2025年人教版八年級數(shù)學寒假預習 第10講 矩形的性質（2個知識點+7大考點舉一反三+過關測試）

第10講矩形的性質模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.理解矩形的概念；

2.探索并證明矩形的性質定理和判定定理，并能運用它們進行證明和計算；

3.理解直角三角形斜邊的中線定理，運用其進行計算。知識點1：矩形的概念與性質概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。性質：（1）矩形的對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線相等。知識點2：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半考點一：利用矩形的性質求角度例1.（23-24八年級上·四川遂寧·期末）如圖，矩形ABCD中，連接AC，延長BC至點E，使BE=AC，連接DE，若∠ACB=40°，則∠E的度數(shù)是（

A．40° B．50° C．60°【變式1-1】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交CD于點E，連接BE．若∠COE=20°，則∠ABD=．【變式1-2】（23-24八年級下·湖南衡陽·期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠COD=度．

【變式1-3】（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=AO，對角線AC與BD相交于點O，以點A為圓心，以AO的長為半徑作弧，交AD于點E，連接OE，則∠DOE=°．考點二：根據(jù)矩形的性質求線段長例2.（23-24八年級下·貴州黔東南·期中）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=60°，AD=4，則該矩形的周長是（

）A．16 B．4+43 C．8+83 【變式2-1】（23-24八年級下·全國·單元測試）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C．6013 D．【變式2-2】（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在矩形ABCD中，P,Q分別是BC,DC上的點，E,F分別是AP,PQ的中點．BC=12,DQ=5，在點P從B移動到C（點Q不動）的過程中，則線段EF=．【變式2-3】（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，點O是矩形ABCD的對角線BD的中點，點E是BC的中點，OE=3,AD=8，則OA的長為．考點三：根據(jù)矩形的性質求面積

例3.（23-24八年級下·山東濱州·階段練習）如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB，CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的（

）A．15 B．14 C．13【變式3-1】（23-24八年級下·河南周口·階段練習）矩形的兩條對角線之和為20，其中一條邊長為6，則該矩形的面積為（

）A．60 B．48 C．40 D．24【變式3-2】（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，點P是矩形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PA，PC．若BE=3，PF=3【變式3-3】（23-24八年級下·重慶大足·期末）如圖，點E是矩形ABCD內任一點，若AB=6,BC=8．則圖中陰影部分的面積為．考點四：利用矩形的性質證明例4.（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點M，N，與邊AD交于點E，垂足為點O．(1)求證：△AOM≌△CON(2)若AB=3,AD=6，請直接寫出AE的長為．【變式4-1】（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在AD邊上，點F在AD的延長線上，且BE=CF．求證：四邊形EBCF是平行四邊形．

【變式4-2】（23-24八年級下·貴州黔東南·期中）如圖所示，矩形ABCD中，AC與BD交于O點，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求證：BE=CF．【變式4-3】（23-24八年級下·山東泰安·期中）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．(1)求證：AB=DF；(2)若CE=2，AF=6，求DF的長．考點五：求矩形在坐標系中的坐標例5.（22-23九年級下·山東濟南·階段練習）在平面直角坐標系中，長方形ABCD如圖所示，A(?6,2),B(2,2),C(2,?3)，則點D的坐標為（

）A．(?6,3) B．(3,?6) C．(?6,?3) D．(?3,?6)【變式5-1】（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的四個頂點坐標均已標出，那么a?b的值為（

）A．?3 B．?1 C．3 D．1【變式5-2】（22-23八年級下·重慶江津·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A?2,1，C2,4，點B在y軸上，則點B的坐標為【變式5-3】（23-24八年級下·云南昆明·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為10,0,0,4，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當OP=PD時，點P的坐標是（A．2.5,4 B．3,4 C．4,4 D．5,4考點六：矩形與折疊問題例6.（23-24八年級下·全國·開學考試）已知：將長方形ABCD沿直線AC對折，將點B折到點E處，AE交CD于點F，(1)求證：△ACF是等腰三角形；(2)若CD=16cm，AD=8cm，求【變式6-1】（23-24八年級下·云南昆明·期中）折疊問題是我們常見的數(shù)學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質解決的相關問題．數(shù)學活動課上，同學們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學活動．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D'處，MD'與BC【猜想】（1）請猜想線段MN、CN的數(shù)量關系，并證明．【應用】（2）如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點A落在點A'處，點B落在點B'處，折痕為ME．若【變式6-2】（23-24八年級下·全國·單元測試）把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH，DG．(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；(2)若AB=6,BC=8，求線段FG的長．【變式6-3】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）在矩形ABCD中，AB=5，BC=13，在DC上取一點E，將△BCE沿直線BE折疊，得到△BEF．(1)如圖1，若點F剛好落在AD上時，求DE的長；(2)如圖2，若點E從C到D的運動過程中，∠ABF的角平分線交EF的延長線于點M，求M到AD的距離．考點七：斜邊的中線等于斜邊的一半例7.（23-24八年級下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示．若D地位于A，C兩地的中點處，則B，D兩地之間的距離是（

）

A．2.5km B．6km C．6.5km【變式7-1】（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=5,AC=12,D為AB的中點，則CD的長為（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【變式7-2】（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，連接AD，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點，連接EF、AF，若BD=2，DC=3，AF=22，則EF的長是（A．6 B．26 C．46【變式7-3】（23-24八年級下·貴州黔西·期末）如圖，在△ABC中，AB=10，點D，E分別是AB，BC的中點，連接DE，在DE上有一點F，且EF=3，連接AF，BF.若AF⊥BF，則AC的長為(

)A．12 B．14 C．16 D．18一、單選題1．（23-24八年級下·云南昆明·期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠AOB=60°，已知AB=1，則BD的長度是（

）A．1 B．2 C．32 D．2．（23-24八年級下·山西·期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于E，AD=8，AB=4A．3 B．4 C．5 D．63．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CD為△ABC的中線，則CD的長為（

）A．5 B．6 C．6.5 D．134．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在矩形COED中，點D的坐標是(1,3)，則CE的長是（）A．3 B．3 C．5 D．105．（23-24八年級下·吉林松原·期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AO=AB，則∠COD的度數(shù)（

）A．30° B．60° C．45° D．90°6．（23-24八年級下·吉林長春·開學考試）如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點M表示的實數(shù)為（A．10 B．?10 C．3 D．7．（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=3，CF=2，若G是AE的中點，H是BF的中點，連接GH，則GH的長為（）A．2 B．3 C．2 D．5二、填空題8．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∠A=20°，則∠BCD=°9．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，則△AEF的周長為．10．（23-24八年級下·全國·單元測試）把一張矩形紙片（矩形ABCD)按如圖方式折疊，使頂點B和點D重合，折痕為EF，若AB=3cm，BF=5cm，則重疊部分△DEF的面積是三、解答題11．（23-24八年級下·江蘇徐州·期中）已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥DB，交AB的延長線于點E．(1)求證：四邊形CDBE是平行四邊形；(2)若AC=8，求EC的長．12．（23-24九年級上·福建莆田·期末）已知如圖，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉得到矩形FECG，點B與點E對應，點E恰好落在AD邊上，BH⊥CE交于點H，求證：(1)△BCH≌△CED(2)AB=BH．

第10講矩形的性質模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.理解矩形的概念；

2.探索并證明矩形的性質定理和判定定理，并能運用它們進行證明和計算；

3.理解直角三角形斜邊的中線定理，運用其進行計算。知識點1：矩形的概念與性質概念：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。性質：（1）矩形的對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線相等。知識點2：直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半考點一：利用矩形的性質求角度例1.（23-24八年級上·四川遂寧·期末）如圖，矩形ABCD中，連接AC，延長BC至點E，使BE=AC，連接DE，若∠ACB=40°，則∠E的度數(shù)是（

A．40° B．50° C．60°【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質以及等腰三角形的判定與性質，利用矩形的對角線相等是解決問題的關鍵.連接BD，依據(jù)矩形的性質，即可得到∠CBD=∠ACB=40°，再根據(jù)AC=BD，AC=BE，即可得出BD=BE，進而得到∠E的度數(shù).【詳解】解：如圖,連接BD交AC于點O，∵矩形ABCD中,∠ACB=40°，OC=OB，AC=BD，∴∠CBD=∠ACB=40°，∵AC=BD，AC=BE，∴BD=BE，∴∠E=12180°?∠DBE故選:D.【變式1-1】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，過點O作OE⊥BD，交CD于點E，連接BE．若∠COE=20°，則∠ABD=．【答案】35°/35度【分析】本題考查了矩形的性質，根據(jù)垂直的定義及角的和差求出∠BOC=70°，根據(jù)矩形的性質推出OA=OB，根據(jù)等腰三角形的性質及三角形外角性質求解即可．熟記矩形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵OE⊥BD，∴∠BOE=90°，∵∠COE=20°，∴∠BOC=∠BOE?∠COE=70°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OB=OD，OA=OC，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠BOC=∠OAB+∠OBA，∴∠OBA=35°，即∠ABD=35°，故答案為：35°．【變式1-2】（23-24八年級下·湖南衡陽·期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠COD=度．

【答案】45【分析】本題考查了矩形的性質，三角形的外角性質，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握矩形的性質．根據(jù)矩形的性質可得到OA=OD，推出∠OAD=∠ODA，根據(jù)三角形的外角性質和∠EAC=2∠CAD，可得∠EAC=∠AOE，由AE⊥BD，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAC=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠EAC=∠AOE=45°，∴∠COD=∠AOE=45°，故答案為：45．【變式1-3】（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=AO，對角線AC與BD相交于點O，以點A為圓心，以AO的長為半徑作弧，交AD于點E，連接OE，則∠DOE=°．【答案】45【分析】此題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質和判定，等邊對等角和三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先證明出△OAB是等邊三角形，得到∠OAB=∠AOB=60°，然后利用等邊對等角和三角形內角和定理求出∠EOA=1【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴OA=OB，∠BAD=90°∵AB=AO∴OA=OB=AB∴△OAB是等邊三角形∴∠OAB=∠AOB=60°，∴∠OAD=∠BAD?∠OAB=30°∵以點A為圓心，以AO的長為半徑作弧，交AD于點E，∴AE=AO∴∠EOA=∴∠DOE=180°?∠AOB?∠AOE=45°．故答案為：45．考點二：根據(jù)矩形的性質求線段長例2.（23-24八年級下·貴州黔東南·期中）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=60°，AD=4，則該矩形的周長是（

）A．16 B．4+43 C．8+83 【答案】C【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質和判定，矩形對角線的性質和利用勾股定理求邊長，熟練掌握矩形及等邊三角形的性質是解題的關鍵．根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD,∠AOD=60°,△AOD是等邊三角形，可求出BD，勾股定理可求出AB，即可求出矩形的面積．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD=OB=OC，∵∠AOD=60°，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OD=AO=4，∴BD=2AD=8，∴AB=B∴矩形的周長=2×43故選：C．【變式2-1】（23-24八年級下·全國·單元測試）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=12，對角線AC、BD相交于點O，點P是線段AD上任意一點，且PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF等于（）A．6 B．5 C．6013 D．【答案】C【分析】此題考查了矩形的性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．連接OP，利用矩形的性質和勾股定理求出OA,OD的長，然后由S△AOD【詳解】解：連接PO，∵矩形ABCD中，AB=5,BC=12，∴S矩形ABCD=AB?BC=60,OA=OC,OB=OD,AC=BD∴AC=A∴S△AOD=1∵S△AOD即：12∴PE+PF=60故選：C．【變式2-2】（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在矩形ABCD中，P,Q分別是BC,DC上的點，E,F分別是AP,PQ的中點．BC=12,DQ=5，在點P從B移動到C（點Q不動）的過程中，則線段EF=．【答案】6.5【分析】本題考查矩形的性質及三角形中位線定理．因為Q點不動，所以AQ不變，根據(jù)中位線定理，可得EF的長．【詳解】解：連接AQ∵E,F分別是AP,QP的中點∴EF為△APQ的中位線，∵ABCD是矩形∴AD=BC=12,∠ADC=90°∴EF=1故答案為：6.5．【變式2-3】（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，點O是矩形ABCD的對角線BD的中點，點E是BC的中點，OE=3,AD=8，則OA的長為．【答案】5【分析】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．由三角形中位線定理求出OE=3，由勾股定理求出BD的長，根據(jù)直角三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：∵O為BD的中點，E是BC的中點，∴OE=1∵OE=3，∴DC=6，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠BAD=90°，∵AD=8，∴BD=A∴AO=故答案為：5．考點三：根據(jù)矩形的性質求面積

例3.（23-24八年級下·山東濱州·階段練習）如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB，CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD的面積的（

）A．15 B．14 C．13【答案】B【分析】本題主要根據(jù)矩形的性質，得△EBO≌△FDO，再由△AOB與△OBC同底等高，△AOB與△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴OB=OD=OA=OC，AB∥CD∴∠EBO=∠FDO在△EBO與△FDO中，∵∠EOB=∠DOFOB=OD∴△EBO≌△FDO(ASA)∴陰影部分的面積=S∵△AOB與△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的1∴S故選：B．【變式3-1】（23-24八年級下·河南周口·階段練習）矩形的兩條對角線之和為20，其中一條邊長為6，則該矩形的面積為（

）A．60 B．48 C．40 D．24【答案】B【分析】本題考查矩形的性質和勾股定理，根據(jù)矩形的性質求出對角線的長，再根據(jù)勾股定理求出矩形的另一邊長，即可求出矩形的性質．利用勾股定理求出矩形的另一邊長是解題的關鍵．【詳解】解：∵矩形的兩條對角線之和為20，∴矩形的一條對角線長為：20÷2=10，∵矩形的一邊長為6，又∵矩形的相鄰兩邊與一條對角線構成直角三角形，∴與矩形邊長為6相鄰的另一邊長為：102∴矩形的面積為：6×8=48．故選：B．【變式3-2】（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，點P是矩形ABCD的對角線BD上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接PA，PC．若BE=3，PF=3【答案】9【分析】本題考查了矩形的性質、三角形的面積等知識．先作輔助線，然后根據(jù)矩形的性質可得到兩個矩形面積相等．【詳解】解：作PM⊥AD于點M，交BC于點N，如圖所示：則四邊形AEPM，DFPM，CFPN，BEPN都是矩形，∴CF=BE=3，S△ABD=S△BCD，S△BPE=∵S矩形AEPM=∴S矩形∴S△AEP∴圖中陰影部分的面積為S陰故答案為：9．【變式3-3】（23-24八年級下·重慶大足·期末）如圖，點E是矩形ABCD內任一點，若AB=6,BC=8．則圖中陰影部分的面積為．【答案】24【分析】本題考查了矩形的性質、三角形面積的計算．根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于矩形面積的一半；即可得出結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC=6，設兩個陰影部分三角形的底為AB，CD，高分別為?1∴S△ABE∴圖中陰影部分的面積為24；故答案為：24．考點四：利用矩形的性質證明例4.（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點M，N，與邊AD交于點E，垂足為點O．(1)求證：△AOM≌△CON(2)若AB=3,AD=6，請直接寫出AE的長為．【答案】(1)見解析(2)15【分析】（1）利用矩形的性質和線段垂直平分線的性質證明三角形全等即可．（2）連接CE，根據(jù)垂直平分線得出CE=AE，設AE=CE=x，則DE=6?x，在Rt△CDE【詳解】（1）證明：∵MN是AC的垂直平分線，∴AO=CO，∠AOM=∠CON=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠M=∠N．在△AOM和△CON中，∠M=∠N∠AOM=∠CON∴△AOM?△CONAAS（2）解：如圖所示，連接CE，∵MN是AC的垂直平分線，∴CE=AE，設AE=CE=x，則DE=6?x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CDE=90°，∴Rt△CDE中，即32解得：x=154，即AE的長為故答案為：154【點睛】本題考查了矩形的性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理和全等三角形的判定等知識點，解答關鍵是證明三角形全等．【變式4-1】（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，四邊形ABCD是矩形，點E在AD邊上，點F在AD的延長線上，且BE=CF．求證：四邊形EBCF是平行四邊形．

【答案】見解析【分析】本題考查矩形的性質、平行四邊形的判定．由Rt△BAE≌Rt△CDF，推出∠1=∠F，推出BE∥CF，又BE=CF【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠CDF=∠ABC=90°，AB=DC，AD=BC，在Rt△BAE和RtAB=DCBF=CF∴Rt△BAE≌∴∠1=∠F，∴BE∥CF，又∵BE=CF，∴四邊形EBCF是平行四邊形．

【變式4-2】（23-24八年級下·貴州黔東南·期中）如圖所示，矩形ABCD中，AC與BD交于O點，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求證：BE=CF．【答案】見解析【分析】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，證明△BOE≌△COFAAS【詳解】證明：∵矩形ABCD，∴OA=OB=OC=OD，∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°，在△BOE和△COF中∵∠BEO=∠CFO∴△BOE≌△COFAAS∴BE=CF．【變式4-3】（23-24八年級下·山東泰安·期中）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．(1)求證：AB=DF；(2)若CE=2，AF=6，求DF的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理；（1）根據(jù)矩形是性質可以證明△ABE≌△DFA，即可得AB=DF；（2）結合（1）證明Rt△DFE≌Rt△DCE(【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°，AE=AD，∴△ABE≌△DFA(AAS∴AB=DF；（2）∵△ABE≌△DFA，∴AF=BE=6，DF=AB=CD，∵∠DFE=∠DCE=90°，DE=DE，∴Rt△DFE≌∴CE=EF=2，∴AE=6+2=8，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，得AB=∴DF=AB=27考點五：求矩形在坐標系中的坐標例5.（22-23九年級下·山東濟南·階段練習）在平面直角坐標系中，長方形ABCD如圖所示，A(?6,2),B(2,2),C(2,?3)，則點D的坐標為（

）A．(?6,3) B．(3,?6) C．(?6,?3) D．(?3,?6)【答案】C【分析】根據(jù)長方形的性質求出點D的橫、縱坐標即可獲得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AB∥CD，∵A(?6,2),B(2,2),C(2,?3)，∴點D的橫坐標與點A相同，為?6，點D的縱坐標與點C相同，為?3，∴點D的坐標為(?6,?3)．故選：C．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形的性質，解題關鍵是利用矩形“對邊平行且相等”的性質解決問題．【變式5-1】（23-24八年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的四個頂點坐標均已標出，那么a?b的值為（

）A．?3 B．?1 C．3 D．1【答案】D【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及矩形性質、中點坐標公式等知識，熟練掌握矩形性質及中點坐標公式是解決問題的關鍵．由矩形的對角線交于一點，且對角線相互平分，從而由中點坐標公式求出對角線交點O的坐標，列方程求解即可得到a,b的值，代入代數(shù)式求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：由中點坐標公式可知AC中點O的坐標為9+a2,13+2BD中點O的坐標為15+52,5+b∴a+9=20解得a=11b=10∴a?b=11?10=1，故選：D．【變式5-2】（22-23八年級下·重慶江津·期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A?2,1，C2,4，點B在y軸上，則點B的坐標為【答案】0,5【分析】由兩點距離公式可求AC的長，由矩形的性質可求OB=AC，即可求解．【詳解】解：連接AC，∵點A(?2,1)，C(2,4)，∴AC=(?2?2)∵四邊形ABCO是矩形，∴OB=AC=5，∴點B的坐標為(0,5)，故答案為：(0,5)．【點睛】本題考查了矩形的性質，坐標與圖形的性質，掌握矩形的對角線相等是解題的關鍵．【變式5-3】（23-24八年級下·云南昆明·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為10,0,0,4，點D是OA的中點，點P在BC上運動，當OP=PD時，點P的坐標是（A．2.5,4 B．3,4 C．4,4 D．5,4【答案】A【分析】此題主要考查了坐標與圖形的性質,矩形的性質，等腰三角形的性質，由點D是OA的中點，可得出點D的坐標，當OP=PD，由等腰三角形的性質即可得出點P的坐標【詳解】解：過點P作PM⊥OD于點M，∵矩形OABC的頂點A,C的坐標分別為10,0,0,4，點D是OA∴點D(∵OP=PD，PM⊥OD，∴OM=DM，即點M(∴點P(2.5,4故選：A考點六：矩形與折疊問題例6.（23-24八年級下·全國·開學考試）已知：將長方形ABCD沿直線AC對折，將點B折到點E處，AE交CD于點F，(1)求證：△ACF是等腰三角形；(2)若CD=16cm，AD=8cm，求【答案】(1)見解析(2)△ACF的面積為40【分析】本題考查了矩形中的折疊問題，等腰三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握相關的知識．（1）根據(jù)矩形的性質可得AB∥CD，得到∠ACF=∠BAC，結合折疊的性質可得∠ACF=∠FAC，即可證明；（2）設AF=CF=x，則DF=16?x，在Rt△ADF中，由勾股定理求出x，最后根據(jù)S【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D=90°，∴∠ACF=∠BAC，由折疊可得：∠FAC=∠BAC，∴∠ACF=∠FAC，∴AF=CF，∴△ACF是等腰三角形；（2）解：設AF=CF=x，則DF=CD?CF=16?x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得：AF2解得：x=10，∴CF=10cm∴S△ACF【變式6-1】（23-24八年級下·云南昆明·期中）折疊問題是我們常見的數(shù)學問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質解決的相關問題．數(shù)學活動課上，同學們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學活動．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點D落在點D'處，MD'與BC【猜想】（1）請猜想線段MN、CN的數(shù)量關系，并證明．【應用】（2）如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點A落在點A'處，點B落在點B'處，折痕為ME．若【答案】（1）證明見解析；（2）10【分析】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理、等腰三角形的判定與性質等知識，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．（1）由折疊的性質可得∠CMD=∠CMD'，再證明∠CMD=∠MCN，易得∠CMD（2）由折疊的性質可得∠D=∠D'=90°，DC=D'C=4，MD=MD'=8，設MN=NC=x，易得ND'【詳解】（1）解：MN=CN，理由如下：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，∴∠CMD=∠CMD∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥∴∠CMD=∠MCN，∴∠CMD∴MN=CN；（2）∵矩形ABCD沿MC所在直線折疊，∴∠D=∠D'=90°，DC=設MN=NC=x，∴ND在Rt△ND'∴ND∴8?x2+4∴MN=5，∴MN=CN=5，同理可證明EN=MN=5，∴EC=EN+CN=10．【變式6-2】（23-24八年級下·全國·單元測試）把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH，DG．(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；(2)若AB=6,BC=8，求線段FG的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了與矩形有關的折疊問題，平行四邊形的證明及勾股定理，準確分析計算是解題的關鍵．（1）根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證明即可；（2）由折疊可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在根據(jù)勾股定理計算即可；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥∴∠ABD=∠CDB，又由折疊可得：∠ABH=∠DBH，∠CDG=∠BDG，∴∠ABH=1∴∠DBH=∠BDG，∴BH∥∵AD∥∴四邊形BGDH為平行四邊形；（2）解：由折疊可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在Rt△BCD∵BD∴BD=8∴BF=10?6=4，設FG=CG=x，則BG=8?x，在Rt△BGF∵BF42解得：x=3，即FG=3．【變式6-3】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）在矩形ABCD中，AB=5，BC=13，在DC上取一點E，將△BCE沿直線BE折疊，得到△BEF．(1)如圖1，若點F剛好落在AD上時，求DE的長；(2)如圖2，若點E從C到D的運動過程中，∠ABF的角平分線交EF的延長線于點M，求M到AD的距離．【答案】(1)DE=2.4；(2)M到AD的距離為8．【分析】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理與折疊問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．（1）先由矩形的性質和折疊的性質得到BC=AD=BF=13，再利用勾股定理求出AF=12，則DF=1，設DE=x，則CE=FE=5?x，在Rt△DEF（2）過點M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延長線于H，交CD的延長線于G．證明△BMH≌△BMFAAS，推出BH=BF=13【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，將△BCE沿直線BE折疊，點F剛好落在AD上，∴BC=AD=BF=13，∠D=∠A=90°，CE=EF，∴AF=B∴DF=13?12=1，設DE=x，則CE=FE=5?x，在Rt△DEF中，由勾股定理得D∴x2解得x=2.4，∴DE=2.4；（2）解：如圖，過點M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延長線于H，交CD的延長線于G．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠BAD=∠ABD=∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=BC=13，∵MH⊥AB，MK⊥AD，∴∠H=∠HAK=∠AKM=90°，∴四邊形AKMH是矩形，∴AH=MK，∵BM平分∠ABF，∴∠MBH=∠MBF，∵∠H=∠AFM=90°，BM=BM，∴△BMH≌△BMFAAS∴BH=BF，∵BF=BC=13，∴BH=BC=13，∴MK=AH=BH?AB=13?5=8，∴M到AD的距離為8．考點七：斜邊的中線等于斜邊的一半例7.（23-24八年級下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示．若D地位于A，C兩地的中點處，則B，D兩地之間的距離是（

）

A．2.5km B．6km C．6.5km【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理得出ΔABC是直角三角形是解題的關鍵．根據(jù)勾股定理得出Δ【詳解】解：∵BC2+A∴BC∴△ABC是直角三角形，∵D地位于A、C兩地的中點處，∴BD=13故選：C1【變式7-1】（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,BC=5,AC=12,D為AB的中點，則CD的長為（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形的特征量，先計算AB=AC2+BC【詳解】∵∠ACB=90°,BC=5,AC=12，∴AB=A∵點D為AB的中點，∴CD為斜邊AB上的中線，∴CD=1故選：D．【變式7-2】（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，連接AD，AB=AD，E、F分別是AC、BD的中點，連接EF、AF，若BD=2，DC=3，AF=22，則EF的長是（A．6 B．26 C．46【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，由等腰三角形三線合一的性質可得出∠AFC=90°，由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得出EF=12AC，由勾股定理求出AC【詳解】解：∵AB=AD，F(xiàn)是BD的中點，∴AF⊥BD，∴∠AFC=90°，∵在Rt△ACF中，E為AC∴EF=1∵AF=22，F(xiàn)C=∴AC=A∴EF=1故選：A．【變式7-3】（23-24八年級下·貴州黔西·期末）如圖，在△ABC中，AB=10，點D，E分別是AB，BC的中點，連接DE，在DE上有一點F，且EF=3，連接AF，BF.若AF⊥BF，則AC的長為(

)A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質求出DF，進而求出DE，再根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵點D是AB的中點，AB=10，∴DF=1∵EF=3，∴DE=DF+EF=8，∵點D，E分別是AB，BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴AC=2DE=16，故選：C．一、單選題1．（23-24八年級下·云南昆明·期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠AOB=60°，已知AB=1，則BD的長度是（

）A．1 B．2 C．32 D．【答案】B【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，矩形的性質，根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分得到OA=OB，BD=2OB，再證明△AOB是等邊三角形，得到OB=AB=1，則BD=2OB=2．【詳解】解：∵矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∴OA=OB，BD=2OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OB=AB=1，∴BD=2OB=2，故選：B．2．（23-24八年級下·山西·期末）如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C'處，BC'交AD于E，AD=8，AB=4A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由矩形的性質可得出AB=CD，∠A=∠C=90°，由折疊的性質可得出CD=C'D=AB=4，∠C=∠C'=90°，設DE=x，則AE=8?x，再證明Rt△ABE【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∵Rt△DC'∴CD=C'D=AB=4設DE=x，則AE=8?x，∵∠A=∠C'=90°∴∠ABE=∠C在Rt△ABE與Rt∠A=∠∴Rt△ABE∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，A∴42解得：x=5，∴DE的長為5．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定以及性質，勾股定理，掌握這些性質是解題的關鍵．3．（23-24八年級下·云南紅河·期末）如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CD為△ABC的中線，則CD的長為（

）A．5 B．6 C．6.5 D．13【答案】C【分析】本題考查了勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質，熟練掌握勾股定理和直角三角形斜邊中線的性質是解題的關鍵．先利用勾股定理算出AB，再利用直角三角形斜邊中線的性質求出CD．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=5，BC=12，∴AB=A∵CD為△ABC的中線，∴CD=1故選：C．4．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在矩形COED中，點D的坐標是(1,3)，則CE的長是（）A．3 B．3 C．5 D．10【答案】D【分析】連接OD，過D作DF⊥x軸于F，由矩形的性質得CE=OD，再由點D的坐標得OF=1，DF=3，然后由勾股定理求出OD的長，即可解決問題．本題考查了矩形的性質、坐標與圖形性質以及勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接OD，過D作DF⊥x軸于F，∵四邊形COED是矩形，∴CE=OD，∵點D的坐標是(1,3)，∴OF=1，DF=3，∴OD=O∴CE=10故選：D．5．（23-24八年級下·吉林松原·期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AO=AB，則∠COD的度數(shù)（

）A．30° B．60° C．45° D．90°【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質及等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．根據(jù)矩形的性質可得AO=BO，結合AO=AB，可證明△ABO是等邊三角形，所以∠AOB=60°，再根據(jù)對頂角相等即得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=12AC，BO=∴AO=BO，∵AO=AB，∴AO=AB=BO，∴△ABO是等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠COD=∠AOB=60°．故選B．6．（23-24八年級下·吉林長春·開學考試）如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點M表示的實數(shù)為（A．10 B．?10 C．3 D．【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AC，根據(jù)AC=AM，由此即可解決問題．本題考查了矩形的性質，實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，等知識，解題的關鍵是靈活應用勾股定理求出AC的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，∴∠ABC=90°，BC=AD=1，∴AC=A∵以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，∴AM=AC=10∴點M表示的實數(shù)為10，故選：A．7．（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=3，CF=2，若G是AE的中點，H是BF的中點，連接GH，則GH的長為（）A．2 B．3 C．2 D．5【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、中位線的性質定理，掌握相關結論是解題關鍵．連接BG，并延長交AD于N，連接NF，證△AGN≌△EGB可得BG=GN，AN=BE=3；結合H是BF的中點，BG=GN，可得【詳解】解：如圖，連接BG，并延長交AD于N，連接NF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥