A.]課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引對于斜棱柱表面積及體積的求解必需求各個(gè)側(cè)面的面積和棱柱的高．解決此類斜棱柱側(cè)面積問題的關(guān)鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直?線線垂直的方法作出各個(gè)側(cè)面的高，并在相應(yīng)的直角三角形中求解側(cè)面的高．解如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥面ABC于點(diǎn)O，連接AO.過點(diǎn)A1作A1E⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)A1作A1F⊥AC于點(diǎn)F，連接EO，F(xiàn)O，易得OE⊥AB，OF⊥∵AA1和AB與AC都成60°角，∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO.∴點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上，延長AO交BC于點(diǎn)D，∵△ABC是正三角形，∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1.∵AA1∥BB1，∴側(cè)面BB1C∴三棱柱的側(cè)面積為S＝2×3×4×sin60°＋3×4＝12＋12eq\r(3).∵AA1＝3，AA1與AB和AC都成60°角，∴AE＝eq\f(3,2).∵∠BAO＝30°，∴AO＝eq\r(3)，A1O＝eq\r(6).∴三棱柱的體積為V＝eq\f(\r(3),4)×16×eq\r(6)＝12eq\r(2).變式遷移12eq\r(7)＋4解析如圖所示，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連接A1D，AD.∵△ABC為等邊三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥A1A又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1又∵側(cè)面與底面邊長都等于2，∴四邊形BB1C作DE⊥AB于E，連接A1E，則AB⊥A1E，又∵AD＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，DE＝eq\f(AD·BD,AB)＝eq\f(\r(3),2)，∴AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\f(3,2)，∴A1E＝eq\r(AA\o\al(2,1)－AE2)＝eq\f(\r(7),2)，∴S四邊形ABB1A1＝eq\r(7)，∴S三棱柱側(cè)＝2eq\r(7)＋4.例2解題導(dǎo)引解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的外形，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算．求全面積時(shí)不要遺忘“內(nèi)表面”．解如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1，在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圓錐BO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴S幾何體表＝S球＋S圓錐AO1側(cè)＋S圓錐BO1側(cè)＝eq\f(11,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2，∴旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為eq\f(11＋\r(3),2)πR2.又V球＝eq\f(4,3)πR3，V圓錐AO1＝eq\f(1,3)·AO1·πCOeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)πR2·AO1，V圓錐BO1＝eq\f(1,3)BO1·πCOeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)πR2·BO1，∴V幾何體＝V球－(V圓錐AO1＋V圓錐BO1)＝eq\f(4,3)πR3－eq\f(1,2)πR3＝eq\f(5,6)πR3.變式遷移220π解析在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2eq\r(3)，由正弦定理，可得△ABC外接圓的半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在Rt△OBO′中，易得球半徑R＝eq\r(5)，故此球的表面積為4πR2＝20π.例3解題導(dǎo)引本題可將長方體表面開放，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長是兩點(diǎn)間的最短距離來解答．解將長方體相鄰兩個(gè)面開放有下列三種可能，如圖所示．三個(gè)圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為：eq\r(a＋b2＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ab)，eq\r(a2＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc)，eq\r(a＋c2＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2ac)，∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0.故最短線路的長為eq\r(a2＋b2＋c2＋2bc).變式遷移35eq\r(2)解析將△BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示連接A1C即為CP＋PA1的最小值，過點(diǎn)C作CD垂直A1C1延長線交于D，△BCC∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1∴A1C＝eq\r(A1D2＋CD2)＝eq\r(49＋1)＝5eq\r(2).課后練習(xí)區(qū)1．C[由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)面是矩形，寬為4，長為eq\r(42＋12)＝eq\r(17).所以S表＝42＋2×4＋eq\f(1,2)×(2＋4)×4×2＋4×eq\r(17)×2＝48＋8eq\r(17).]2．D[由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，∴R＝2.∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.設(shè)其底面邊長為a，則eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝2，∴a＝4eq\r(3).∴V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]3．D4.B5．C[將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示．它的四個(gè)面的面積分別為8,6,10,6eq\r(2)，故最大的面積應(yīng)為10.6．6eq\r(7)解析取底面中心為O，AF中點(diǎn)為M，連接PO、OM、PM、AO，則PO⊥OM，OM⊥AF，PM⊥AF，∵OA＝OP＝2，∴OM＝eq\r(3)，PM＝eq\r(4＋3)＝eq\r(7).∴S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×eq\r(7)＝6eq\r(7).7.eq\f(\r(15),3)π解析圍成圓錐筒的母線長為4設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝eq\f(1,4)·2π×4，∴r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(42－12)＝eq\r(15).∴V圓錐＝eq\f(1,3)·πr2·h＝eq\f(\r(15),3)π(cm3)．8．2πR2解析方法一設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為α，則圓柱高為2Rcosα，圓柱底面半徑為Rsinα，∴S圓柱側(cè)＝2π·Rsinα·2Rcosα＝2πR2sin2α.當(dāng)sin2α＝1時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2πR2，此時(shí)，S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2.方法二設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2eq\r(R2－r2).∴S圓柱側(cè)＝2πr·2eq\r(R2－r2)，S′圓柱側(cè)＝4πeq\r(R2－r2)－eq\f(4πr2,\r(R2－r2)).令S′圓柱側(cè)＝0，得r＝eq\f(\r(2),2)R.當(dāng)0<r<eq\f(\r(2),2)R時(shí)，S′>0；當(dāng)eq\f(\r(2),2)R<r<R時(shí)，S′<0.∴當(dāng)r＝eq\f(\r(2),2)R時(shí)，S圓柱側(cè)取得最大值2πR2.此時(shí)S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2.方法三設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2eq\r(R2－r2)，∴S圓柱側(cè)＝2πr·2eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2R2－r2)≤4πeq\f(r2＋R2－r2,2)＝2πR2(當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R時(shí)取“＝”)．∴當(dāng)r＝eq\f(\r(2),2)R時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2πR2.此時(shí)S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2.9．解設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為h，當(dāng)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積為r2，三棱柱ABC—A1B1C1的體積為r2h，三棱錐A1—ABC的體積為eq\f(1,3)r2h，四棱錐A1—BCC1B1的體積為r2h－eq\f(1,3)r2h＝eq\f(2,3)r2h，圓柱的體積為πr2h，(10分)故四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比為2∶3π.(12分)10．(1)證明取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，EF，